ÿþP o d s t a w y m a t e m a t y k i d l a i n f o r m a t y k ó w
J a n u s z J . S z u s t e r
W s t p d o t e o r i i m n o g o [c i
L i t e r a t u r a
[ 1 ] Z o f i a A d a m o w i c z , P a w e B Z b i e r s k i , L o g i k a m a t e m a t y c z n a , P W N W - w a 1 9 9 1 ,
[ 2 ] W o j c i e c h G u z i c k i , P i o t r Z a k r z e w s k i , W y k Ba d y z e w s t p u d o m a t e m a t y k i w p r o w a d z e n i e
d o t e o r i i m n o g o [c i , W y d a w n i c t w o N a u k o w e P W N W - w a 2 0 0 5
[ 3 ] W o j c i e c h G u z i c k i , P i o t r Z a k r z e w s k i , W s t p d o m a t e m a t y k i z b i ó r z a d a D, W y d a w n i c t w o
N a u k o w e P W N W - w a 2 0 0 5
[ 4 ] K a z i m i e r z K u r a t o w s k i , A n d r z e j M o s t o w s k i , T e o r i a m n o g o [c i , M o n o g r a f i e M a t e m a t y c z n e
t . X X V I I , W - w a 1 9 7 8 ,
[ 5 ] I g o r A . Aa w r o w , Aa r i s a L . M a k s i m o w a , Z a d a n i a z t e o r i i m n o g o [c i , l o g i k i m a t e m a t y c z n e j i
t e o r i i a l g o r y t m ó w , P W N W - w a 2 0 0 4 ,
[ 6 ] J a n u s z O n y s z k i e w i c z , W i k t o r M a r e k , E l e m e n t y l o g i k i i t e o r i i m n o g o [c i , P W N W - w a 2 0 0 4 .
[ 7 ] H e l e n a R a s i o w a , W s t p d o m a t e m a t y k i w s p ó Bc z e s n e j , P W N W - w a 2 0 0 3 ,
[ 8 ] J e r z y T i u r y n , W s t p d o t e o r i i m n o g o [c i i l o g i k i , W r o c Ba w 2 0 0 0 ,
[ 9 ] A g n i e s z k a W o j c i e c h o w s k a , E l e m e n t y l o g i k i i t e o r i i m n o g o [c i , P W N W - w a 1 9 7 9 .
1 . Z A R Y S H I S T O R I I T E O R I I M N O G O ZC I 2
1 . Z a r y s h i s t o r i i t e o r i i m n o g o [c i
E w o l u c j a m y [l i m a t e m a t y c z n e j p r z e b i e g a w s p o s ó b n i e p r z e r w a n y o d c o n a j m n i e j 5 0 0 0 l a t .
W i o d Ba o n a o d , j a k b y [m y t o d z i [ p o w i e d z i e l i , a p l i k a c j i a r y t m e t y c z n y c h p o p r z e z r o z w ó j g e o m e -
t r i i i a l g e b r y o r a z p r ó b y f o r m a l i z a c j i i d e i m a t e m a t y c z n y c h z w y k o r z y s t a n i e m d o r o b k u f i l o z o f ó w
z w a n e g o o d c z a s ó w A r y s t o t e l e s a l o g i k . W r a z z e w z r o s t e m p o z i o m u k o m p l i k a c j i a n a l i z o w a n y c h
o b i e k t ó w m a t e m a t y c y p o t r z e b o w a l i c o r a z t o n o w y c h n a r z d z i p o z w a l a j c y c h n a j e d n o z n a c z n y
o p i s z a r ó w n o n o w o u z y s k i w a n y c h w y n i k ó w j a k i t y c h , k t ó r e b y By z n a n e s t o s u n k o w o d a w n o , a l e
j z y k i c h o p i s u b y B m a Bo p r e z y z y j n y . T a k i e p o j c i a j a k z b i ó r i z a w i e r a n i e b y By w p r z e s z Bo [c i r o -
z u m i a n e i n t u i c y j n i e , m i d z y i n n y m i z u w a g i n a g e o m e t r y c z n e o d n i e s i e n i a , i n i e b u d z i By s p o r ó w
i n t e r p r e t a c j e t y c h p o j . K Bo p o t y z a c z By s i p o j a w i a w m o m e n c i e , g d y o b i e k t e m r o z w a |a D
b y By p o j c i e r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r ó w , c z y t e | p o j a w i e n i a s i w k o n t e k [c i e z b i o r u p o j c i a l i c z -
b y c z y w i e l k o [c i . J e d n y m z t a k i c h p r o b l e m ó w b y B p r o b l e m n i e o g r a n i c z o n e j p o d z i e l n o [c i c z y
r o z c i g l i w o [c i b a d a n y j u | p r z e z p i t a g o r e j c z y k ó w . T e n p r o b l e m p r o w a d z i B c z s t o d o k Bo p o t ó w
n a t u r y f i l o z o f i c z n e j i d o t y k a B o n z a r ó w n o e l e a t ó w j a k B o l z a n a i C a n t o r a .
P o r a z p i e r w s z y z z a g a d n i e m r ó w n o l i c z n o [c i l u b b a r d z i e j p r e c y z y j n i e u o g ó l n i o n e j r ó w n o l i c z -
n o [c i p o j a w i a s i w p r a c a c h G a l i l e u s z a , k t ó r y w y k a z u j e w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n o d p o w i e d n i o [
m i d z y l i c z b a m i n a t u r a l n y m i i i c h d r u g i m i p o t g a m i .
D z i [ w y d a j e s i c o n a j m n i e j n i e z r o z u m i a Be , j a k p r z e z c a Be w i e k i m o g By b y u t r z y m y w a n e
i k u l t y w o w a n e p o g l d y m a t e m a t y c z n e , o k t ó r y c h d z i [ w i e m y , |e b y By n i e p r e c y z y j n e l u b c a B-
k o w i c i e b Bd n e . W y t Bu m a c z e n i e t e g o z j a w i s k a w y d a j e s i j e d n a k b y d o [ n i e s k o m p l i k o w a n e .
M i a n o w i c i e , n i e i s t n i e Bo w e w n t r z n e z a p o t r z e b o w a n i e m a t e m a t y k i n a p r e c y z j e w t y m w z g l -
d z i e . R o z w ó j a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j j a k i d o k o n a B s i w X I X w i e k u z a s p r a w w i e l u ó w c z e s n y c h
m a t e m a t y k ó w w [r ó d k t ó r y c h n a l e |y w y m i e n i C a u c h y e g o , W e i e r s t r a s s a , B o l z a n o , R i e m a n n a ,
P o i n c a r é g o , M i t t a g - L e f f e r a , C a n t o r a , D e d e k i n d a , B e r n s t e i n a i P e a n o . T a l i s t a n i e j e s t o c z y w i [c i e
k o m p l e t n a , a l e w y m i e n i o n e n a z w i s k a w s k a z u j n a r a n g d o s t r z e |o n e g o p r o b l e m u .
B e z w t p i e n i a z a o j c a t e o r i i m n o g o [c i w j e j d z i s i e j s z y m r o z u m i e n i u n a l e |y u z n a m a t e m a -
t y k a n i e m i e c k e g o G e o r g a F e r d y n a n d a L u d w i g a C a n t o r a ( 1 8 4 5 - 1 9 1 8 ) . W y c h o d z c o d a n a l i z y
p r a c R i e m a n n a d o s z e d B p r o b l e m ó w z w i z a n y c h z p r z e l i c z a l n o [c i o r a z k o n s t r u o w a n i e m l i c z b
r z e c z y w i s t y c h . W l a t a c h 1 8 7 8 - 1 8 8 4 C a n t o r o g Bo s i B c y k l s z e [c i u r o z p a w p o [w i c o n y c h p r o b l e -
m o m r ó w n o l i c z n o [c i , t e o r i i z b i o r ó w c a Bk o w i c i e u p o r z d k o w a n y c h , w Ba s n o [c i o m t o p o l o g i c z n y m
R i R n , a t a k |e p r o b l e m o m m i a r y . W p r o w a d z e n i e w 1 8 8 2 r o k u p r z e z C a n t o r a p o j c i a z b i o r u
d o b r z e u p o r z d k o w a n e g o d a j e p o d s t a w d o b a d a n i a l i c z b k a r d y n a l n y c h o r a z p o z w a l a s f o r m u -
Bo w a h i p o t e z c o n t i n u u m . O p ó r m a t e m a t y k ó w w o b e c w y n i k ó w C a n t o r a b y B d o [ j e d n o l i t y i
t w a r d y . J e d y n i e C a r l W e i e r s t r a s s b y B n a s t a w i o n y d o j e g o w y n i k ó w |y c z l i w i e . O p ó r t e n p o w o d o -
w a n y b y B r e w o l u c y j n y m c h a r a k t e r e m t y c h w y n i k ó w , b u r z y By o n e b o w i e m p o n a d d w u t y s i c z n
t r a d y c j m a t e m a t y c z n . P o w y n i k a c h C a n t o r a p r z y s z Ba k o l e j n a u z u p e Bn i e j c e j e r e z u l t a t y B e r n -
s t e i n a i Z e r m e l o . P r a w d z i w y m s o j u s z n i k i e m C a n t o r a w p r a c a c h n a d t e o r i m n o g o [c i b y B J u l i u s
W i l h e l m R i c h a r d D e d e k i n d ( 1 8 3 1 - 1 9 1 6 ) . N i e k t ó r e s p o [r ó d w y n i k ó w u z y s k a n y c h p r z e z C a n t o -
r a i j e g o k o n t u n u a t o r ó w b y By o d k r y t e p r z e z D e d e k i n d a j e d n a k n i e z o s t a By o n e o p u b l i k o w a n e .
C o w i c e j w i e l e w y n i k ó w t e g o o s t a t n i e g o p o k a z a Bo j a k w p e Bn i n a l e |y s t o s o w a t e o r i e a k s j o -
m a t y c z n e . M i a n o w i c i e , D e d e k i n d r o z w a |a j c o g ó l n e p r z y p a d k i z b i o r ó w , a n i e t y l k o z b i o r ó w
L I T E R A T U R A 3
c a Bk o w i c i e u p o r z d k o w a n y c h , d o c h o d z i d o z b i o r ó w k r a t o w y c h i g r u n t o w n i e a n a l i z u j e i c h w Ba -
s n o [c i . C h o c i a | w o d r ó |n i e n i u o d w y n i k ó w C a n t o r a , r e z u l t a t y u z y s k a n e p r z e z D e d e k i n d a n i e
z n a l a z By n a t y c h m i a s t o w e g o z a s t o s o w a n i a , t o o k a z a By s i o n e n i e z w y k l e w a |n i e j u | w n i e o d l e g Be j
p r z y s z Bo [c i .
W y n i k i p r a c C a n t o r a p o z w o l i By n a f o r m a l i z a c j m a t e m a t y k i , a j e d n o c z e [n i e d a By p o c z t e k
u p o w s z e c h n i a n i u s i m e t o d a k s j o m a t y c z n y c h . J e d n a k p o z a t y m o s i g n i c i e m d a By o n e p o c z t e k
k r y z y s o w i p o d s t a w m a t e m a t y k i . P o j a w i By s i o t o p a r a d o k s y t e o r i i m n o g o [c i . W i k s z o [ z n i c h
b y Ba b l i zn i a c z o p o d o b n a , p o d w z g l d e m n a t u r y , d o t y c h z j a k i m i z e t k n i t o s i w c z e [n i e j p r z y
o d k r y c i u g e o m e t r i i n i e e u k l i d e s o w y c h . S k o n s t a t o w a t o m o |n a s f o r m u Bo w a n i e m z a c z e r p n i t y m z
E l e m e n t ó w h i s t o r i i m a t e m a t y k i N i c o l a s a B o u r b a k i , |e p r ó |n e s p r ó b y z b u d o w a n i a j a k i e j k o l w i e k
t e o r i i m a t e m a t y c z n e j z a p o m o c o d w o By w a n i a s i ( j a w n e g o l u b n i e ) d o i n t u i c j i . S z Bo z a t e m
o t o , b y d l a t e o r i i m n o g o [c i s t w o r z y p o d s t a w a k s j o m a t y c z n a n a l o g i c z n d o u k Ba d u a k s j o -
m a t ó w g e o m e t r i i e l e m e n t a r n e j , b e z d o c i e k a n i a c o n a z y w a m y z b i o r e m , w s e n s i e n a t u r y o b i e k t u ,
j a k r ó w n i e | n i e j e s t d e f i n i o w a n e p r z y n a l e |e n i e d o z b i o r u , a j e d y n i e w y r a zn i e f o r m u Bo w a n e s
w a r u n k i c h a r a k t e r y z u j c e p r z y n a l e |n o [ d o u s t a l o n e g o z b i o r u . P i e r w s z y m , k t ó r y z b u d o w a B t a -
k a k s j o m a t y z a c j b y B Z e r m e l o i s t a Bo s i t o w 1 9 0 8 r o k u . P r ó b a t a u z u p e Bn i o n a p r z e z w y n k i
S k o l e m a i F r a e n k l a p o z w o l i Ba n a k o n s t r u k c j a k s j o m a t y k i t e o r i i m n o g o [c i , j e d n a k c e n j a k
n a l e |a Bo z a t o z a p Ba c i , b y Ba k o m i e c z n o [ w p r o w a d z e n i a t a k |e r e g u B l o g i k i .
L i t e r a t u r a
[ 1 ] N . B o u r b a k i E l e m e n t y h i s t o r i i m a t e m a t y k i , P W N W a r s z a w a 1 9 8 0 ,
[ 2 ] A . P . J u s z k i e w i c z H i s t o r i a m a t e m a t y k i ( o d c z a s ó w n a j d a w n i e j s z y c h d o p o c z t k u c z a s ó w
n o w o |y t n i c h ) , T o m 1 - 3 , P W N W a r s z a w a 1 9 7 5 ,
[ 3 ] K . K u r a t o w s k i , A . M o s t o w s k i T e o r i a m n o g o [c i , M o n o g r a f i e M a t e m a t y c z n e X X V I I , W a r -
s z a w a 1 9 7 8 ,
[ 4 ] R . M u r a w s k i F i l o z o f i a m a t e m a t y k i z a r y s d z i e j ó w , W y d a w n i c t w o N a u k o w e P W N 1 9 9 5
L I T E R A T U R A 4
1 . 1 . W a |n e o s o b y i d a t y w r o z w o j u t e o r i i m n o g o [c i
J u l i u s W i l h e l m R i c h a r d D E D E K I N D ( "1 8 3 1 B r a u n s c h w e i g w N i e m c z e c h 1 9 1 6 B r a u n -
s c h w e i g w N i e m c z e c h ) , n o w o c z e s n a t e o r i a l i c z b a l g e b r a i c z n y c h , p r a k r o j e D e d e k i n d a .
P a u l D a v i d G u s t a v D U B O I S - R E Y M O N D ( "1 8 3 1 B e r l i n 1 8 8 9 F r e i b u r g w N i e m c z e c h ) ,
b a d a B s z e r e g i l i c z b o w e , a p r z y t y m w n i ó s B w i e l e d o t e o r i i z b i o r ó w .
G e o r g F e r d y n a n d L u d w i g C A N T O R ( "1 8 4 5 S t P e t e r s b u r g w R o s j i 1 9 1 8 H a l l e w N i e m -
c z e c h ) , t w ó r c a t e o r i i m n o g o [c i , k t ó r a w p By n Ba n a r o z w ó j c a Be j m a t e m a t y k i , a w s z c z e g ó l n o [-
c i n a p o d s t a w y w s p ó Bc z e s n e j a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j , k o n s t r u k c j a C a n t o r a l i c z b r z e c z y w i -
s t y c h .
M a g n u s G ö s t a M I T T A G - L E F F L E R ( "1 8 4 6 S z t o k h o l m 1 9 2 7 S z t o k h o l m ) , t w ó r c a s k a n -
d y n a w s k i e j s z k o By m a t e m a t y c z n e j , p r z y c z y n i B s i d o u p o r z d k o w a n i a t e o r i i m n o g o [c i .
E r n s t F r i e d r i c h F e r d i n a n d Z E R M E L O ( "1 8 7 1 B e r l i n 1 9 5 3 F r e i b u r g w N i e m c z e c h ) , b a d a B
p o d s t a w y m a t e m a t y k i , a u t o r f u n d a m e n t a l n y c h p r a c z t e o r i i m n o g o [c i w s z c z e g ó l n o [c i
a k s j o m a t y k i t e o r i i m n o g o [c i .
´
J u l i u s H e n r i P O I N C A R E ( "1 8 5 4 N a n c y w e F r a n c j i 1 9 1 2 P a r y |) , z a j m o w a B s i w i e l o m a
d y s c y p l i n a m i m a t e m a t y c z n y m i , a t a k |e f i z y k i f i l o z o f i . J e g o p r a c e d o t y c z c e p o d s t a w
m a t e m a t y k i s t a n o w i By i s t o t n y w k Ba d w r o z w ó j t e o r i i m n o g o [c i .
