3582324368

Materiały dydaktyczne - Geodezja geometryczna Marcin Ligas, Katedra Geomatyki. Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

Rozwiązywanie małych trójkątów sferycznych

Prezentowane metody rozwiązywania małych trójkątów sferycznych (długość boku rzędu 30 -50km) mają obecnie raczej walory historyczno - dydaktyczne. Czas jakiś temu, zupełnie niedawno ;), kiedy nie było komputerów na każdym biurku należało szukać metod uproszczonych rozwiązywania problemów geodezyjnych, tak aby ograniczyć użycie czasochłonnych operacji rachunkowych a zarazem zapewnić odpowiednią dokładność metody. Zatem zamiast rozwiązywać trójkąty sferyczne metodami ścisłymi uproszczono je w taki sposób aby rozwiązywać to zadanie za pomocą trygonometrii płaskiej.

Metoda Legendre’a:

Twierdzenie Leeendre’a

Mały trójkąt sferyczny (długość boków 30 - 50 km) może być rozwiązany jako trójkąt płaski o bokach takiej samej długości jak boki trójkąta sferycznego i o kątach równych kątom trójkąta sferycznego zmniejszonym o jedną trzecią nadmiaru sferycznego, (oczywiście jest to pewnego rodzaju uproszczenie)

A^s = A^P +-£

3

B^s=B^p+-e    (1)

3

C^s =C^P +—£

3

Prawdziwość twierdzenia można wykazać wychodząc z wzoru cosinusów dla boków trójkąta sferycznego:

a    b    c    . b . c    ..

cos — = cos—cos— + sm—sm—cos A R    R    R R R

-» cosA^ł

a    b    c

cos--cos—cos—

R    R    R

. b . c sin—sin —

R R

(2)

Rozwijając w szereg wielkości w liczniku i mianowniku po prawej stronie powyższego równania otrzymamy:

1-

a

cos A*

a

2 R² 24R*

\	\ ^b2		^bA Y
)	{ 21?^2		2AR^4){
( b	b^3 Y	c	c^3 ^
U	6 &){	R	61?^3 J

1 —

2R 24/T

4 \

Dla przypomnienia:

y (~l)ⁿX^2N+1

h (2n+l)!

x x³ x⁵ sinjc =---+--

1!    3!    5!

(3)