5673850445

Modelowanie matematyczne    dr inż. Zbigniew Tarapata

Wykład nr 5: Modele teorii gier

Rozwiązanie:

Z treści zadania wynika, że każdy z producentów ma do wyboru 2 strategie (liczba sztuk produkowanych wyrobów). Najpierw tworzymy macierz wypłat dla gracza (producenta) nr 1 (A). Elementami a,j macierzy wypłat gracza nr 1 będą wartości funkcji

=    opisującej udział w zysku, przy

czym Zj=i, z₂=j.

Dla przykładu:

i !_±

_a H,(12)    1 ■</(]+2)-c(l)    _    ‘'₃ 10

¹²    H,(l,2)+H₂(l,2) bd(l+2)-c(l)+2-d(l+2)-c(2)    , I _ 1 _{+ 2} I _ 2

3 10    3 10

Macierz wypłat M_A dla gracza A po niezbędnych wyliczeniach wygląda następująco:

1 2

li" 0.5    0.33'

2 0.33    0.5

(7.21)

Dla gracza B macierz wypłat jest następująca: M_B=1-M_A, gdzie

_n 1]

j j . Otrzymaliśmy zatem grę ze stalą sumą wypłat¹ równą 1.

Okazuje się, że taką grę można rozpatrywać podobnie jak grę z zerową sumą wypłat korzystając z pewnego twierdzenia². Zauważmy, że gra ta nie posiada rozwiązania w zbiorze strategii czystych ponieważ w macierzy M_A nie istnieje taki element, który byłby najmniejszym w swoim wierszu i jednocześnie największym w swojej kolumnie, tzn. nie da się wyznaczyć takiej pary strategii (i, j ), dla której zachodzi (7.8). W związku z tym, będziemy poszukiwali rozwiązania w zbiorze strategii mieszanych wyznaczając rozkład

14

1

   Gra z zerową sumą wypłat jest szczególnym przypadkiem gry ze stalą sumą wypłat.

2

   Każda niekoopcracyjna gra ze stalą sumą wypłat jest równoważna (w sensie strategii) pew nej grze z zerową sumą wypłat.