A d o l f A b r a h a m H a l e v i F R A E N K E L ( "1 8 9 1 M o n a c h i u m 1 9 6 5 J e r o z o l i m a ) , w s p ó l n i e z
F r a e n k l e m i C a n t o r e m w s p ó Bt w o r z y B w s p ó Bc z e s n t e o r i m n o g o [c i .
F r i e d r i e c h L u d w i g G o t t l o b F R E G E ( "1 8 4 8 W i s m a r w M e c k l e n b u r g i i - S c h w e r i n i e w N i e m -
c z e c h 1 9 2 5 B a d K l e i n e n w N i e m c z e c h ) , p i e r w s z e u j c i e r a c h u n k u z d a D j a k o s f o r m a l i z o -
w a n e j t e o r i i a k s j o m a t y c z n e j .
G i u s e p p e P E A N O ( "1 8 5 8 C u n e o n a S a r d y n i i 1 9 3 2 T u r y n w e W Bo s z e c h ) , a t y t m e t y k a
j a k o t e o r i a a k s j o m a t y c z n a s f o r m a l i z o w a n a ( A r y t m e t y k a P e a n o ) .
D a v i d H I L B E R T ( "1 8 6 2 K r ó l e w i e c w P r u s a c h W s c h o d n i c h 1 9 4 3 G e t y n g a w N i e m -
c z e c h ) , j e g o b a d a n i a n a d p o d s t a w a m i g e o m e t r i i ( 1 8 9 8 - 1 9 0 2 ) z a p o c z t k o w a By n o w o c z e s n ,
a k s j o m a t y c z n b u d o w t e o r i i m a t e m a t y c z n y c h ( 2 3 p r o b l e m y H i l b e r t a , t e o r i a s p e k t r a l n a
o p e r a t o r ó w l i n i o w y c h p o d s t a w o w y a p a r a t m e c h a n i k i k w a n t o w e j ) .
B e r t r a n d A r t h u r W i l l i a m R U S S E L ( "1 8 7 2 R a v e n s c r o f t w W a l i i 1 9 7 0 P e n r h y n d e n -
d r a e t h w W a l i i ) , w 1 9 0 2 r a n a l i z u j c z a p r o p o n o w a n y p r z e z F r e g e g o s y s t e m l o g i c z n y c h
p o d s t a w m a t e m a t y k i z a u w a |y B w n i m s p r z e c z n o [ p o l e g a j c n a t z w . p a r a d o k s i e k l a s
( a n t y n o m i a R u s s e l l a ) , w 1 9 0 3 o g Bo s i B P r i n c i p l e s o f M a t h e m a t i c s , w k t ó r y c h s t a r a B s i
s p r o w a d z i t e o r i m n o g o [c i , a n a w e t c a B m a t e m a t y k d o l o g i k i , w 1 9 0 8 r s t w o r z y B z a -
s a d y t z w . t e o r i i t y p ó w l o g i c z n y c h . W l a t a c h 1 9 1 0 - 1 9 1 3 B . A . W . R u s s e l l w r a z z A l f r e d e m
N o r t h W h i t e h e a d e m ( " 1 8 6 1 R a m s g a t e h r a b s t w o K e n t w A n g l i i 1 8 4 7 C a m b r i d g e w
M a s s a c h u s e t t s U S A ) n a p i s a l i i o p u b l i k o w a l i P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a ( t . I I I I ) , w k t ó r e j
L I T E R A T U R A 5
i d e p r z e w o d n i b y Bo p o s z u k i w a n i e p o d s t a w m a t e m a t y k i w z a s a d a c h l o g i c z n y c h , r e z u l -
t a t e m z a [ p r z e d s t a w i e n i e m a t e m a t y k i w p o s t a c i s y s t e m u s f o r m a l i z o w a n e g o o r a z n a d a n i e
w s p ó Bc z e s n e g o k s z t a Bt u l o g i c e m a t e m a t y c z n e j .
J o h n ( J a n o s ) v o n N E U M A N N ( "1 9 0 3 B u d a p e s z t 1 9 5 7 W a s z y n g t o n ) , m a t e m a t y k , c h e -
m i k , f i z y k , i n f o r m a t y k w s p ó Bt w ó r c a b r o n i a t o m o w e j . J e g o b a d a n i a z t e o r i i m n o g o [c i p r z y -
c z y n i By s i d o w y k o r z y s t a n i a u z y s k a n y c h p r z e z n i e g o w y n i k ó w w z a s t o s o w a n i a c h p r a k -
t y c z n y c h o r a z d o u s z l a c h e t n i e n i a w i e l u w y n i k ó w .
H e n r i L e o n L E B E S G U E ( "1 8 7 5 B e a v a i s w e F r a n c j i 1 9 4 1 P a r y |) , t w ó r c a o g ó l n e j t e o r i i
m i a r y i c a Bk i . W t r a k c i e b a d a D n a d t y m i t e o r i a m i u z y s k a B w a |n e d l a t e o r i i m n o g o [c i
w y n i k i .
W a c Ba w S I E R P I CS K I ( "1 8 8 2 W a r s z a w a 1 9 6 9 W a r s z a w a ) , b a d a B t e o r i l i c z b , t o p o l o g i
i t e o r i m n o g o [c i . W 1 9 1 2 r o k u n a p i s a B f u n d a m e n t a l n k s i |k d o t y c z c t e j o s t a t n i e j
d y s c y p l i n y , w k t ó r e j z a m i e [c i B r ó w n i e | w i e l e w Ba s n y c h w y n i k ó w .
K u r t G Ö D E L ( "1 9 0 6 B r ü n n w A u s t r o w g r z e c h o b e c n i e B r n o w C z e c h a c h 1 9 7 8 P r i n -
c e t o n w s t a n i e N o w y J o r k w U S A ) , n i e p e Bn o [ t e o r i i a k s j o m a t y c z n y c h s f o r m a l i z o w a n y c h
z a w i e r a j c y c h a r y t m e t y k . T w i e r d z e n i e o n i e s p r z e c z n o [c i h i p o t e z y c o n t i n u u m z a k s j o m a -
t y k t e o r i i m n o g o [c i .
K a z i m i e r z K U R A T O W S K I ( "1 8 9 6 W a r s z a w a 1 9 8 0 W a r s z a w a ) , j e d e n z t w ó r c ó w L w o w -
s k i e j S z k o By M a t e m a t y c z n e j , b a d a c z t e o r i i m n o g o [c i , t o p o l o g i i , t e o r i i g r a f ó w , a n a l i z y m a t e -
m a t y c z n e j i p o d s t a w m a t e m a t y k i . J e g o w y n i k i b a d a D z p o d s t a w m a t e m a t y k i p r z y c z y n i By
s i d o u p o r z d k o w a n i a t e j d y s c y p l i n y ( l e m a t K u r a t o w s k i e g o - Z o r n a ) .
S t a n i s Ba w M a r c i n U L A M ( "1 9 0 9 L w ó w 1 9 8 4 S a n t a F e w U S A ) , t w ó r c a m e t o d y M o n t e
C a r l o , w s z e c h s t r o n n y m a t e m a t y k o z d o l n o [c i a c h p r z e n o s z e n i a w y n i k ó w m a t e m a t y c z n y c h
d o i n n y c h n a u k . J e g o p r a c e z t e o r i i p r o c e s ó w s t o c h a s t y c z n y c h , r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h
c z s t k o w y c h , a n a l i z y f u n k c j o n a l n e j o r a z i c h z a s t o s o w a n i a w f i z y c e p r z y c z y n i By s i d o b a -
d a D p r o b l e m ó w t e o r i i m n o g o [c i . N i e k t ó r e z j e g o w y n i k ó w p r a c p o z o s t a j u t a j n i o n e p o d z i [
d z i e D, z e w z g l d u n a i c h w y k o r z y s t a n i e p r z y k o n s t r u k c j i b o m b y a t o m o w e j i w o d o r o w e j .
B e z s p o r n i e S t a n i s Ba w U l a m j e s t u w a |a n y z a t w ó r c k o n c e p c j i b o m b y w o d o r o w e j , b y B o n
t a k |e s t a By m k o n s u l t a n t e m w t r a k c i e j e j b u d o w y .
P a u l J o s e p h C O H E N ( "1 9 3 4 L o n g B r a n c h , N e w J e r s e y ) , n i e z a l e |n o [ h i p o t e z y c o n t i n u u m
( 1 9 6 3 ) , m e d a l F i e l d s a w 1 9 6 6 .
2 . W P R O W A D Z E N I E 6
2 . W p r o w a d z e n i e
W a r t o d o d a , |e t a k j a k l o g i k a m a t e m a t y c z n a k o r z y s t a z p o j t e o r i i m n o g o [c i , t a k t e o r i a
m n o g o [c i w y k o r z y s t u j e w i e l e p o j l o g i k i . W t e j c z [c i w y k Ba d u n i e b d z i e m y f o r m a l i z o w a p o -
j l o g i k i m a t e m a t y c z n e j , b d z i e t o p r z e d m i o t e m d r u g i e j c z [c i . J e d n a k z u w a g i n a u |y t e c z n o [
p o d s t a w o w y c h f a k t ó w l o g i c z n y c h p r z e d s t a w i m y j e w z n a c z n y m u p r o s z c z e n i u . D o d a n a l e |y , |e
p o s Bu |y m y s i l o g i k z n a n z n a u k i w s z k o l e [r e d n i e j . J e s t t o w p e w n y m s e n s i e k l a s y c z n e p o -
d e j [c i e d o t e j d y s c y p l i n y , o d m i e n n e o d p o d e j [c i a k t ó r e z a p r e z e n t o w a n e w c z [c i p o [w i c o n e j
l o g i c e . T e n l o g i c z n y d u a l i z m j e s t j e d n a k k o n i e c z n y z e w z g l d u n a g r a d a c j t r u d n o [c i .
N i e c h Z o z n a c z a z b i ó r w s z y s t k i c h z d a D o r z e k a j c y c h o d n o s z c y c h s i d o m a t e m a t y k i . N i e c h
p o n a d t o 0 b d z i e s y m b o l e m f a Bs z u , n a t o m i a s t 1 s y m b o l e m p r a w d y . F u n k c j w : Z ’!{ 0 , 1 }
n a z y w a m y w a r t o [c i o w a n i e m . P r z y j m i j m y u m o w , |e e l e m e n t y z b i o r u Z b d z i e m y o z n a c z a
m a By m i l i t e r a m i a l f a b e t u :
p , q , r , s , p 1 , q 1 , r 1 , s 1 , p 2 , q 2 , r 2 , s 2 , . . . ,
k t ó r y c h m o |e b y n a w e t n i e s k o Dc z e n i e w i e l e . L i t e r y o z n a c z a b d o b i e k t y z w a n e z m i e n n y m i
z d a n i o w y m i .
N a r z d z i e m z a c z e r p n i t y m z j z y k a p o t o c z n e g o s s p ó j n i k i , z w a n e w l o g i c e r ó w n i e | f u n k t o -
r a m i z d a n i o t w ó r c z y m i . P o z w a l a j o n e b u d o w a z e z d a D p r o s t y c h z d a n i a z Bo |o n e . I t a k , z a m i a s t
p i s a n i e u |y j e m y s y m b o l u <" ( s y m b o l i z y j e o n z d e f o r m o w a n l i t e r N , o d n e g o , c o o z n a c z a
p r z e c z ) , z a m i a s t p i s a j e [l i . . . , t o z a p i s z e m y ’!, s y m b o l ”! b d z i e z a s t p o w a B z w r o t w t e d y i
t y l k o w t e d y ( l u b k r ó t k o w t t ) , s y m b o l '" o z n a c z a b d z i e i , z a [ s y m b o l (" b d z i e z a s t p o w a B
s p ó j n i k l u b .
O p r ó c z s p ó j n i k ó w ( f u n k t o r ó w z d a n i o t w ó r c z y c h ) p o s Bu g i w a s i b d z i e m y n a w i a s a m i : o t w i e -
r a j c y m ( o r a z z a m y k a j c y m ) . W o p a r c i u o n a w i a s y , f u n k t o r y z d a n i o t w ó r c z e i z m i e n n e
z d a n i o w e t w o r z y b d z i e m y f o r m u By r a c h u n k u z d a D. K a |d a z t a k i c h f o r m u B s t a j e s i z d a n i e m ,
g d y w m i e j s c e z m i e n n y c h z d a n i o w y c h w s t a w i m y z d a n i a o c z y w i [c i e w m i e j s c e u s t a l o n e j l i t e r y
w s t a w i a m y t o s a m o z d a n i e .
N a w i a s y , w y m i e n i o n e j a k o e l e m e n t s k Ba d o w y f o r m u B z d a n i o w y c h u Ba t w i a j , a n i e k i e d y w r c z
u m o |l i w i a j , o d c z y t a n i e t a k i e j f o r m u By g d y w z b i o r z e f u n k t o r ó w n i e z o s t a Ba w p r o w a d z o n a
h i e r a r c h i a m o c y w i z a n i a .
W [r ó d w s z y s t k i c h f o r m u B r a c h u n k u z d a D s z c z e g ó l n i e w a |n r o l p e Bn i f o r m u By p r a w d z i w e
b e z w z g l d u n a w a r t o [ l o g i c z n w y s t p u j c y c h w n i c h z m i e n n y c h z d a n i o w y c h . F o r m u By t a k i e
n a z y w a m y t a u t o l o g i a m i i w z a p i s i e d l a p o d k r e [l e n i a t e g o f a k t u p o p r z e d z a m y s y m b o l e m . R o l a
t a u t o l o g i i p o l e g a n a t y m , |e z a i c h p o m o c m o |e m y d o k o n y w a o p e r a c j i l o g i c z n y c h n i e z a l e |n i e
o d t r e [c i z d a D, k t ó r e l o g i c z n i e p r z e k s z t a Bc a m y .
O s o b n y m z a g a d n i e n i e m j e s t s p r a w d z e n i e c z y d a n a f o r m u Ba j e s t t a u t o l o g i . P r z e d s t a w i m y
p o c h o d z c o d E r n s t a S c h r ö d e r a m e t o d z e r o j e d y n k o w , l u b i n a c z e j m e t o d t a b l i c o w . P o l e g a
o n a n a r o z p a t r z e n i u w s z y s t k i c h u k Ba d ó w w a r t o [c i l o g i c z n y c h z m i e n n y c h z d a n i o w y c h w y s t p u -
j c y c h w d a n y m w y r a |e n i u . M e t o d a t a n a z y w a n a j e s t n i e k i e d y m e t o d m a t r y c o w , z e w z g l d u
n a p o s Bu g i w a n i e s i w n i e j t a b e l k a m i m a t r y c o w y m i , p r z e d s t a w i a j c y m i w j a k i s p o s ó b w a r t o [
l o g i c z n a z d a n i a z Bo |o n e g o u t w o r z o n e g o p r z y p o m o c y d a n e g o f u n k t o r a , l u b f u n k t o r ó w , j e s t w y -
2 . W P R O W A D Z E N I E 7
z n a c z o n a p r z e z w a r t o [c i l o g i c z n e z d a D s k Ba d o w y c h . P o z o s t a j c p r z y d o t y c h c z a s o w y c h u m o w a c h
m o |e m y z d e f i n i o w a p o s z c z e g ó l n e f u n k t o r y . T y m r a z e m d e f i n i c j a m a p o s t a n a s t p u j c e j t a b e l i :
w ( p ) w ( q ) w ( <" p ) w ( p '" q ) w ( p (" q ) w ( p ’! q ) w ( p ”! q )
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1
M e t o d z e r o j e d y n k o w z i l u s t r u j e m y n a s t p u j c y m p r z y k Ba d e m .
P r z y k Ba d . S p r a w d z i m y c z y f o r m u Ba w { ( p ’! q ) ’! [ ( q ’! r ) ’! ( p ’! r ) ] } j e s t t a u t o l o g i
( t w i e r d z e n i e m ) r a c h u n k u z d a D.
w [ ( q ’! r ) ’! w { ( p ’! q ) ’!
w ( p ) w ( q ) w ( r ) w ( p ’! q ) w ( q ’! r ) w ( p ’! r )
’! ( p ’! r ) ] ’! [ ( q ’! r ) ’! ( p ’! r ) ] }
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
T a b e l a t a p o k a z u j e w j a k i s p o s ó b n a l e |y p o s t p o w a d l a s p r a w d z e n i a c z y r o z p a t r y w a n a f o r -
m u Ba j e s t t a u t o l o g i . P o n i e w a | o s t a t n i a k o l u m n a s k Ba d a s i z s a m y c h j e d y n e k , t o o z n a c z a t o , |e
d l a w s z y s t k i c h m o |l i w y c h u k Ba d ó w w a r t o [c i l o g i c z n y c h z d a D s k Ba d o w y c h , z b u d o w a n y c h z g o d n i e
z f o r m u B, o t r z y m u j e m y z d a n i e p r a w d z i w e . Z a t e m b a d a n a p r z e z n a s f o r m u Ba j e s t t a u t o l o g i .
