60618

Materiały dydaktyczne - Geodezja geometryczna Marcin Ligas. Katedra Geomatyki. Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

y-

COS X = 1--+ ’

f H)V"

2!    4!    (2ni

Wykonując odpowiednie działania dostajemy:

cos A ' =

2bc    24bcR²

Ze wzoru Hcrona mamy natomiast:

P_A = ^jp(p-atp-btp-c) gdzie p =

16P} = -a⁴ -b* -c² + 2a²b² + 2a²c² + 2b²c²

(4)

(5)

(6)

Wykorzystując teraz twierdzenie cosinusów trygonomerii płaskiej (tw. Carnota) mamy:

(7)

(8)

a² =b² +c² -2bccosA^r

_aP b² +c² -a²

cos A =-

2bc

Podstawiając powyższe równanie do (4) otrzymujemy:

45    ./> I6P;

cos A = cosA -

lAbcR²

cos A - cos 4 =--

16 P:

24 bcR‘

(9)

(10)

Korzystając z wzoru na różnicę cosinusów mamy:

-(i4^s — -4^ )sin A‘

.s _A/.    A^s+A^p . A^s-A^p    _aPA^s-A^p

cos A -cos A = -2sin-sin-»-2sini4 -

(11)

Powyższy wzór powstał przy uzasadnionym założeniu, iż kąty małego trójkąta sferycznego niewiele różnią się od odpowiednich kątów trójkąta płaskiego, zatem wykorzystano:

A^s+A‘

■ ^2A • v sin-= sin A

2

Przyrównując prawą stronę równania (10) do prawej strony równania (11) dostajemy:

(A^5 A'*)sin A^p - ^,6P\ TAbcR^2	(12)
{a^s a')= ^l6p\ 2 24bcs\n A R'	(13)
(a^s-a')= ^i6P\ = ^lP\ 48P^R^2 3 R^2	(14)

co ostatecznie daje nam związek zawarty w Twierdzeniu Legendre’a.