3582428471

UST 2

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBRĄ NOTATKA Z WYKŁADU NR 2

aktual. 27 lutego 2010

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Niech / bęcl/ic określona w pewnym otoczeniu punktu r₀ tzn 0(r₀). Symbol Ar oznacza przyrost zmiennej niezależnej x taki. że r₀ + Ar € O(r₀).

Przyrostowi Ar odpowiada przyrost A/, tj. przyrost wartości funkcji:

A/ = f(x₀ + Ar) - f(x₀), któiy może być dodatni. ujemny albo równy zero.

Definicja 1. Ilnmzem różnicowym funkcji f w punkcie r₀ dla przy maty Ar zmiennej niezależnej nazywany

A/ _ f(xo + Ar) - f(x₀)

Ar    Ar

Uwaga 1. Używamy także, oznaczeń A/ = Aj/. « Ar = h.

Interprctaeja geometryczna ilorazu różnicowego

Iloraz ió/nic owy jest równy tango lisowi kata nachylenia siecznej ptzediodzącej przez punkt (r₀./(r₀)) oraz (r₍, -t- Ar. /(r„ + Ar)) do do<latniej pólosi or

A /

^tg° ⁼ Ar'

Definicja 2. Granicę właściwi ilorazu różnicowego, ply A.r —y 0 nazywamy pochodną funkcji f w punkcie Xq i oznaczamy symbolem f^ł(x₀), ten

/>„) = lim *1= lim ^{+    1}

AxW0 Ax Aj-»0    Az

Podstawiając Aj = z — x₀ pochodną funkcji / w punkcie x<> definiujemy następująco:

Ow = lim

X-*Jo

X - x_n

Uwaga 2. Paehotlną głównie w literaturze technicznej i fizycznej oznaczamy symbolem ^(r₀).

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji

Jeżeli Ar -> 0 to geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy ilorazu różnicowego jest Istnienie granicznego pok>-żenia siecznej do wykresu funkcji /.czyli istnienie stycznej do tego wykrotu w punkcie (ro,/(r»)). Pochodna funkcji f w punkcie r₀ jest równa t ggdzie 3 oznacza kijt nachylenia do osi ox stycznej poprowadzonej do krzywej y = /(r) w punkcie (r₀,/(r₀)).

f'(x_Q) = tg/?

Równanie stycznej do wykresu funkcji / w punkcie ó,jest postaci:

y =J(r)

Kycxm

---.

y = f'{xo){x - r₀) + /(r₀).

Pochodna fiinkcji na przedziale

Definicja 3. Funkcja ma pochodna na przedziale otwartym (a. b) wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodna w każdym punkcie tego przedziału. Funkcję określoną na przedziale (a.b). kttfre.j wartości w punktach r tego przedziału są równe f(x) nazywamy pochodną funkcji f na przedziale (a.b) i oznaczamy symbolem f.

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu 0(r“)

Definicja 4. Pochodna lewostronną funkcji f w punkcie Xo oznaczoną symbolem f_ (r<>) nazyunmy

f(x_Q + Ar) - f(x_a)

f l(r₀)= lim

Ax-tO-

Aj

1 z 12