P r z e d s t a w i m y t e r a z k i l k a w a |n i e j s z y c h t a u t o l o g i i , k t ó r y c h s p r a w d z e n i e p o z o s t a w i a m y d o
s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a p r z y u |y c i u o b u p r z e d s t a w i o n y c h m e t o d .
p o s t a p r a w a n a z w a p r a w a
w ( p (" q ) = w ( q (" p ) p r z e m i e n n o [c i a l t e r n a t y w y
w ( p '" q ) = w ( q '" p ) p r z e m i e n n o [c i k o n i u n k c j i
w ( p (" ( q (" r ) ) = w ( ( p (" q ) (" r ) Bc z n o [c i a l t e r n a t y w y
w ( p '" ( q '" r ) ) = w ( p '" q ) '" r ) Bc z n o [c i k o n i u n k c j i
w ( p '" ( q (" r ) ) = w ( ( p '" q ) (" ( p '" r ) ) r o z d z i e l n o [c i k o n i u n k c j i w z g l d e m a l t e r n a t y w y
w ( p (" ( q '" r ) ) = w ( ( p (" q ) '" ( p (" r ) ) r o z d z i e l n o [c i a l t e r n a t y w y w z g l d e m k o n i u n k c j i
w ( p ("<"p ) = 1 w y Bc z o n e g o [r o d k a
w ( p Ð!Ò! p ) = 1 t o |s a m o [c i
w ( <" ( p '"<"p ) ) = 1 s p r z e c z n o [c i
w ( p Ô!<" ( <" p ) ) = 1 p o d w ó j n e g o p r z e c z e n i a
w ( [ ( p Ò! q ) '" ( q Ò! r ) ] Ò! ( p Ò! r ) ) = 1 s y l o g i z m u
w ( ( <" p Ò! p ) Ò! p ) = 1 s p r o w a d z a n i a d o n i e d o r z e c z n o [c i
w ( p Ò! q ) = w ( <" q Ò!<" p ) k o n t r a p o z y c j i
w ( p '" ( p Ò! q ) Ò! q ) = 1 r e g u Ba o d r y w a n i a
Z a j m i e m y s i t e r a z b a r d z o w a |n y m i z p r a k t y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a t a u t o l o g i a m i z w a n y m i
3 . Z B I O R Y I O P E R A C J E N A Z B I O R A C H 8
p r a w a m i d e M o r g a n a . P o z w a l a j o n e p r z e c z y f u n k t o r o m d w u c z Bo n o w y m i s c z s t o w y k o r z y -
s t y w a n e w d o w o d a c h n i e w p r o s t .
p o s t a p r a w a n a z w a p r a w a
w ( <" ( p '" q ) ) = w ( <" p ("<"q ) p r a w o d e M o r g a n a d l a k o n i u n k c j i
w ( <" ( p (" q ) ) = w ( <" p '"<"q ) p r a w o d e M o r g a n a d l a a l t e r n a t y w y
B e z p o [r e d n i k o n s e k w e n c j p r a w d e M o r g a n a d l a z d a D s n a s t p u j c e t a u t o l o g i e :
w ( <" ( p ’! q ) ) = w ( p '"<"q )
w ( <" ( p ”! q ) ) = w ( [ ( p '"<"q ) (" ( q '"<"p ) ] )
W m a t e m a t y c e s p o t y k a m y s i c z s t o z p o j c i a m i w a r u n k u k o n i e c z n e g o i w a r u n k u w y s t a r -
c z a j c e g o . P o j c i a t e w i | s i z f u n k t o r a m i i m p l i k a c j i i r ó w n o w a |n o [c i . R o z w a |m y i m p l i k a c j
p ’! q , ( ”)
w k t ó r e j z d a n i e p n a z y w a m y p o p r z e d n i k i e m , a z d a n i e q n a s t p n i k i e m i m p l i k a c j i ( ”) . M ó w i m y
w t e d y |e z d a n i e q j e s t w a r u n k i e m k o n i e c z n y m d l a p , n a t o m i a s t p j e s t w a r u n k i e m d o s t a t e c z n y m
d l a q .
D l a i m p l i k a c j i ( ”) i m p l i k a c j
p ! q , ( l u b i n a c z e j q ’! p ) ( ")
n a z y w a m y o d w r o t n .
J e [l i p r a w d z i w e s i m p l i k a c j a p r o s t a i i m p l i k a c j a o d w r o t n a , t o z d a n i e p ”! q n a z y w a m y
w a r u n k i e m k o n i e c z n y m i w y s t a r c z a j c y m .
3 . Z b i o r y i o p e r a c j e n a z b i o r a c h
W t e o r i i m n o g o [c i , p o d o b n i e j a k w k a |d e j d y s c y p l i n i e m a t e m a t y c z n e j , k o r z y s t a m y z p o -
j p r z y j m o w a n y c h b e z d e f i n i c j i t a k z w a n y c h p o j p i e r w o t n y c h . Z a l i c z a m y d o n i c h : p o j c i e
z b i o r u i p o j c i e p r z y n a l e |n o [c i d o z b i o r u l u b i n a c z e j b y c i e e l e m e n t e m z b i o r u . Z a m i a s t m ó w i ,
|e a j e s t e l e m e n t e m z b i o r u A p i s z e m y a " A , j e [l i n a t o m i a s t a n i e j e s t e l e m e n t e m z b i o r u A
p i s z e m y a " A . J e [l i z a j m u j e m y s i u s t a l o n t e o r i m a t e m a t y c z n ( w n a s z y m p r z y p a d k u t e o r i
m n o g o [c i ) , t o p o z a p o j c i a m i p i e r w o t n y m i p r z y j m u j e s i b e z d o w o d u p e w n l i c z b w Ba s n o [c i
( t w i e r d z e D) o d n o s z c y c h s i d o o b i e k t ó w t e o r i i ( w n a s z y m p r z y p a d k u z b i o r ó w ) z w a n y c h a k -
s j o m a t a m i i w o p a r c i u o t a k i z e s t a w n a r z d z i f o r m u Bo w a n e s d a l s z e w Ba s n o [c i o b i e k t ó w t e j
t e o r i i . I s t n i e n i e t a k i e j k o l e k c j i p o j p i e r w o t n y c h i a k s j o m a t ó w w p r z y p a d k u u s t a l o n e j t e o r i i
p o z w a l a n a z w a j t e o r i a k s j o m a t y c z n . J a k j u | m ó w i l i [m y w c z [c i p o [w i c o n e j h i s t o r i i t e o r i i
m n o g o [c i d y s c y p l i n a t a m a a k s j o m a t y k z w a n a k s j o m a t y k Z e r m e l o - F r a e n k l a .
R o z p a t r z m y d w a d o w o l n e z b i o r y A i B . M ó w i m y , |e A j e t r ó w n y B w t e d y i t y l k o w t e d y ,
g d y z b i o r y t e m a j i d e n t y c z n e e l e m e n t y . Z w y k l e f a k t t e n w y r a |a m y p i s z c :
A = B w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y d l a k a |d e g o a z a c h o d z i : a " A w t t a " B .
Z a l e |n o [ t n a z y w a m y z a s a d e k s t e n s j o n a l n o [c i .
3 . Z B I O R Y I O P E R A C J E N A Z B I O R A C H 9
M ó w i m y , |e A j e s t p o d z b i o r e m B l u b r ó w n o w a |n i e A j e s t z a w a r t y w B w t e d y i t y l k o w t e d y ,
g d y k a |d y e l e m e n t z b i o t u A j e s t e l e m e n t e m z b i o r u B . P i s z e m y w t e d y A †" B . N i e k i e d y o z b i o r z e
B m ó w i m y , |e j e s t n a d z b i o r e m z b i o r u A . J e [l i A †" B i A = B , t o A n a z y w a m y p o d z b i o r e m
w Ba [c i w y m z b i o r u B i p i s z e m y w t e d y A B . Z b i ó r n i e z a w i e r a j c y |a d n e g o e l e m e n t u n a z y w a m y
z b i o r e m p u s t y m i o z n a c z a m y s y m b o l e m ". N a m o c y z a s a d y e k s t e n s j o n a l n o [c i i s t n i e j e d o k Ba d n i e
j e d e n z b i ó r p u s t y .
Z b i ó r b d z i e m y u w a |a z a o k r e [l o n y j e [l i z o s t a Bo p o d a n e k r y t e r i u m p o z w a l a j c e r o z s t r z y g -
n c z y d a n y e l e m e n t n a l e |y , c z y t e | n i e n a l e |y d o r o z p a t r y w a n e g o z b i o r u .
W z a l e |n o [c i o d s p o s o b u o k r e [l e n i a i r o d z a j u z b i o r u o z n a c z a m y g o s y m b o l e m { a 1 , . . . , a n } ,
g d y z b i ó r j e s t s k o Dc z o n y i s k Ba d a s i z n e l e m e n t ó w , a l b o { x | w ( x ) } , g d z i e w ( x ) j e s t w a r u n k i e m
c h a r a k t e r y z u j c y m d a n y z b i ó r . Z a m i a s t A )"{ x | w ( x ) } b d z i e m y p i s a { x " A | w ( x ) } . J e |e l i A
j e s t z b i o r e m , k t ó r e g o e l e m e n t a m i s z b i o r y , t o A n a z y w a b d z i e m y r o d z i n z b i o r ó w .
J e [l i A i B s d o w o l n y m i z b i o r a m i , t o p r z e z s u m t y c h z b i o r ó w r o z u m i e m y z b i ó r A *"
B , k t ó r e g o e l e m e n t a m i s t e i t y l k o t e e l e m e n t y , k t ó r e n a l e | d o z b i o r u A l u b d o z b i o r u B .
N a t o m i a s t i l o c z y n e m ( p r z e c i c i e m ) z b i o r ó w n a z y w a m y z b i ó r A )" B , k t ó r e g o e l e m e n t a m i s t e
i t y l k o t e e l e m e n t y , k t ó r e s r ó w n o c z e [n i e e l e m e n t a m i z b i o r u A i z b i o r u B . R ó |n i c z b i o r u A
i B n a z y w a m y z b i ó r A \ B , z Bo |o n y z t y c h i t y l k o t y c h e l e m e n t ó w , k t ó r e n a l e | d o A i n i e
n a l e | d o B . D l a z b i o r u A s y m b o l e m P ( A ) l u b t e | 2 A o z n a c z a b d z i e m y z b i ó r z Bo |o n y z e
w s z y s t k i c h p o d z b i o r ó w t e g o z b i o r u i n a z y w a g o b d z i e m y z b i o r e m p o t g o w y m z b i o r u A . J e |e l i
w o d n i e s i e n i u d o u s t a l o n e g o z b i o r u A r o z w a |a n i a o g r a n i c z y m y t y l k o d o j e g o p o d z b i o r ó w ( t j .
e l e m e n t ó w P ( A ) ) , t o z b i ó r A n a z y w a b d z i e m y w t e d y p r z e s t r z e n i .
D z i a Ba n i a s u m y i i l o c z y n u d w ó c h z b i o r ó w m o |n a r o z s z e r z y n a w i k s z l i c z b z b i o r ó w , t o
z n a c z y n a r o d z i n y z b i o r ó w . D l a r o d z i n y z b i o r ó w A j e j s u m o z n a c z a m y p r z e z A i m a m y
w t e d y :
x " A w t t , g d y i s t n i e j e A "A , |e x " A .
P o d o b n i e d e f i n i u j e m y i l o c z y n r o d z i n y z b i o r ó w A . M a m y m i a n o w i c i e :
x " A w t t , d l a k a |d e g o A "A , |e x " A .
R o z p a t r z m y t e r a z s y t u a c j , k i e d y e l e m e n t x n i e n a l e |y o d p o w i e d n i o d o s u m y z b i o r ó w , i l o -
c z y n u z b i o r ó w o r a z r ó |n i c y z b i o r ó w . A z a t e m , j e [l i x " A *" B , t o z g o d n i e z d e f i n i c j s u m y
z b i o r ó w x " A i x " B . Z k o l e i j e [l i x " A )" B , t o x " A l u b x " B . N a t o m i a s t f a k t , |e
x " A \ B o z n a c z a n a m o c y d e f i n i c j i , |e x " A l u b x " B .
Z a t e m s y m b o l i c z n i e m o |e m y w y r a z i t e u w a g i p i s z c :
x " A *" B a" x " A '" x " B ,
x " A )" B a" x " A (" x " B ,
x " A \ B a" x " A (" x " B .
P r z e z f o r m u B r a c h u n k u z b i o r ó w r o z u m i e m y w y r a |e n i e u t w o r z o n e z s y m b o l i z b i o r ó w , s y m b o l i
o p e r a c j i n a z b i o r a c h i n a w i a s ó w . P o d o b n i e j a k w p r z y p a d k u f o r m u B r a c h u n k u z d a D t a u t o l o g i a m i
n a z y w a b d z i e m y t e s p o [r ó d f o r m u B r a c h u n k u z d a D, k t ó r e s p r a w d z i w e n i e z a l e |n i e o d d o b o r u
w y s t p u j c y c h w n i c h z b i o r ó w .
3 . Z B I O R Y I O P E R A C J E N A Z B I O R A C H 1 0
( 1 ) P r a w a p r z e m i e n n o [c i . J e [l i A i B s d o w o l n y m i z b i o r a m i t o
A *" B = B *" A ,
A )" B = B )" A .
D o w ó d . W y k a |e m y n a w s t p i e p r a w d z i w o [ p r z e m i e n n o [c i d l a s u m y . P r z y p u [m y , |e
x " B *" A . N a m o c y d e f i n i c j i w i e m y , |e x " A *" B Ð!Ò! x " A (" x " B . Z d r u g i e j s t r o n y n a
m o c y p r a w a p r z e m i e n n o [c i a l t e r n a t y w y :
p (" q a" q (" p ,
m a m y , |e x " A *" B Ð!Ò! x " A *" B Ð!Ò! x " A (" x " B Ð!Ò! x " A *" B Ð!Ò! x " B (" x "
A Ð!Ò! x " B *" A .
D o w ó d d r u g i e g o z p r a w p r z e b i e g a p o d o b n i e .
( 2 ) P r a w a Bc z n o [c i . J e [l i A , B , C s d o w o l n y m i z b i o r a m i , t o p r a w d z i w e s r ó w n o [c i :
A *" ( B *" C ) = ( A *" B ) *" C ,
A )" ( B )" C ) = ( A )" B ) )" C .
D l a d o w o d u t y c h p r a w w y s t a r c z y w y k o r z y s t a o d p o w i e d n i o p r a w o p r z e m i e n n o [c i d l a a l t e r -
n a t y w y i d l a k o n i u n k c j i .
( 3 ) P r a w a r o z d z i e l n o [c i . J e [l i A , B , C s d o w o l n y m i z b i o r a m i , t o p r a w d z i w e s r ó w n o [c i :
A )" ( B *" C ) = ( A )" B ) *" ( B )" C ) ,
A *" ( B )" C ) = ( A *" B ) )" ( A *" C ) .
W t y m p r z y p a d k u r ó w n i e | w y s t a r c z y w y k o r z y s t a p r a w a r a c h u n k u z d a D t j . p r a w a r o z d z i e l -
n o [c i k o n i u n k c j i w z g l d e m a l t e r n a t y w y i a l t e r n a t y w y w z g l d e m k o n i u n k c j i .
( 4 ) P r a w a t a u t o l o g i i . J e [l i A j e s t d o w o l n y m z b i o r e m , t o p r a w d z i w e s r ó w n o [c i :
A *" A = A ,
A )" A = A .
Aa t w o u d o w o d n i p r a w a r a c h u n k u z d a D:
p (" p a" p o r a z p '" p a" p ,
t o b e z o [r e d n i o z t y c h p r a w w y n i k a j p r a w a t a u t o l o g i i .
( 5 ) P r a w a d e M o r g a n a . J e [l i A , B , C s d o w o l n y m i z b i o r a m i , t o p r a w d z i w e s r ó w n o [c i :
A \ ( B )" C ) = ( A \ B ) *" ( A \ C ) ,
A \ ( B *" C ) = ( A \ B ) )" ( A \ C ) .
4 . I L O C Z Y N K A R T E Z J A CS K I Z B I O R Ó W I R E L A C J E 1 1
P r a w a d e M o r g a n a d l a z b i o r ó w s k o n s e k w e n c j p r a w d e M o r g a n a d l a z d a D.
