5673850442

Modelowanie matematyczne    dr inż. Zbigniew Tarapata

Wykład nr 5: Modele teorii gier

Przed sprawdzeniem, czy w grze istnieje para strategii czystych w równowadze, powinniśmy usunąć z macierzy wypłat M_A tak zwane strategie zdominowane. Uzyskamy wówczas macierz M_A.

Mówimy, że strategia i-ta gracza A (/-ty wierz macierzy M_A) dominuje strategię k-tątego gracza (k-ty wierz macierzy M_A) jeżeli

(7.9)    Oj > a_kJ    dla każdego j

oraz

(7.10)    ^aij^>aig    dla przynajmniej jednego j

Mówimy, że strategia j-ta gracza B (/-ta kolumna macierzy M_A) dominuje strategię k-tą tego gracza (k-tą kolumnę macierzy M_A) jeżeli

(7.11)    ^aij-^ait    dla każdego/

oraz

(7.12)    ^aij^<aik    dla przynajmniej jednego/

Poprzez usunięcie strategii zdominowanych zmniejszamy wymiar macierzy wypłat, a następnie sprawdzamy, czy istnieje punkt siodłowy. Jeśli istnieje, to para strategii (z, j ), dla której spełnione jest (7.8) jest rozwiązaniem gry.

Często zdarza się, że nie istnieje taka para strategii (/', j ), dla której spełnione jest (7.8) (czyli nie istnieje punkt siodłowy), tzn. zachodzi

(7.13)

a = max min a„ ^ min max a„ = y

.....N} ^]    /e{l,.,/'/} <e{l......W; ¹

Liczba a jest tzw. dolną wartością gry, a liczba y- górną wartością gry. Wówczas wyznacza się tzw. sytuację równowagi w zbiorze tzw. strategii mieszanych. Strategia mieszana jest to kombinacja liniowa strategii czystych. Inaczej można powiedzieć, że strategię mieszaną każdego gracza tworzy rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze jego strategii czystych. Strategie mieszane stosowane są na ogół w dwóch rodzajach sytuacji: w przypadku wielokrotnego (niezależnego od

u