B a r d z i e j z n a n a p o s t a p r a w d e M o r g a n a d o t y c z y d o p e Bn i e n i a z b i o r u . J e [l i X j e s t p r z e s t r z e -
n i z a [ A " P ( X ) i B " P ( X ) , t o p r z e z d o p e Bn i e n i e z b i o r u A d o p r z e s t r z e n i X r o z u m i e m y
z b i ó r A = X \ A p o d o b n i e B = X \ B . P r z y t a k i c h o z n a c z e n i a c h p r a w a d e M o r g a n a m o |e m y
z a p i s a w p o s t a c i
( A *" B ) = A )" B , ( A )" B ) = A *" B .
4 . I l o c z y n k a r t e z j a Ds k i z b i o r ó w i r e l a c j e
N i e c h A i B b d d o w o l n y m i z b i o r a m i i n i e c h x " A o r a z y " B . W y n i k a s t d , |e { x } ‚"A
o r a z { x , y } ‚"A *" B , a z a t e m
{ { x } , { x , y } } ‚" P ( P ( A *" B ) ) .
P r z y j m u j e m y u m o w n o t a c y j n , |e s y m b o l
x , y = { { x } , { x , y } }
o z n a c z a b d z i e p a r u p o r z d k o w a n o p o p r z e d n i k u x i n a s t p n i k u y . Z b i ó r
{ x , y | x " A '" y " B }
n a z y w a m y i l o c z y n i e m k a r t e z j a Ds k i m ( p r o d u k t e m k a r t e z j a Ds k i m ) z b i o r ó w A i B o r a z o z n a c z a m y
s y m b o l e m A × B .
N i e c h x , y o r a z z , t b d e l e m e n t a m i z b i o r u A × B . P a m i t a m y , |e x , y = { { x } , { x , y } }
o r a z z , t = { { z } , { z , t } } . S k o r o p a r y t e s z b i o r a m i t o z b a d a j m y k i e d y s o n e r ó w n e . P r z y -
p u [m y , |e s r ó w n e i z a s t o s u j m y d o n i c h d e f i n i c j r ó w n o [c i z b i o r ó w . W y n i k a s t d , |e
{ z } "{ x , y } o r a z { z , t } " x , y ,
a w k o n s e k w e n c j i , |e
( 1 ) { z } = { x } l u b { z } = { x , y } ( 2 )
o r a z
( 3 ) { z , t } = { x } l u b { z , t } = { x , y } ( 4 )
R ó w n o [ ( 1 ) m a m i e j s c e j e d y n i e w t e d y , g d y x = z = y . W t a k i m p r z y p a d k u r ó w n o [c i ( 3 )
o r a z ( 4 ) s r ó w n o w a |n e i m a m y z = t = x . M a m y w i c , |e z = t = x . P r o w a d z i t o d o w n i o s k u ,
|e x = y = z = t . J e [l i r o z p a t r z y m y p r z y p a d e k ( 3 ) , t o r ó w n o [ o k a z u j e s i t a k |e s p e Bn i o n a .
Z a j m i j m y s i t e r a z p r z y p a d k i e m ( 4 ) . W t e d y z = x o r a z : b d z z = y , b d z t = y . G d y z = y ,
t o z a c h o d z i r ó w n o [ ( 2 ) i o t r z y m u j e m y r o z p a t r y w a n y j u | p r z y p a d e k . G d y n a t o m i a s t t = y , t o
m a m y x = z i y = t . J e [l i r o z p a t r z y m y t e r a z i m p l i k a c j o d w r o t n d o d o w i e d z i o n e j t z n . j e [l i
p r z y p u [c i m y , |e x = z i y = t , t o t e z a j e s t o c z y w i s t a , n a m o c y d e f i n i c j i r ó w n o [c i z b i o r ó w .
O t r z y m a l i [m y z a t e m n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e .
4 . I L O C Z Y N K A R T E Z J A CS K I Z B I O R Ó W I R E L A C J E 1 2
T w i e r d z e n i e . W a r u n k i e m k o n i e c z n y m i w y s t a r c z a j c y m n a t o , b y p a r y x , y i z , t b y By
r ó w n e j e s t , b y z a c h o d z i By r ó w n o [c i : x = z o r a z y = t .
P o j c i e i l o c z y n u k a r t e z j a Ds k i e g o m a Ba t w i n t e r p r e t a c j g e o m e t r y c z n . J e [l i A i B s d o w o l -
n i e u s t a l o n y m i z b i o r a m i , t o e l e m e n t y z b i o r u A × B n a z y w a m y n i e k i e d y p u n k t a m i , z a [ z b i o r y
A i B o s i a m i w s p ó Br z d n y c h . J e [l i t = x , y j e s t p u n k t e m w A × B , t o x n a z y w a m y o d c i t ,
z a [ y r z d n p u n k t u t . T a i n t u i c j a w y w o d z i s i z g e o m e t r i i p Ba s z c z y z n y , g d z i e z b i ó r p u n k -
t ó w p Ba s z c z y z n y m o |e b y u t o |s a m i a n y z i l o c z y n e m × , p r z y c z y m o z n a c z a z b i ó r l i c z b
r z e c z y w i s t y c h .
K o r z y s t a j c b e z p o [r e d n i o z d e f i n i c j i p r o d u k t u k a r t e z j a Ds k i e g o m o |e m y w y p r o w a d z i w i e l e
p r a w w i |c y c h t o d z i a Ba n i e z d z i a Ba n i a m i t e o r i i z b i o r ó w .
P r z y k Ba d . W y k a |e m y t o |s a m o [: ( A )" B ) × C = ( A × C ) )" ( B × C ) .
N i e c h ( x , y ) " ( A )" B ) × C . W t e d y
( x , y ) " ( A )" B ) × C Ð!Ò! ( x " A )" B ) '" ( y " C ) Ð!Ò! ( x " A '" x " B ) '" y " C Ð!Ò!
Ð!Ò! x " A '" ( y " C '" x " B ) Ð!Ò! ( x " A '" y " C ) '" ( x " B '" y " C ) Ð!Ò!
Ð!Ò! ( x , y ) " A × C '" ( x , y ) " B × C Ð!Ò! ( x , y ) " ( A × C ) )" ( B × C ) .
P o s Bu g u j c s i p o d o b n t e c h n i k d o w o d o w m o |e m y w y k a z a p r a w d z i w o [ f o r m u B, o k t ó r y c h
m ó w i n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e .
T w i e r d z e n i e . J e [l i A 1 , A 2 o r a z B s d o w o l n y m i z b i o r a m i , t o
( A 1 *" A 2 ) × B = A 1 × B *" A 2 × B ,
( A 1 \ A 2 ) × B = A 1 × B \ A 2 × B ,
B × ( A 1 *" A 2 ) = B × A 1 *" B × A 2 ,
B × ( A 1 \ A 2 ) = B × A 1 \ B *" B × A 2 ,
D o w o l n y p o d z b i ó r i l o c z y n u k a r t e z j a Ds k i e g o z b i o r u A × B , t z n . d o w o l n y z b i ó r p a r u p o r z d -
k o w a n y c h o p o p r z e d n i k a c h z A i n a s t p n i k a c h z B n a z y w a m y r e l a c j ( d w u c z Bo n o w ) . J e [l i
p o d z b i ó r t a k i o z n a c z y m y p r z e z t o z a m i a s t p i s a a , b " p i s z e m y c z e s t o a b i m ó w i m y , |e
a j e s t w r e l a c j i z b .
D z i e d z i n r e l a c j i ( d z i e d z i n l e w o s t r o n n ) n a z y w a m y z b i ó r D z a w a r t y w A i z Bo |o n y z
p o p r z e d n i k ó w p a r n a l e |c y c h d o r e l a c j i . P r z e c i w d z i e d z i n ( d z i e d z i n p r a w o s t r o n n ) r e l a c j i n a -
z y w a m y p o d z b i ó r R z b i o r u B z Bo |o n y z n a s t p n i k ó w p a r n a l e |c y c h d o r e l a c j i . F o r m a l i z u j c
t e d e f i n i c j e m o |e m y z a p i s a :
D = { a " A | i s t n i e j e b " B , |e a b } o r a z R = { b " B | i s t n i e j e a " A , |e a b }
P r z e z p o l e r e l a j i r o z u m i e m y z b i ó r b d c y s u m d z i e d z i n y i p r z e c i w d z i e d z i n y ( o b u d z i e d z i n )
r e l a c j i .
N i e c h ‚" A × B . P r z e z w y k r e s r e l a c j i r o z u m i e m y z b i ó r
G r ( ) = { a , b "A × B | a b } .
4 . I L O C Z Y N K A R T E Z J A CS K I Z B I O R Ó W I R E L A C J E 1 3
T a k w i c w y k r e s r e l a c j i i r e l a c j a s p e Bn i a j t s a m d e f i n i c j , z a t e m j e s t t o t e n s a m o b i e k t .
R e l a c j a ‚" A × B w y z n a c z a n o w r e l a c j - 1 ‚" B × A w n a s t p u j c y s p o s ó b :
d e f
( b , a ) " - 1 Ð!Ò! ( a , b ) " .
R e l a c j - 1 n a z y w a m y r e l a c j o d w r o t n d o r e l a c j i .
W t a k i m p r z y p a d k u m a m y , |e D - 1 = R o r a z R - 1 = D .
N i e c h ‚" A × B o r a z µ ‚" B × C , b d t a k i e , |e D ‚"R µ . R e l a c j · ‚" A × C t a k , |e
x , z "· Ð!Ò! i s t n i e j e y " B , |e x y '" y z .
n a z y w a m y z Bo |e n i e m ( s u p e r p o z y c j ) r e l a c j i o r a z µ i o z n a c z a m y p i s z c · = µ æ% .
P r z y k Ba d . W e zm y p o d u w a g r e l a c j e :
‚"{ a , b , c } × { ±, ³} i µ ‚"{ ±, ², ³} × { - 2 , 0 , 1 , 5 , 8 }
g d z i e = a , ± , b , ± , c , ³ } o r a z µ = { ±, - 2 , ±, 0 , ², 1 , ³, 5 , ´, 8 } . Z Bo |e n i e m
t y c h r e l a c j i j e s t r e l a c j a · ‚"{ a , b , c } × { - 2 , 0 , 1 , 5 , 8 } t a k a , |e
· = µ æ% = { a , - 2 , a , 0 , b , - 2 , b , 0 , c , 5 } .
P r z y k Ba d . D a n a j e s t r e l a c j a Ç †"{ 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , 9 } × { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , 9 } z d e f i n i o w a n a w a r u n -
k i e m :
a Çb Ô! 3 a = b (" 3 a + 1 = b .
W y z n a c z y m y r e l a c j Ç- 1 . Z a n i m p r z e j d z i e m y d o w y z n a c z e n i a r e l a c j i Ç- 1 n a w s t p i e w y p i s z m y
p r e c y z y j n i e p a r y n a l e |c e d o r e l a c j i Ç. M a m y :
Ç = { 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 3 , 1 , 4 , 2 , 6 , 2 , 7 , 3 , 9 } .
B e z p o [r e d n i o z d e f i n i c j i r e l a c j i o d w r o t n e j d o s t a j e m y , |e
Ç- 1 = { 0 , 0 , 1 , 0 , 3 , 1 , 4 , 1 , 6 , 2 , 7 , 2 , 9 , 3 } .
T w i e r d z e n i e . J e [l i †" A × B , µ †" B × C i ½ †" C × D , t o :
½ æ% ( µ æ% ) = ( ½ æ% µ ) æ% ;
( µ æ% ) - 1 = µ - 1 æ% - 1 .
D o w ó d . W y k a |e m y p r a w d z i w o [ ( i ) . P r z y p u [m y , |e x , z "A × D . M a j m i e j s c e n a s t p u j c e
f a k t y :
x , z " æ% ( µ æ% ½) w t t , g d y i s t n i e j t " C , |e x , t "µ æ% ½ o r a z t , z " w t t , g d y
i s t n i e j t " C i y " B , |e x , y " o r a z y , t "µ o r a z t , z "½ w t t , g d y
i s t n i e j e y " B , |e a , b o r a z y , z "½ æ% µ w t t , g d y x , t "( ½ æ% µ ) æ% .
R o z p a t r z m y t e r a z p r z y p a d e k ( i i ) . N i e c h t , x "C × A . W t e d y :
4 . I L O C Z Y N K A R T E Z J A CS K I Z B I O R Ó W I R E L A C J E 1 4
t , x "( µ æ% ) - 1 w t t , g d y x , t "µ æ% w t t , g d y
i s t n i e j e y " B , |e x , y " o r a z y , t "µ w t t , g d y
i s t n i e j e y " B , |e y , x " - 1 o r a z t , y "µ - 1 w t t , g d y t , x " - 1 æ% µ - 1
P r z e d s t a w i m y t e r a z k i l k a p r z y k Ba d ó w r e l a c j i .
P r z y k Ba d .
N i e c h A = B = A b d z i e z b i o r e m w s z y s t k i c h l u d z i |y j c y c h n a Z i e m i ( w d o w o l n y m o k r e s i e
j e j i s t n i e n i a ) . R e l a c j b y c i a p r z o d k i e m r o z u m i e m y w t e d y j a k o z b i ó r p a r a , b t a k i c h ,
|e o s o b a a j e s t p r z o d k i e m o s o b y b b e z w z g l d u n a c z a s d z i e l c y i c h d a t y u r o d z e n i a .
N i e c h X = Y = . R o z w a |m y n i e r ó w n o [ y > x + 1 . O z n a c z m y p r z e z z b i ó r p a r x , y ,
k t ó r e s p e Bn i a j n a s z n i e r ó w n o [. S t d p i s z e m y :
x , y " Ð!Ò! y > x + 1 .
N i e c h n i e p u s t y z b i ó r X b d z i e p r z e s t r z e n i , z a [ P ( X ) z b i o r e m p o t g o w y m X . Z g o d n i e z
w p r o w a d z o n p o p r z e d n i o d e f i n i c j i n k l u z j i i d e f i n i c j r e l a c j i w i e m y , |e m i d z y z b i o r a m i
A " P ( X ) o r a z B " P ( X ) z a c h o d z i i n k l u z j a t y l k o w p e w n y c h p r z y p a d k a c h . Z a t e m
i n k l u z j a j e s t w Ba s n o [c i p a r u p o r z d k o w a n y c h A , B z b i o r ó w e l e m e n t ó w P ( X ) . J e s t
w i c i n k l u z j a ‚" p o d z b i o r e m p r o d u k t u P ( X ) × P ( X ) , a w i c r e l a c j .
D o t y c h c z a s r o z w a |a l i [m y p r z y p a d k i , g d y p r o d u k t k a r t e z j a Ds k i t w o r z o n y b y B z d w ó c h z b i o r ó w ,
a c o z a t y m i d z i e r e l a c j e o d n o s i By s i d o p a r e l e m e n t ó w . W p r z y p a d k u o g ó l n y m r e l a c j a m i
d w u c z Bo n o w y m i w p r o d u k c i e X × Y , g d z i e X i Y s d o w o l n y m i z b i o r a m i , n a z y w a m y p o d z b i o r y
t e g o p r o d u k t u . J e [l i j e s t p o d z b i o r e m p r o d u k t u X × X , t o m i a s t m ó w i , |e j e s t r e l a c j
d w u c z Bo n o w w w p r o d u k c i e X × X , c z s t o m ó w i m y , |e j e s t r e l a c j d w u c z Bo n o w w X . W
z b i o r z e w s z y s t k i c h r e l a c j i d w u c z Bo n o w y c h m o |e m y w y r ó |n i p e w n e i c h k l a s y . P r z e d s t a w i m y j e
w n a s t p u j c e j d e f i n i c j i .
R e l a c j d w u c z Bo n o w ‚" X × X n a z y w a m y :
d e f
z w r o t n Ð!Ò! d l a k a |d e g o x " X j e s t x x ;
d e f
p r z e c i w z w r o t n Ð!Ò! d l a k a |d e g o x " X j e s t <" ( x x ) ;
d e f
s y m e t r y c z n Ð!Ò! d l a k a |d e g o x " X o r a z y " X j e s t x y = Ò! y x ;
d e f
p r z e c i w s y m e t r y c z n Ð!Ò! d l a k a |d e g o x " X o r a z y " X j e s t :
x y = Ò!<" ( y x ) ;
d e f
a n t y s y m e t r y c z n Ð!Ò! d l a k a |d e g o x " X o r a z y " X j e s t :
( x y ) '" ( y x ) = Ò! ( x = y ) ;
d e f
p r z e c h o d n i Ð!Ò! d l a k a |d y c h x " X i y " X i k a |d e g o z " X j e s t :
( x y ) '" ( y z ) Ò! ( x z ) ;
5 . L I C Z B Y N A T U R A L N E 1 5
d e f
s p ó j n Ð!Ò! d l a k a |d e g o x " X i k a |d e g o y " X j e s t :
{ ( x = y ) = Ò! [ ( x y ) (" ( y x ) ] } .
P r z y k Ba d . P o s z c z e g ó l n e r o d z a j e r e l a c j i z i l u s t r u j e m y p r z y k Ba d a m i
R e l a c j a p r z y s t a w a n i a t r ó j k t ó w j e s t r e l a c j z w r o t n w z b i o r z e w s z y s t k i c h t r ó j k t ó w .
R e l a c j a w i k s z o [c i l i c z b w z b i o r z e l i c z b r z e c z y w i s t y c h j e s t p r z e c i w z w r o t n a .
P r z y k Ba d e m r e l a c j i s y m e t r y c z n e j j e s t r e l a c j a p o d z i e l n o [c i w z b i o r z e l i c z b c a Bk o w i t y c h , b o
k a |d a l i c z b a c a Bk o w i t a j e s t p o d z i e l n a p r z e z s a m s i e b i e .
P r z y k Ba d e m r e l a c j i p r z e c i w s y m e t r y c z n e j j e s t r e l a c j a w i k s z o [c i w z b i o r z e l i c z b r z e c z y w i s -
t y c h .
R e l a c j a n i e w i k s z o [c i w z b i o r z e l i c z b r z e c z y w i s t y c h j e s t p r z y k Ba d e m r e l a c j i a n t y s y m e t -
r y c z n e j .
R ó w n o l e g Bo [ p r o s t y c h n a p Ba s z c z y zn i e j e s t r e l a c j p r z e c h o d n i .
N i e c h X b d z i e z b i o r e m l i t e r a l f a b e t u Ba c i Ds k i g o . P r z y j t a u m o w a c o d o k o l e j n o [c i l i t e r w
n i m z a w a r t y c h p o z w a l a u s t a l i r e l a c j h i e r a r c h i w y r a z ó w ( h a s e B) w s k o r o w i d z a c h n a z w
c z y h a s e B. T a k o k r e [l o n a r e l a c j a j e s t r e l a c j s p ó j n . P o d o b n i e r e l a c j a n i e w i k s z o [c i ( )
j e s t r e l a c j s p ó j n .
2
W z b i o r z e p a r l i c z b r z e c z y w i s t y c h m o |e m y o k r e [l i r e l a c j t a k , |e
d e f
x 1 , y 1 x 2 , y 2 Ð!Ò! x 1 x 2 '" y 1 y 2 .
R e l a c j a t a j e s t j a k z a u w a |a m y ; z w r o t n a , a n t y s y m e t r y c z n a i p r z e c h o d n i a . N i e j e s t n a t o -
m i a s t s p ó j n a . J a k s i n i e b a w e m o k a |e , r e l a c j a j e s t w y g o d n y m p r z y k Ba d e m s Bu |c y m
i l u s t r o w a n i u i n n y c h w Ba s n o [c i s z c z e g ó Bo w y c h o d n o s z c y c h s i d o r e l a c j i b i n a r n y c h .
5 . L i c z b y n a t u r a l n e
N i e c h A b d z i e r o d z i n z b i o r ó w . R o d z i n t n a z y w a m y i n d u k t y w n w t t , g d y :
1 . " "A ;
2 . d l a k a |d e g o X "A , z b i ó r X *"{ X } "A .
5 . L I C Z B Y N A T U R A L N E 1 6
O p e r a c j n a s t p n i k a n a z y w a m y o p e r a c j , k t ó r a k a |d e m u z b i o r o w i X p r z y p o r z d k o w u j e z b i ó r
X *"{ X } . N a s t p n i k z b i o r u X o z n a c z a m y p r z e z X . W a k s j o m a t y c e Z e r m e l o - F r a e n k l a i s t n i e n i e
z b i o r ó w i n d u k t y w n y c h g w a r a n t u j e a k s j o m a t n i e s k o Dc z o n o [c i . M ó w i c k r ó t k o w y r a |a o n i s t n i e -
n i e z b i o r ó w n i e s k o Dc z o n y c h .
T w i e r d z e n i e . I s t n i e j e n a j m n i e j s z y z b i ó r i n d u k t y w n y t j . t a k i z b i ó r i n d u k t y w n y A , |e d l a
d o w o l n e g o z b i o r u i n d u k t y w n e g o B j e s t A †"B .
D o w ó d . P r z y p u [m y , |e A j e s t z b i o r e m i n d u k t y w n y m . R o z p a t r z m y r o d z i n z b i o r ó w ” t a k ,
|e
”= { B †" A | B j e s t z b i o r e m i n d u k t y w n y m } .
W y n i k a s t d , |e r ó w n i e | z b i ó r A 0 = ” j e s t z b i o r e m i n d u k t y w n y m . P o z o s t a j e w y k a z a , |e A
j e s t n a j m n i e j s z y m z b i o r e m i n d u k t y w n y m . J e [l i B j e s t z b i o r e m i n d u k t y w n y m , t o B )"A "”. Z
k o l e i z d e f i n i c j i i l o c z y n u z b i o r ó w w y n i k a , |e
A 0 †"B )"A .
Z d r u g i e j s t r o n y s k o r o B )" A †" B , t o A 0 †" B . Z t e g o , |e o s t a t n i a i n k l u z j a z a c h o d z i d l a
w s z y s t k i c h e l e m e n t ó w r o d z i n y ”, t o A 0 j e s t n a j m n i e j s z y m z b i o r e m i n d u k t y w n y m , w s e n s i e
r e l a c j i z a w i e r a n i a .
P r z e z z b i ó r l i c z b n a t u r a l n y c h r o z u m i e m y n a j m n i e j s z y z b i ó r i n d u k t y w n y i o z n a c z a m y g o
p r z e z . Z d e f i n i c j i z b i o r u i n d u k t y w n e g o ( w a r u n e k 1 . ) , z a w i e r a o n z b i ó r p u s t y ", k t ó r y r e p r e -
z e n t u j e l i c z b 0 . Z d r u g i e j s t r o n y ( w a r u n e k 2 . ) , z a w i e r a n a s t p n i k 0 ( o z n a c z a n y s y m b o l e m
1 ) , a t a k |e n a s t p n i k n a s t p n i k a 0 ( o z n a c z a n y s y m b o l e m 2 ) , i t d .
T w i e r d z e n i e . ( Z a s a d a i n d u k c j i ) J e [l i M ‚" j e s t z b i o r e m l i c z b n a t u r a l n y c h s p e Bn i a j c y m
w a r u n k i :
0 "M ,
d l a d o w o l n i e w y b r a n e j l i c z b y n t a k i e j , |e n "M , z a c h o d z i n "M ,
t o M z a w i e r a w s z y s t k i e l i c z b y n a t u r a l n e t j . M = .
D o w ó d . T e z a t w i e r d z e n i a j e s t k o n s e k w e n c j b y c i a p r z e z n a j m n i e j s z y m z b i o r e m i n d u k t y w -
n y m .
M a By m i l i t e r a m i a l f a b e t u b d z i e m y o z n a c z a e l e m e n t y z b i o r u .
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n y c h m " o r a z n " :
1 . j e [l i m " n , t o m †" n ;
2 . n " n ;
3 . j e [l i m = n , t o m = n ;
4 . j e [l i m †" n o r a z m = n , t o m " n ;
5 . L I C Z B Y N A T U R A L N E 1 7
5 . z a c h o d z i : m †" n l u b n †" m ;
6 . z a c h o d z i d o k Ba d n i e j e d n a z m o |l i w o [c i : m " n , m = n , n " m .
D o w ó d . D o w ó d p o p r o w a d z i m y p r z e z i n d u k c j .
A d 1 . N i e c h M = { n " | d l a k a |d e g o m " n j e s t m †" n } . C h c e m y w y k a z a i n d u k t y w n o [
z b i o r u M . M a m y : 0 " M . P r z y p u [m y , |e n " M . P o t o b y w y k a z a , |e n " M o b i e r z m y
d o w o l n e m " n . P o n i e w a | n = n *"{ n } , t o m a m y m o |l i w e d w a p r z y p a d k i . J e [l i m " n , t o z
z a Bo |e n i a i n d u k c y j n e g o m a m y m †" n , a w i c m †" n . J e |e l i z a [ m = n , t o m †" n . W y n i k a
s t d , |e w k a |d y m z t y c h p r z y p a d k ó w m †" n , c o w k o n s e k w e n c j i d o w o d z i , |e n "M .
A d 2 . R o z p a t r z m y z b i ó r M = { n " | n " n } . W t a k i m p r z y p a d k u 0 "M . P r z y p u [m y , |e
n "M i z a Bó |m y , |e
n " n *"{ n } .
W t e d y a l b o n " n a l b o n = n . J e [l i n " n , t o k o r z y s t a j c z w a r u n k u 1 . m a m y n *"{ n } †"n ,
c o o z n a c z a , |e n " n c o p r z e c z y z a Bo |e n i u i n d u k c y j n e m u . J e [l i z a [ n = n , t o o t r z y m u j e m y
s p r z e c z n o [ z z a Bo |e n i e m i n d u k c y j n y m . Z a t e m p r z y p u s z c z e n i e , |e n " n *"{ n } j e s t b Bd n e .
D o w o d z i t o , |e n "M .
A d 3 . T e r a z z a Bó |m y , |e m *"{ m } = n *"{ n } . W y n i k a s t d , |e m m u s i n a l e |e d o z b i o r u p o
p r a w e j s t r o n i e z n a k u r ó w n o [c i . J e [l i m " n , t o n a m o c y ( i ) m a m y , |e m †" n . G d y z a [ m = n ,
t o t a k |e m †" n . Z s y m e t r i i z a Bo |e D w y n i k a r ó w n i e | n †" m , c o p r o w a d z i d o r ó w n o [c i m = n .
A d 4 . N i e c h t e r a z M = { n " | d l a k a |d e g o m †" n , j e [l i m = n , t o m " n } . N a p e w n o
0 "M b o z b i ó r p u s t y n i e z a w i e r a p o d z b i o r ó w w Ba [c i w y c h . P r z y p u [m y , |e n "M i n i e c h
m †" n . ( ")
Z a Bó |m y , |e m j e s t p o d z b i o r e m w Ba [c i w y m z b i o r u n . P o k a |e m y , |e m " n . J e [l i n " m , t o n a
p o d s t a w i e 1 . j e s t n †" m , z a t e m n †" m i z z a Bo |e n i a : m †" n , o t r z y m u j e m y r ó w n o [ n = m
a w i c s p r z e c z n o [. M a m y z a t e m n " m . Z z a Bo |e n i a ( ") o t r z y m u j e m y
m †" n .
J e [l m = n , t o m " n . N i e c h z a t e m m = n . P o n i e w a | m j e s t p o d z b i o r e m w Ba [c i w y m n , t o z
z a Bo |e n i a i n d u k c y j n e g o o t r z y m u j e m y , |e m " n , c o d a j e m " n . T o z a [ o z n a c z a k o n i e c d o w o d u
p o d p u n k t u 4 . t w i e r d z e n i a .
A d . 5 . T e r a z r o z p a t r z m y z b i ó r M = { n " | d l a k a |d e g o m " , j e [l i n †" m , t o m †" n } .
D l a w y k a z a n i a i n d u k t y w n o [c i z b i o r u M z a u w a |m y , |e 0 " M o r a z z a Bó |m y , |e n " M .
O b i e r z m y d o w o l n y m t a k i , |e
n †" m ( e&)
Z z a Bo |e n i a i n d u k c y j n e g o m a m y , |e m †" n l u b t e | n †" m . G d y m †" n , t o m †" n c o k o Dc z y
p r o c e s d o w o d o w y . P r z y p u [m y z a t e m , |e n m . N a p o d s t a w i e 4 . m a m y , |e n " m . W y n i k a
s t d , |e n †" m , c o p r z e c z y ( e&) . D o w o d z i t o , |e z a Bo |o n y p r z y p a d e k n i e m o |e z a j [. S t d
n "M .
6 . F U N K C J E 1 8
A d . 6 . T e n p o d p u n k t j e s t k o n s e k w e n c j w c z e [n i e j s z y c h p o d p u n k t ó w . J e d e n z w a r u n k ó w w y n i k a
z 4 . i 5 . , p o d c z a s g d y n i e m o |l i w o [ z a j [c i a d w ó c h s p o [r ó d w y m i e n i o n y c h p r z y p a d k ó w w y n i k a z
2 . o r a z 1 .
W z b i o r z e l i c z b n a t u r a l n y c h r e l a c j a z a w i e r a n i a †" o z n a c z a n a j e s t s y m b o l e m , p o d c z a s , g d y
r e l a c j a p r z y n a l e |n o [c i " o z n a c z a n a j e s t s y m b o l e m < . J e [l i p i s z e m y n " m , t o m ó w i m y , |e n
j e s t m n i e j s z e o d m o r a z , |e m j e s t w i k s z e o d n . N a s t p n i k l i c z b y n j e s t o z n a c z a n y p o p r z e z
n + 1 . L i c z b a n a t u r a l n a j e s t r ó w n o c z e [n i e z b i o r e m w s z y s t k i c h l i c z b n a t u r a l n y c h m n i e j s z y c h o d
n i e j , c o o z n a c z a , |e
n = { k " | k < n } .
T w i e r d z e n i e . J e [l i n j e s t l i c z b n a t u r a l n , z a [ X n i e p u s t y m z b i o r e m t a k i m , |e X †" n , t o
i s t n i e j e n 0 " X , |e d l a k a |d e g o m " X z a c h o d z i w a r u n e k m n 0 , t j . n 0 j e s t n a j w i k s z l i c z b
w X .
I n n y m i s Bo w y , o s t a t n i e t w i e r d z e n i e g Bo s i , |e k a |d y s k o Dc z o n y i n i e p u s t y p o d z b i ó r l i c z b n a -
t u r a l n y c h m a e l e m e n t n a j w i k s z y .
D o w ó d . N i e c h M o z n a c z a z b i ó r t y c h w s z y s t k i c h l i c z b n a t u r a l n y c h n , |e d l a k a |d e g o n i e p u s t e g o
p o d z b i o r u X †" n i s t n i e j e n 0 " X , |e d l a k a |d e g o m " X m a m i e j s c e n i e r ó w n o [: m n 0 .
C h c e m y p o k a z a , |e M j e s t z b i o r e m i n d u k t y w n y m . Z o c z y w i s t y c h p o w o d ó w 0 "M .
P r z y p u [m y , |e n "M o r a z n i e c h X †" n b d z i e d o w o l n y m n i e p u s t y m p o d z b i o r e m . R o z -
p a t r z m y d w i e m o |l i w o [c i .
J e [l i n " X , t o s z u k a n y m e l e m e n t e m j e s t n . G d y z a [ n " X , w t e d y X †" n i z a Bo |e n i a
i n d u k c y j n e g o m a m y , |e i s t n i e j e n 0 " X o s t o s o w n y c h w Ba s n o [c i a c h .
T w i e r d z e n i e . ( Z a s a d a m i n i m u m ) K a |d y n i e p u s t y z b i ó r l i c z b n a t u r a l n y c h m a l i c z b n a j m n i e j s z
t j . t a k , |e j e [l i X †" o r a z X = ", t o i s t n i e j e n 0 " X , |e d l a k a |d e g o m " X z a c h o d z i w a r u n e k
n 0 m .
D o w ó d . P r z y p u [m y , |e X = " j e s t p o d z b i o r e m n i e z a w i e r a j c y m e l e m e n t u n a j m n i e j s z e g o .
N i e c h p o n a d t o
M = { n " | n )" X = "} .
C h c e m y w y k a z a i n d u k t y w n o [ z b i o r u M . Aa t w o w i d a , |e 0 " M . P r z y p u [m y , |e n " M
o r a z , |e n )" X = ". S t d n " X o r a z d l a k a |d e g o m < n m a m y m " X . T o z a [ o z n a c z a , |e
n j e s t n a j m n i e j s z y m e l e m e n t e m w X . S p r z e c z n o [ t a d o w o d z i , |e n )" X = ", c o o z n a c z a , |e
n "M
N a m o c y z a s a d y i n d u k c j i m a m y , |e M = , a w i c X = ". Z t e j s p r z e c z n o [c i w y n i k a , |e X
m u s i m i e e l e m e n t n a j m n i e j s z y .
6 . F u n k c j e
R o z p a t r z m y d o w o l n e z b i o r y A i B . P r z e z f u n k c j z A w B r o z u m i e m y u p o r z d k o w a n t r ó j k
f , A , B t a k , |e f †" A × B j e s t r e l a c j s p e Bn i a j c n a s t p u j c e w a r u n k i :
6 . F U N K C J E 1 9
1 . d l a k a |d e g o x " A i s t n i e j e y " B , |e x , y "f ;
2 . d l a k a |d e g o x " A o r a z k a |d y c h y 1 " b o r a z y 2 " B , j e [l i x , y 1 "f o r a z x , y 2 "f , t o
y 1 = y 2 .
P r z e d s t a w i o n a d e f i n i c j a w s k a z u j e n a i s t o t n o [ k a |d e g o z e l e m e n t ó w t r ó j k i f , A , B a w i c
n i e t y l k o r e l a c j f , a l e w t y m s a m y m s t o p n i u z b i o r y A i B . Z b i ó r A n a z y w a m y d z i e d z i n , z a [
z b i ó r B p r z e c i w d z i e d z i n f u n k c j i f . Z w y k l e z a m i a s t p i s a f , A , B p i s z e m y f : A ’! B . Z b i ó r
w s z y s t k i c h f u n k c j i z A w B o z n a c z a m y s y m b o l e m A B .
J e [l i w d e f i n i c j i f u n k c j i z r e z y g n u j e m y z w a r u n k u ( i ) , t o t r ó j k f , A , B s p e Bn i a j c j e d y n i e
w a r u n e k ( i i ) n a z y w a m y f u n k c j c z [c i o w z A w B . Z b i ó r
D o m ( f ) = { x " A | i s t n i e j e b " B , |e x , y "f }
n a z y w a m y d z i e d z i n f u n k c j i c z [c i o w e j f . W p r z y p a d k u , g d y f †" A × B j e s t f u n k c j c z [c i o w
z A w B , t o j e s t f u n k c j z D o m ( f ) w B .
F u n k c j z e z b i o r u A w z b i ó r B n a z y w a m y r ó w n o w a |n i e o d w z o r o w a n i e m o k r e [l o n y m n a z b i o -
r z e A i o w a r t o [c i a c h w z b i o r z e B . P r z y j Ba s i n i e p i s a n a u m o w a , |e f u n k c j a t o o d w z o r o w a n i e
z b i o r u l i c z b o w e g o , l u b p r o d u k t u k a r t e z j a Ds k i e g o t a k i c h z b i o r ó w w i n n y z b i ó r l i c z b o w y m y
j e d n a k o b u n a z w b d z i e m y u |y w a z a m i e n n i e . D l a o z n a c z e n i a f u n k c j i b d z i e m y u |y w a n a
o g ó B m a By c h l i t e r a l f a b e t u Ba c i Ds k i e g o . S y m b o l f : A ’! B b d z i e o z n a c z a B, |e f o d w z o r o w u j e
z b i ó r A w z b i ó r B , n a t o m i a s t s y m b o l f : x ’! y , |e f p r z y p o r z d k o w u j e e l e m e n t o w i x " A
e l e m e n t y " B . N i e k i e d y e l e m e n t p r z y p o r z d k o w a n y e l e m e n t o w i x " A p o p r z e z f u n k c j f
b d z i e m y o z n a c z a p r z e z f ( x ) . W t e d y f ( x ) o z n a c z a w a r t o [ o d w z o r o w a n i a f d l a e l e m e n t u x ,
l u b o b r a z e l e m e n t u x p o p r z e z f u n k c j f . P o d z b i ó r z b i o r u B z Bo |o n y z w s z y s t k i c h t y c h e l e m e n t ó w
y , |e d l a k a |d e g o z n i c h i s t n i e j e p r z y n a j m n i e j j e d e n e l e m e n t x z e z b i o r u A , |e y j e s t o b r a z e m x
p o p r z e z f u n k c j f t j . y = f ( x ) n a z y w a m y o b r a z e m z b i o r u A p o p r z e z f u n k c j f . M a m y z a t e m :
f ( A ) = { y " B : i s t n i e j e x " A , |e y = f ( x ) } .
P o d o b n i e , j e [l i X j e s t d o w o l n y m p o d z b i o r e m z b i o r u A , t o o b r a z t e g o z b i o r u p o p r z e z o d w z o -
r o w a n i e f o z n a c z a m y p r z e z f ( X ) i k Ba d z i e m y :
f ( X ) = { y " B : i s t n i e j e x " A , |e y = f ( x ) } .
J e [l i f ( A ) = B , t o m ó w i m y , |e f : A ’! B j e s t f u n k c j p r z e k s z t a Bc a j c z b i ó r A n a z b i ó r B .
O d w z o r o w a n i e f : A ’! A n a z y w a m y o d w z o r o w a n i e m z b i o r u A w s i e b i e , g d y f ( A ) ‚" A ,
n a t o m i a s t o d w z o r o w a n i e m z b i o r u A n a s i e b i e , g d y f ( A ) = A .
O d w z o r o w a n i e i z b i o r u A n a s i e b i e , w k t ó r y m o b r a z e m k a |d e g o e l e m e n t u x " A j e s t t e n
s a m e l e m e n t t j .
d l a w s z y s t k i c h x " A j e s t i ( a ) = a
n a z y w a m y o d w z o r o w a n i e m i d e n t y c z n o [c i o w y m z b i o r u A n a s i e b i e i o z n a c z a m y p r z e z i A .
J e |e l i d z i e d z i n a A f u n k c j i f j e s t z b o r e m p u s t y m , z a [ B j e s t d o w o l n y m z b i o r e m , t o r e l a c j a
f †" A × B j e s t r e l a c j p u s t ( j a k o p o d z b i ó r z b i o r u p u s t e g o ) . G d y z a [ A = " o r a z B = ", t o
f u n k c j a z A w B n i e i s t n i e j e . Z n ó w m a m y A × B = A × "= ", j e d n a k t e r a z r e l a c j a p u s t a j e s t
f u n k c j c z [c i o w , a l e n i e j e s t f u n k c j .
6 . F U N K C J E 2 0
K o r z y s t a j c z d e f i n i c j i f u n k c j i w p r o w a d z i m y t e r a z n o w e p o j c i a .
P r z e z i n d e k s o w a n r o d z i n z b i o r ó w r o z u m i e m y d o w o l n f u n k c j z e z b i o r u i n d e k s ó w I w
r o d z i n z b i o r ó w A . R o d z i n i n d e k s o w a n z b i o r ó w o z n a c z a m y z w y k l e s y m b o l e m : { A i } i "I .
J e [l i A j e s t d o w o l n y m z b i o r e m , t o s Bo w e m n a d a l f a b e t e m A n a z y w a m y k a |d y s k o Dc z o n y
c i g e l e m e n t ó w z b i o r u A , t j . f u n k c j w : { 0 , 1 , 2 , . . . , n } ’!A , g d z i e ( n + 1 ) " n a z y w a m y
d Bu g o [c i s Bo w a , k t ó r z w y k l e o z n a c z a m y s y m b o l e m | w | . Z b i ó r w s z y s t k i c h s Bó w n a d a l f a b e t e m
A ( n i e z a l e |n i e o d i c h d Bu g o [c i ) o z n a c z a m y s y m b o l e m A ". S Bo w e m p u s t y m , o z n a c z a n y m z w y k l e
s y m b o l e m µ, n a z y w a m y s Bo w o n a d k a |d y m a l f a b e t e m o d Bu g o [c i 0 . S y m b o l A n o z n a c z a B b d z i e
z b i ó r u p o r z d k o w a n y c h n - t e k p o s t a c i x 0 , x 1 , . . . , x n - 1 , k t ó r e m o g b y r ó w n i e | t r a k t o w a n e
j a k o s Bo w a d Bu g o [c i n n a d a l f a b e t e m A . W t e d y x 0 , x 1 , . . . , x n - 1 m o |e b y r e p r e z e n t o w a n a w
p r z e z f u n k c j w : n ’! A , d l a k t ó r e j w ( i ) = a i , p r z y i "{ 0 , 1 , . . . , n - 1 } .
W z b i o r z e A " m o |e m y o k r e [l i o p e r a c j s k Ba d a n i a ( k o n k a t e n a c j i ) s Bó w w t a k i s p o s ó b , |e j e [l i
w : n ’! A , z a [ u : m ’! A , t o w u : ( m + n ) ’! A , p r z y c z y m :
w ( i ) , g d y i "{ 0 , 1 , . . . , n - 1 } ,
( w u ) ( i ) =
w ( i - n ) , g d y i "{ n , n + 1 , . . . , m + n - 1 }
D l a d o w o l n i e u s t a l o n e g o z b i o r u A , p r z e z m u l t i z b i ó r r o z u m i e m y k a |d f u n k c j M : A ’! .
O p i s o w o , f u n k c j a M z k a |d e m u e l e m e n t o w i b i o r u A p r z y p i s u j e k r o t n o [ j e g o w y s t p o w a n i a .
O z n a c z a t o , |e j e |e l i e l e m e n t x " A m a p r z y p i s a n k r o t n o [ 0 , t o n i e w y s t p u j e o n w m u l t i -
z b i o r z e , j e [l i z a [ M ( x ) = 3 , t o e l e m e n t x p o j a w i a s i t r z y k r o t n i e . Z b i ó r w s z y s t k i c h m u l t i z b i o r ó w
z b i o r u A o z n a c z a m y s y m b o l e m M ( A ) . D o w o l n y p o d z b i ó r z b i o r u A , j e s t m u l t i z b i o r e m , k t ó r e g o
k a |d y z e l e m e n t ó w m a k r o t n o [ n i e p r z e k r a c z a j c 1 .
O d w z o r o w a n i e f : A ’! B n a z y w a m y r ó |n o w a r t o [c i o w y m w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y d l a
d o w o l n y c h x 1 " A o r a z x 2 " A z a c h o d z i w a r u n e k :
( x 1 = x 2 = Ò! f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ) .
R ó |n o w a r t o [c i o w e o d w z o r o w a n i e z b i o r u A n a z b i ó r B n a z y w a m y t e | w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n y m
o d w z o r o w a n i e m z b i o r u A n a z b i ó r B .
J e [l i o d w z o r o w a n i e f , A , B j e s t r ó w n o c z e [n i e r ó |n o w a r t o [c i o w e i n a , t o n a z y w a m y j e
b i j e k c j .
J e [l i f : A ’! B , t o m o |e m y j r o z p a t r y w a w d o w o l n y m p o d z b i o r z e X ‚" A i w t e d y
m ó w i m y , |e r o z p a t r u j e m y o b c i c i e f u n k c j i f d o z b i o r u X . D l a p o d k r e [l e n i a z a w |e n i a d z i e d z i n y
f u n k c j i f z e z b i o r u A d o z b i o r u X u |y w a m y s y m b o l u f | X .
F u n k c j g p r z e p r o w a d z a j c z b i ó r B n a c a By z b i ó r A n a z y w a m y f u n k c j o d w r o t n d o f u n k c j i
f p r z e p r o w a d z a j c e j z b i ó r A n a z b i ó r B , g d y d l a k a |d e g o x " A o r a z k a |d e g o y " B z a c h o d z
r ó w n o [c i :
g ( f ( x ) ) = i A ( x ) = x o r a z f ( g ( y ) ) = i B = y .
F u n k c j o d w r o t n d o f u n k c j i f , d l a p o d k r e [l e n i a j e j z w i z k u z f u n k c j f b d z i e m y z w y k l e
o z n a c z a s y m b o l e m f - 1 . O d w z o r o w a n i a r ó |n o w a r t o [c i o w e n a z y w a n e s n i e k i e d y o d w r a c a l n y -
m i . W [r ó d w s z y s t k i c h o d w z o r o w a D w y r ó |n i a s i t a k |e o d w z o r o w a n i a c z [c i o w o o d w r a c a l n e t j .
t a k i e , k t ó r e z a w |o n e d o p e w n e g o p o d z b i o r u d z i e d z i n y s r ó |n o w a r t o [c i o w e . Z w r ó m y t e r a z
6 . F U N K C J E 2 1
u w a g , |e i s t n i e n i e d l a d a n e j f u n k c j i , f u n k c j i d o n i e j o d w r o t n e j j e s t o b w a r o w a n e w a r u n k i e m
r ó |n o w a r t o [c i o w o [c i . W p r z y p a d k u , g d y m ó w i m y o r e l a c j i w a r u n e k t e n n i e j e s t w y m a g a n y . Z a -
t e m j e [l i d l a d a n e j f u n k c j i n i e i s t n i e j e f u n k c j a o d w r o t n a , w s k u t e k j e j n i e r ó |n o w a r t o [c i o w o [c i ,
t o n a p e w n o i s t n i e j e r e l a c j a d o n i e j o d w r o t n a .
T w i e r d z e n i e . J e [l i f : A ’! B , g : B ’! C s f u n k c j a m i , t o :
1 . r e l a c j a g æ% f ‚" A × c j e s t f u n k c j z A w C ;
2 . g d y f i g s r ó |n o w a r t o [c i o w e o d p o w i e d n i o n a A i B , t o g æ% f j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a ;
3 . g d y f i g s n a , t o g æ% f j e s t n a .
D o w ó d . A d 1 . Z z a Bo |e n i a , |e f j e s t f u n k c j z A w B w y n i k a , |e d l a d o w o l n e g o x " A
i s t n i e j e y " B s p e Bn i a j c e w a r u n e k a , y " f . Z d r u g i e j s t r o n y d l a f u n k c j i g z p o d o b n y c h
p o w o d ó w d l a k a |d e g o y " B i s t n i e j e z " C , |e y , z " g . S t d z g o d n i e z d e f i n i c j s k Ba d a n i a
r e l a c j i d l a d o w o l n e g o x " A i s t n i e j e z " C , |e x , z "g æ% f . T a k w i c d l a k a |d e g o x " A i s t n i e j e
o b r a z p o p r z e z s u p e r p o z y c j g æ%f . P o z o s t a j e p o k a z a , |e j e s t t o o b r a z j e d y n y . P r z y p u [m y , |e t a k
n i e j e s t t j . , |e i s t n i e j d w i e p a r y x , z 1 "g æ% f o r a z x , z 2 "g æ% f . J e d n a k w t a k i m p r z y p a d k u
m u s z i s t n i e e l e m e n t y y 1 o r a z y 2 w z b i o r z e B t a k i e , |e x , y 1 "f o r a z x , y 2 "f p r z y c z y m
y 1 , z 1 "g o r a z y 2 , z 2 "g . Z a Bo |e n i e o t y m , |e f j e s t f u n k c j p r o w a d z i d o r ó w n o [c i : y 1 = y 2 . Z
k o l e i z a Bo |e n i e , |e g j e s t f u n k c j d a j e r ó w n o [: z 1 = z 2 . O s t a t e c z n i e z o b u w y k a z a n y c h p o w o d ó w
w y n i k a , |e r e l a c j a g æ% f j e s t f u n k c j .
A d 2 . N i e c h z g o d n i e z z a Bo |e n i e m o b i e f u n k c j e t j . f i g b d r ó |n o w a r t o [c i o w e i n i e c h
( g æ% f ) ( x 1 ) = ( g æ% f ) ( x 2 ) . Z f a k t u r ó |n o w a r t o [c i o w o [c i f u n k c j i g w y n i k a r ó w n o [: f ( x 1 ) =
f ( x 2 ) . D a l e j j u | z r ó |n o w a r t o [c i o w o [c i f u n k c j i f m a m y , |e x 1 = x 2 . O z n a c z a t o , |e g æ% f j e s t
r ó |n o w a r t o [c i o w a .
A d 3 . Z g o d n i e z z a Bo |e n i e m n i e c h f i g b d n a . Z a t e m d l a k a |d e g o e l e m e n t u z " C
i s t n i e j e e l e m e n t y " B , |e z = g ( y ) . P o d o b n i e d l a k a |d e g o y " B i s t n i e j e x " A , |e y = f ( x ) .
S t d t e | m a m y z a g w a r a n t o w a n e d l a k a |d e g o z " C i s t n i e n i e t a k i c h e l e m e n t ó w x " A o r a z
y " B , |e c = g ( y ) = g ( f ( x ) ) . J e s t t o z g o d n e z d e f i n i c j f u n k c j i n a , k t ó r t y m r a z e m s p e Bn i a
g æ% f .
Z a t e m f u n k c j e f : A ’! B i g : B ’! C w y z n a c z a j n o w f u n k c j , k t ó r o z n a c z a m y p r z e z
g æ% f t a k , |e h : A ’! C i o k r e [l o n d l a w s z y s t k i c h x " A w a r u n k i e m :
h ( x ) = g ( f ( x ) ) ,
k t ó r n a z y w a m y s u p e r p o z y c j ( z Bo |e n i e m ) f u n k c j i f i g i o z n a c z a m y s y m b o l e m g æ% f . T a k w i c
d l a k a |d e g o x " A :
( g æ% f ) ( x ) = ( g æ% f ) ( x )
P r z y k Ba d . N i e c h f : ’! b d z i e o k r e [l o n a w z o r e m : f ( x ) = x 2 + 1 , z a [ g : ’! w z o r e m :
g ( x ) = s i n x . O b i e t e f u n k c j e m a j w s p ó l n d z i e d z i n , n a t o m i a s t r ó |n e p r z e c i w d z i e d z i n y . M o -
|e m y d l a t y c h f u n k c j i r o z w a |a z a r ó w n o s u p e r p o z y c j f æ% g j a k i g æ% f . M a m y :
( g æ% f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = s i n ( x 2 + 1 ) z a [ ( f æ% g ) ( x ) = s i n 2 x + 1 .
6 . F U N K C J E 2 2
J a k Ba t w o z a u w a |y p o r ó w n u j c o b a t e z Bo |e n i a , a w Ba [c i w i e p r z e c i w d z i e d z i n y t y c h z Bo |e D,
s u p e r p o z y c j a f u n k c j i n i e j e s t p r z e m i e n n a .
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n y c h f u n k c j i f : A ’! B , g : B ’! C i h : C ’! D
h æ% ( g æ% f ) = ( h æ% g ) æ% f .
D o w ó d . B e z p o [r e d n i o z d e f i n i c j i z Bo |e n i a f u n k c j i m a m y , |e d l a d o w o l n e g o x " A z a c h o d z
r ó w n o [c i :
( h æ% ( g æ% f ) ) ( x ) = h ( ( g æ% f ) ( x ) ) = h ( g ( f ( x ) ) ) ,
( ( h æ% g ) æ% f ) ( x ) = ( h æ% g ) ( f ( x ) ) = h ( g ( f ( x ) ) ) .
P o r ó w n u j c j e d o s t a j e m y t e z t w i e r d z e n i a .
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n e j f u n k c j i f : A ’! B n a s t p u j c e w a r u n k i s r ó w n o w a |n e :
1 . f m a f u n k c j o d w r o t n ;
2 . f j e s t b i j e k c j ;
3 . r e l a c j a o d w r o t n a f - 1 j e s t f u n k c j .
D o w ó d . Z a Bó |m y z g o d n i e z 1 . m a m y , |e f m a f u n k c j o d w r o t n i o z n a c z m y j p r z e z g .
Z a t e m g : B ’! A . G d y f ( x 1 ) = f ( x 2 ) , t o g ( f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) . Z d r u g i e j s t r o n y m a m y z
z a Bo |e n i a , |e g æ% f = i A , a w i c x 1 = x 2 . O z n a c z a t o r ó |n o w a r t o [c i o w o [ f u n k c j i f .
T e r a z p o k a |e m y , |e f j e s t n a . N i e c h y " B b d z i e d o w o l n i e w y b r a n y i n i e c h a = g ( y ) .
S t d f ( x ) = f ( g ( y ) ) = y , b o f æ% g = i B . O z n a c z a t o , |e f j e s t n a ( c z y l i j e s t b i j e k c j ) .
O b e c n i e p r z y p u [m y , |e s p e Bn i o n y j e s t w a r u n e k 2 . t w i e r d z e n i a . N i e c h y " B b d z i e d o w o l n i e
w y b r a n y . Z t e g o , |e f j e s t n a w y n i k a , |e i s t n i e j e x " A d l a k t ó r e g o f ( x ) = y . T o z a [ o z n a c z a ,
|e y , x " f - 1 . Z a Bó |m y t e r a z , |e y , x 1 " f - 1 , a t a k |e y , x 2 " f - 1 . W t e d y o t r z y m u j e m y
r ó w n o [: f ( x 1 ) = f ( x 2 ) , a z r ó |n o w a r t o [c i o w o [c i f u n k c j i f m a m y x 1 = x 2 . O z n a c z a t o , |e r e l a c j a
f - 1 j e s t f u n k c j .
N i e c h t e r a z s p e Bn i o n y b d z i e w a r u n e k 3 . D l a k a |d e g o x " A m a m y : x , x " f - 1 f , g d y |
x , f ( x ) " f . K o n s e k w e n c j t e g o f a k t u j e s t , |e i A †" f - 1 æ% f . G d y z a Bo |y m y , |e x 1 , x 2 "
f - 1 æ% f , t o i s t n i e j e y " B d l a k t ó r e g o x 1 , y "f o r a z y , x 2 "f - 1 . W y n i k a s t d r ó w n i e |, |e
y , x 1 "f - 1 , a s k o r o f - 1 j e s t f u n k c j , t o x 1 = x 2 . Z a t e m f - 1 æ% f = i A .
D l a f u n k c j i f : A ’! B w p r o w a d z i l i [m y p o p r z e d n i o p o j c i e o b r a z u e l e m e n t u x z b i o r u A
p o p r z e z f u n k c j f . P r z y p o m n i j m y , |e j e s t t o t a k i e l e m e n t y z b i o r u B , |e x , y "f . J e [l i t e r a z
X †" A b d z i e d o w o l n y m p o d z b i o r e m d z i e d z i n y f u n k c j i f . O b r a z e m z b i o r u X p o p r z e z f u n k c j
f : A ’! B n a z y w a m y z b i ó r f ( X ) †" B , |e
f ( X ) = { f ( x ) } = { y " B | i s t n i e j e x " X , |e y = f ( x ) }
x "X
J e [l i Y †" B , t o p r z e c i w o b r a z e m z b i o r u Y p o p r z e z f u n k c j f n a z y w a m y z b i ó r f - 1 ( Y ) o k r e -
[l o n y r ó w n o [c i :
f - 1 ( Y ) = { f - 1 ( y ) } = { x " A | f ( x ) " Y } .
y "Y
7 . D E F I N I C J E I N D U K C Y J N E 2 3
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n e j f u n k c j i f : A ’! B o r a z r o d z i n y X p o d z b i o r ó w z b i o r u A i
r o d z i n y Y p o d z b i o r ó w z b i o r u B m a m y :
1 . f ( X ) = { f ( X ) | X "X } ;
2 . j e [l i X = ", t o f ( X ) †" { f ( X ) | X "X } ;
3 . f - 1 ( Y ) = f - 1 ( Y ) | Y "Y ;
4 . j e [l i Y = ", t o f - 1 ( Y ) = f - 1 ( Y ) | Y "Y .
D o w ó d . A d 1 . Z g o d n i e z d e f i n i c j o b r a z u z b i o r u p o p r z e z f u n k c j m a m y d l a d o w o l n e g o
X "X , |e f ( X ) = { f ( x ) } . Z a t e m s k o r o X = X , t o d o s t a j e m y n a t y c h m i a s t , |e
x "X X "X
f X = f { f ( x ) } = { f ( X ) | X "X }
X "X x "X
A d 2 . N i e c h y " f X . Z a t e m i s t n i e j e x " X , |e y = f ( x ) . N a m o c y d e f i n i c j i i l o c z y n u
z b i o r ó w ( w s z c z e g ó l n o [c i d e f i n i c j i i l o c z y n u r o d z i n y z b i o r ó w ) m a m y , |e x " X d l a w s z y s t k i c h
X "X . Z d r u g i e j s t r o n y o z n a c z a t o , |e f ( x ) " { f ( X ) } . T a k w i c t e z a 2 . j e s t p r a w d z i w a .
X "X
A d 3 . P r z y j m i j m y , |e x " f - 1 Y j e s t d o w o l n i e w y b r a n y . S t d z a [ w y n i k a , |e f ( x ) " Y .
D a l e j z d e f i n i c j i s u m y z b i o r ó w w y n i k a , |e i s t n i e j e z b i ó r Y " Y , d o k t ó r e g o n a l e |y f ( x ) . T o z
k o l e i o z n a c z a , |e i s t n i e j e Y "Y , |e x " f - 1 ( Y ) . W k o n s e k w e n c j i j e s t t a k w t e d y i t y l k o w t e d y ,
g d y x " { f - 1 } .
Y "Y
A d 4 . T e c h n i k a d o w o d o w a t e j t e z y j e s t a n a l o g i c z n a d o z a p r e z e n t o w a n e j w p o p r z e d n i c h p o d -
p u n k t a c h .
7 . D e f i n i c j e i n d u k c y j n e
J a k t o z o s t a Bo o m ó w i o n e w p a r a g r a f i e 3 . z b i ó r l i c z b n a t u r a l n y c h j e s t n a j m n i e j s z y m z b i o -
r e m z a w i e r a j c y m 0 i z a m k n i t y m z e w z g l d u n a j e d n o a r g u m e n t o w o p e r a c j n a s t p n i k a . T e
w Ba s n o [c i z b i o r u l i c z b n a t u r a l n y c h u m o |l i w i a j d e f i n i o w a n i e w n i m p e w n y c h f u n k c j i .
D l a p r z y k Ba d u n i e c h f o z n a c z a d z i a Ba n i e d o d a w a n i a l i c z b n a t u r a l n y c h ( d w u a r g u m e n t o w i
w e w n t r z n o p e r a c j w ) t j . f : × ’! . M a m y :
f ( m , 0 ) = m ,
f ( m , n ) = ( f ( m , n ) ) .
P r z y u |y c i u t y c h d w ó c h r ó w n o [c i m o |e m y w y k o n y w a d z i a Ba n i e d o d a w a n i a w z b i o r z e .
L i c z b a m w y s t p u j c a w t e j d e f i n i c j i n o s i n a z w p a r a m e t r u . J e s t t o l i c z b a n a t u r a l n a d o w o l n i e
u s t a l o n a .
7 . D E F I N I C J E I N D U K C Y J N E 2 4
T w i e r d z e n i e . ( o d e f i n i o w a n i u p r z e z i n d u k c j ) N i e c h A i B b d d o w o l n i e u s t a l o n y m i z b i o -
r a m i i n i e c h B = ", z a [ g : A ’! B i h : B × A × N ’! B d o w o l n y m i f u n k c j a m i . I s t n i e j e d o k Ba d n i e
j e d n a f u n k c j a f : A × N ’! B s p e Bn i a j c a d l a d o w o l n y c h x " A o r a z n " n a s t p u j c e w a r u n k i :
f ( x , 0 ) = g ( x ) ,
f ( x , n ) = h ( f ( x , n ) , x , n ) .
N a w s t p i e u p r z e d zm y , |e d o w ó d t e g o t w i e r d z e n i a z o s t a n i e p r z e d s t a w i o n y w d a l s z e j c z [c i
w y k Ba d u . D o d a j m y t e |, |e w p r z e d s t a w i o n y m t w i e r d z e n i u z b i ó r A j e s t z b i o r e m p a r a m e t r ó w .
J a k o e f e k t t e g o t w i e r d z e n i a m o |e m y p r z e d s t a w i p e w n e u p o r z d k o w a n i e z a p r e z e n t o w a n e j
p o p r z e d n i o d e f i n i c j i d o d a w a n i a l i c z b n a t u r a l n y c h . R o l f u n k c j i g p e Bn i f u n k c j a i d e n t y c z n o [ i
w z b i o r z e l i c z b n a t u r a l n y c h , z a [ r o l f u n k c j i h o p e r a c j a n a s t p n i k a . W a r t o [ f u n k c j i f d l a l i c z b
n a t u r a l n y c h m i n o z n a c z a m y t r a d y c y j n i e p o p r z e z m + n .
T e r a z p r z e d s t a w i m y d e f i n i c j m n o |e n i a l i c z b n a t u r a l n y c h . B d z i e m y s i t r z y m a o z n a c z e D
u |y t y c h w t w i e r d z e n i u .
M n o |e n i e l i c z b n a t u r a l n y c h j e s t t o j e d y n a f u n k c j a f : × ’! o k r e [l o n a u k Ba d e m r ó w n a D:
f ( m , 0 ) = 0 ,
f ( m , n ) = m + f ( m , n ) .
F u n k c j a g m a w t y m p r z y p a d k u p o s t a g ( x ) = 0 d l a x " , z a [ h m a p o s t a h ( x , y , z ) = y + x ,
d l a x " , y " , z " .
R o z p a t r z m y t e r a z o p e r a c j i t e r a c j i , k t ó r o z n a c z y m y p r z e z I t e r i w t e d y
I t e r : P ( A × A ) × N ’!P ( A × A )
d l a k a |d e j r e l a c j i b i n a r n e j w A , p r z y c z y m o z b i o r z e A n i c z e g o n i e z a k Ba d a m y .
D l a r e l a c j i †" A × A p r z y j m u j e m y d e f i n i c j :
I t e r ( , 0 ) = i A ,
I t e r ( , n ) = æ% I t e r ( , n ) ,
g d z i e I t e r ( , n ) o z n a c z a n - k r o t n e z Bo |e n i e r e l a c j i z e s o b . F u n k c j a g ( z o s t a t n i e g o t w i e r -
d z e n i a ) j e s t o k r e [l o n a n a s t p u j c o :
g : P ( A × A ) ’! P ( A × A ) ,
g ( ) = i A ,
p r z y c z y m " P ( A × A ) . Z a [ f u n k c j a h ( r ó w n i e | w y m i e n i o n a w o s t a t n i m t w i e r d z e n i u ) m a
p o s t a :
h : P ( A × A ) × P ( A × A ) × ’! P ( A × A ) ,
h ( 1 , 2 , n ) = 2 æ% 2 ,
d l a 1 "P ( A × A ) i 2 "P ( A × A ) o r a z n " .
D l a i l u s t r a c j i p r z e d s t a w i o n e g o o p i s u r o z p a t r z m y n a s t p u j c s y t u a c j . N i e c h k " b d z i e
d o w o l n l i c z b n a t u r a l n d o d a t n i i n i e c h A = { 0 , 1 } k o r a z n i e c h Õ : { 0 , 1 } k ’!{ 0 , 1 } o z n a c z a
p e w n f u n k c j k - a r g u m e n t o w . W t e d y d l a d o w o l n e g o x 0 , x 1 , . . . , x k - 1 m a m y
Õ( x 0 , x 1 , . . . , x k - 1 ) = x k .
7 . D E F I N I C J E I N D U K C Y J N E 2 5
F u n k c j a Õ o k r e [l o n a p o p r z e d n i o p o z w a l a n a o k r e [l e n i e o d w z o r o w a n i a
I Õ : { 0 , 1 } k ’!{ 0 , 1 } ",
z w a n e g o s y s t e m e m i t e r a c y j n y m f u n k c j i Õ, g d z i e { 0 , 1 } " o z n a c z a z b i ó r w s z y s t k i c h s Bó w ( c i g ó w )
n i e s k o Dc z o n y c h n a d a l f a b e t e m { 0 , 1 } . C i g i t a k i e n a z y w a m y o b l i c z e n i a m i s y s t e m u I Õ, a o k r e [-
l a m y j e n a s t p u j c r ó w n o [c i :
I Õ( x 0 , x 1 , . . . , x k - 1 ) = ( x 0 , x 1 , . . . , x k - 1 , x k , x k - 1 , . . . )
g d z i e d l a d o w o l n e g o i " j e s t x i + k = Õ( x i , x i + 1 , . . . , x i + k ) .
W o p a r c i u o f u n k c j Õ m o |e m y o k r e [l i r e l a c j Õ †"{ 0 , 1 } k × { 0 , 1 } k . J e [l i p r z y j m i e m y , |e
x 0 : = x 0 , x 1 , . . . , x k - 1 o r a z x 1 : = x 1 , x 2 , . . . , x k , Õ( x 0 , x 1 , . . . , x k - 1 ) , t o :
d e f
x i , x j " Õ Ð!Ò! x j = x i | 1 , Õ( x i ) ,
g d z i e x i | 1 = x 1 , x 2 , . . . , x k - 1 j e s t e l e m e n t e m { 0 , 1 } k - 1 p o w s t a By m z x i p o p r z e z o b c i c i e p i e r w -
s z e g o w y r a z u .
Z a t e m r e l a c j a Õ u s t a l a z a l e |n o [ m i d z y s Bo w a n i d l u g o [c i k n a d a l f a b e t e m { 0 , 1 } . M o |e m y
s p r a w d z i , |e d l a t e g o p r z y p a d k u s s p e Bn i o n e w a r u n k i d e f i n i c y j n e n a Bo |o n e n a o p e r a c j i t e r a c j i .
M a m y m i a n o w i c i e :
Z e r o w e z Bo |e n i e r e l a c j i Õ j e s t d z i a Ba n i e m t o |s a m o [c i o w y m . M a m y :
I t e r ( Õ, 0 ) ( x ) = x d l a d o w o l n e g o x "{ 0 , 1 } k .
( n + 1 ) - k r o t n e z Bo |e n i e r e l a c j i Õ s p e Bn i a w a r u n e k :
I t e r ( Õ, n ) = Õ æ% I t e r ( Õ, n ) ,
c o o z n a c z a , |e
n + 1 ( x 0 ) = Õ æ% n ( x 0 ) = Õ( x n - 1 ) = x n
Õ Õ
d l a d o w o l n e g o x 0 "{ 0 , 1 } k .
P r z e d s t a w i o n y p r z y k Ba d r e l a c j i Õ p o k a z u j e , |e i t e r a c j a , a c o z a t y m i d z i e d e f i n i o w a n i e i n d u k -
c y j n e , o d w o Bu j e s i n i e t y l k o d o p o p r z e d n i e j w a r t o [c i , a l e w y n i k u z a l e |n i o n y j e s t o d w s z y s t k i c h
d o t y c h c z a s o b l i c z o n y c h w a r t o [c i . M a m y n a t e n t e m a t n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e .
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n y c h z b i o r ó w A o r a z B , g d z i e B = ", n i e c h g : A ’! B z a [
h : B " × A × ’! B b d d o w o l n y m i f u n k c j a m i . I s t n i e j e w t e d y d o k Ba d n i e j e d n a f u n k c j a f :
A × ’! B s p e Bn i a j c a d l a d o w o l n e g o x " A o r a z d o w o l n e g o n " r ó w n o [c i :
f ( x , 0 ) = g ( x ) ,
f ( x , n ) = h ( ( f ( x , 0 ) · · · f ( x , n ) ) , x , n ) ,
g d z i e ( f ( x , 0 ) · · · f ( x , n ) ) o z n a c z a s Bo w o w B ", k t ó r e g o l i t e r a m i s f ( x , 0 ) , . . . , f ( x , n ) .
7 . D E F I N I C J E I N D U K C Y J N E 2 6
D o w ó d . F u n k c j a f , o k t ó r e j m o w a w t w i e r d z e n i u j e s t t y l k o j e d n a . Z a u w a |m y b o w i e m , |e
g d y b y i s t n i a By d w i e t a k i e f u n k c j e f 1 i f 2 , t o d l a w s z y s t k i c h n " o r a z d o w o l n i e w y b r a n e g o
x " A b y Bo b y :
f 1 ( x , n ) = f 2 ( x , n ) .
M i a n o w i c i e j e [l i f 1 ( x , 0 ) = g ( x ) o r a z f 2 ( x , 0 ) = g ( x ) , t o d l a d o w o l n e g o x i n = 0 w a r u n e k j e s t
s p e Bn i o n y .
P r z y p u [m y t e r a z , |e d l a x " A o r a z u s t a l o n e g o n " d l a
f 1 ( x , n ) = h ( ( f 1 ( x , 0 ) · · · f 1 ( x , n - 1 ) ) , x , n - 1 )
o r a z
f 2 ( x , n ) = h ( ( f 2 ( x , 0 ) · · · f 2 ( x , n - 1 ) ) , x , n - 1 )
z a c h o d z i
f 1 ( x , n ) = f 2 ( x , n ) o r a z f 1 ( x , n ) = f 2 ( x , n )
M a m y , |e
f 1 ( x , n ) = h ( ( f 1 ( x , 0 ) · · · f 1 ( x , n - 1 ) ) , f 1 ( x , n ) , x , n )
o r a z
f 2 ( x , n ) = h ( ( f 2 ( x , 0 ) · · · f 2 ( x , n - 1 ) ) , f 2 ( x , n ) , x , n ) .
P o n i e w a | z z a Bo |e n i a h j e s t f u n k c j , t o d l a t y c h s a m y c h a r g u m e n t ó w p r z y j m u j e t e s a m e w a r t o [c i .
S t d n a m o c y z a s a d y i n d u k c j i d l a w s z y s t k i c h n " j e s t f 1 ( x , n ) = f 2 ( x , n ) .
P o k a |e m y t e r a z i s t n i e n i e f u n k c j i f . W y k o r z y s t a m y w t y m c e l u t w i e r d z e n i e o d e f i n i o w a n i u
p r z e z i n d u k c j .
N i e c h B = B " o r a z n i e c h g : A ’! B b d z i e o k r e [l o n a w t e n s p o s ó b , |e g ( x ) j e s t s Bo w e m
j e d n o l i t e r o w y m . P o n a d t o n i e c h h : B × A × ’! B b d z i e o k r e [l o n a n a s t p u j c o :
h ( w , x , n ) = w h ( w , x , n ) ,
t j . d o s Bo w a w d o p i s y w a n a j e s t l i t e r a h ( w , x , n ) .
N i e c h t e r a z f : A × ’! B o z n a c z a j e d y n f u n k c j o k r e [l o n i n d u k c y j n i e p o p r z e z w a r u n k i :
f ( x , 0 ) = g ( x ) ,
f ( x , n ) = h ( f ( a , n ) , a , n ) .
S y m b o l e m : B " ’! B o z n a c z y m y f u n k c j , k t ó r a k a |d e m u n i e p u s t e m u s Bo w u w p r z y p o -
r z d k o w u j e o s t a t n i ( t j . s k r a j n p r a w ) l i t e r w y s t p u j c w t y m s Bo w i e . P o t o , b y n i e b y Ba
f u n k c j c z [c i o w n a B " z a k Ba d a m y , |e d l a s Bo w a p u s t e g o µ j e j w a r t o [ j e s t r ó w n a ( µ) = b 0 ,
g d z i e b 0 j e s t d o w o l n i e u s t a l o n y m e l e m e n t e m a l a f a b e t u B . F u n k c j f : A × ’! B o k r e [l a m y
r ó w n o [c i :
f ( x , n ) = ( f ( x , n ) ) .
P o k a |e m y , |e
f ( x , n ) = ( f ( x , 0 ) , . . . , f ( x , n ) ) ( c&)
D o w ó d p o p r o w a d z i m y p r z e z i n d u k c j w z g l d e m n . G d y n = 0 , t o
f ( x , 0 ) = ( g ( x ) ) = ( ( g ( x ) ) ) = ( ( f ( x , 0 ) ) ) = ( f ( x , 0 ) ) .
8 . R E L A C J E R Ó W N O W A {N O ZC I 2 7
D o d a t k o w o m a m y :
f ( x , n ) = h ( f ( x , n ) x , n ) = f ( x , n ) h ( f ( x , n ) x , n ) ) =
= ( f ( x , 0 ) · · · f ( x , n ) ) ( f ( x , n ) ) = ( f ( x , 0 ) · · · f ( x , n ) f ( x , n ) ) .
N a l e |y j e s z c z e w y k a z a , |e f s p e Bn i a w a r u n k i n a Bo |o n e n a n i w t w i e r d z e n i u . M a m y , |e
f ( x , 0 ) = ( f ( x , 0 ) ) = ( g ( x ) ) = g ( x ) .
Z d r u g i e j s t r o n y
f ( x , n ) = ( f ( a , n ) ) = ( h ( f ( x , n ) , x , n ) ) =
= ( f ( x , n ) h ( f ( x , n ) , x , n ) ) = h ( f ( x , n ) , x , n ) =
= h ( ( f ( x , 0 ) · · · f ( x , n ) ) , a , n ) .
D o d a j m y , |e o s t a t n i a r ó w n o [ j e s t k o n s e k w e n c j ( c&) . O s t a t e c z n i e w y k a z a l i [m y , |e f j e s t f u n k c j
o j a k i e j m ó w i o s t a t n i e t w i e r d z e n i e .
8 . R e l a c j e r ó w n o w a |n o [c i
W z a l e |n o [c i o d w Ba s n o [c i j a k i e s p e Bn i a r e l a c j a b i n a r n a m o |e m y r o z w a |a r ó |n e k a t e g o r i e
t a k i c h r e l a c j i . O b e c n i e z a j m i e m y s i r e l a c j a m i , k t ó r e s z w r o t n e , s y m e t r y c z n e i p r z e c h o d n i e
( d e f i n i c j e t y c h w Ba s n o [c i z o s t a By p o d a n e w p a r a g r a f i e 3 ) . R e l a c j s p e Bn i a j c w y m i e n i o n e t r z y
w Ba s n o [c i n a z y w a m y r e l a c j r ó w n o w a |n o [c i ( l u b r ó w n o w a |n o [c i ) . R e l a c j e r ó w n o w a |n o [c i s
z w y k l e o z n a c z a n e s y m b o l e m H".
P r z y k Ba d y .
( 1 ) R o z w a |m y o g ó B e m i t o w a n y c h p r z e z N a r o d o w y B a n k P o l s k i b a n k n o t ó w i p o z o s t a j c y c h
w o b i e g u . O z n a c z m y t e n z b i ó r p r z e z X . O k r e [l m y w n i m r e l a c j [ r ó w n o [c i n o m i n a Bó w b a n k n o t ó
b e z w z g l d n a i n n e i c h a t r y b u t y t a k i e j a k s e r i a , n u m e r i s t a n . T a k o k r e [o n a r e l a c j a s p e Bi a d e -
f i n i c j r e l a c j i r ó w n o w a |n o [c i . Z a u w a |m y p r z y t y m , |e z b i ó r X z o s t a B p r z e z t r e l a c j p o d z i e l o n y
n a r o z Bc z n e p o d z b i o r y z Bo |o n e z b a n k n o t ó w o n o m i n a l e 1 0 , 2 0 , 5 0 , 1 0 0 , 2 0 0 z Bo t y c h .
( 2 ) J e [l i n a p Ba s z c z y |n i e À w p r o w a d z i m y r e l a c j r ó w n o l e g Bo [c i p r o s t y c h , t o o k a |e s i |e
r e l a c j a t a j e s t r ó w n i e | r e l a c j r ó w n o w a |n o [c i . Z j e j p u n k t u w i d z e n i a j e d y n i n t e r e s u j c a c e c h
j e s t k i e r u n e k p r o s t e j . T a r e l a c j a d z i e l i p Ba s z c z y z n À n a p o d z b i o r y p r o s t y c h o j e d n a k o w y m
k i e r u n k u , z t y m |e p o d z b i o r ó w t a k i c h j e s t n i e s k o Dc z e n i e w i e l e .
( 3 ) R o z w a |m y d o w o l n y n i e p u s t y z b i ó r X , a w n i m r e l a c j H" z d e f i n i o w a n w t e n s p o s ó b , |e
x H" y w t t , g d y x = y .
Ba t w o z a u w a |y , |e j e s t o n a r e l a c j r ó w n o w a |n o [c i .
8 . R E L A C J E R Ó W N O W A {N O ZC I 2 8
N i e c h X b d z i e d o w o l n y m n i e p u s t y m z b i o r e m , z a [ H" o k r e [l o n w n i m d o w o l n r e l a c j
r ó w n o w a |n o [c i . D l a d o w o l n e g o e l e m e n t u x z e z b i o r u X s y m b o l e m x H" b d z i e m y o z n a c z a
z b i ó r t y c h w s z y s t k i c h e l e m e n t ó w y z e z b i o r u X , |e s o n e w r e l a c j i H" z e l e m e n t e m x t j . :
x H" = { y " X | x , y "H"} ( º)
P o d z b i o r y e l e m e n t ó w z b i o r u X o k r e [l o n e r ó w n o [c i ( º) n a z y w a m y k l a s a m i r ó w n o w a |n o [c i
r e l a c j i H" w X l u b t e | k l a s a m i a b s t r a k c j i r e l a c j i H" w X . P r e c y z y j n i e j , k l a s x H" n a z y w a m y
k l a s r ó w n o w a |n o [c i ( a b s t r a k c j i ) r e l a c j i H" w X w y z n a c z o n p r z e z x l u b t e | o r e p r e z e n t a n c i e x .
Z b i ó r w s z y s t k i c h k l a s r ó w n o w a |n o [c i r e l a c j i H" w X o z n a c z a m y s y m b o l e m X / H" i n a z y w a m y
z b i o r e m i l o r a z o w y m z b i o r u X w z g l d e m r e l a c j i r ó w n o w a |n o [c i H".
N i e c h X b d z i e d o w o l n y m n i e p u s t y m z b i o r e m . R o d z i n p o d z b i o r ó w t e g o z b i o r u n a z y w a m y
r o z b i c i e m z b i o r u X ( p o d z i a Be m z b i o r u X ) w t t ,
k a |d y z e l e m e n t ó w r o d z i n y j e s t z b i o r e m n i e p u s t y m ;
e l e m e n t y r o d z i n y s p a r a m i r o z Bc z n e ;
s u m a w s z y s t k i c h e l e m e n t ó w r o d z i n y j e s t r ó w n a z b i o r o w i X .
E l e m e n t y r o d z i n y n a z y w a n e s k l a s a m i r o z b i c i a .
Z a t e m , k a |d a z r e l a c j i r o z p a t r y w a n y c h w o s t a t n i m p r z y k Ba d z i e d z i e l c z b i o r y , w k t ó r y c h
b y Ba o k r e [l o n a w y z n a c z a Ba r o d z i n b d c p r z y k Ba d e m r o z b i c i a .
Z a j m i j m y s i t e r a z w Ba s n o [c i a m i k l a s a b s t r a k c j i d o w o l n e j r e l a c j i r ó w n o w a |n o [c i . M ó w i o
t y m n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e .
T w i e r d z e n i e . N i e c h X b d z i e d o w o l n y m n i e p u s t y m z b i o r e m , z a [ H" d o w o l n o k r e [l o n w
n i m r e l a c j r ó w n o w a |n o [c i . W t e d y d l a k a |d e g o x , x 1 , x 2 " X s p e Bn i o n e s n a s t p u j c e w a r u n k i :
x " x H", ( i )
x 1 H" = x 2 H" Ð!Ò! x 1 H" x 2 , ( i i )
x 1 H" = x 2 H" = Ò! x 1 H" )" x 2 H" = ". ( i i i )
D o w ó d . P o n i e w a | H" j e s t z w r o t n a z d e f i n i c j i , j a k o r e l a c j a r ó w n o w a |n o [c i , w i c d l a d o w o l n e g o
x " X z a c h o d z i x H" x , w i c x " x H". P r z y p u [m y , |e x 1 H" ‚" x 2 H". W t e d y x 1 " x 2 H",
a w i c n a m o c y d e f i n i c j i r e l a c j i r ó w n o w a |n o [c i x 1 H" x 2 . O d w r o t n i e , g d y x 2 H" x 1 , w t e d y j e [l i
x " x 1 H" t o x H" x 1 . P o n i e w a | j e d n a k H" j e s t p r z e c h o d n i a , t o x " x 2 H". O z n a c z a t o , |e
x 1 H" ‚" x 2 H" i m a m y r ó w n o w a |n o [
x 1 H" ‚" x 2 H"
p o s t p u j c p o d o b n i e p o k a z u j e m y , |e
x 2 H" ‚" x 1 H".
D l a t e g o x 1 H" = x 2 H".
8 . R E L A C J E R Ó W N O W A {N O ZC I 2 9
P r z e j d zm y t e r a z d o d o w o d u w a r u n k u ( i i i ) , k t ó r y p r z e p r o w a d z i m y m e t o d n i e w p r o s t . Z a Bó |-
m y w i c , |e z b i o r y x 1 H" i x 2 H" n i e s r o z Bc z n e . I s t n i e j e z a t e m t a k i e l e m e n t x , k t ó r y n a l e |y
d o k a |d e g o z n i c h . N a m o c y ( º) m a m y , |e x 1 H" x i x 2 H" x . J e d n o c z e [n i e s y m e t r y c z n o [
r e l a c j i H" g w a r a n t u j e , |e x 1 H" x i x H" x 2 . P r z e c h o d n i o [ z k o l e i p o w o d u j e , |e x 1 H" x 2 c o w
p o Bc z e n i u z ( i i ) p r o w a d z i d o r ó w n o [c i x 1 H" = x 2 H". O t r z y m a l i [m y s p r z e c z n o [, c o o z n a c z a
k o n i e c d o w o d u w a r u n k u ( i i i ) .
P o d a m y t e r a z , j a k o k o n s e k w e n c j o s t a t n i e g o t w i e r d z e n i a , t w i e r d z e n i e n a z y w a n e z a s a d a b s -
t r a k c j i .
T w i e r d z e n i e . ( z a s a d a a b s t r a k c j i ) D o w o l n a r e l a c j a r ó w n o w a |n o [c i H" o k r e [l o n a w n i e p u s t y m
z b i o r z e X u s t a l a p o d z i a B t e g o z b i o r u n a r o z Bc z n e i n i e p u s t e p o d z b i o r y , m i a n o w i c i e n a k l a s y
r ó w n o w a |n o [c i t e j r e l a c j i , w t a k i s p o s ó b , |e d w a e l e m e n t y x , y z b i o r u X n a l e | d o t e j s a m e j
k l a s y r ó w n o w a |n o [c i w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y x H" y .
P r z y k Ba d y .
( 1 ) R o z p a t r z m y z b i ó r w s z y s t k i c h l i c z b c a Bk o w i t y c h i n i e c h m b d z i e d o w o l n l i c z b n a -
t u r a l n n i e m n i e j s z n i | 2 , k t ó r z w y k l e n a z y w a m y m o d u Be m . O l i c z b a c h a i b m ó w i m y , |e s
r ó w n e m o d u l o m i p i s z e m y a a" b ( m o d m ) w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y r ó |n i c a t y c h l i c z b j e s t
p o d z i e l n a p r z e z m . Aa t w e s p r a w d z e n i e w a r u n k ó w d e f i n i c j i r e l a c j i r ó w n o w a |n o [c i p o k a z u j e , |e
r e l a c j a r ó w n o [c i l i c z b m o d u l o m j e s t t a k w Ba [n i e r e l a c j . W o b e c t e g o , n a m o c y o s t a t n i e g o
t w i e r d z e n i a , d z i e l i o n a z b i ó r n a r o z Bc z n e p o d z b i o r y k l a s y r ó w n o w a |n o [c i . J e s t i c h j a k
Ba t w o s i p r z e k o n a m . W y p i s z m y j e z a t e m :
0 H" = { . . . , - m , 0 , m , . . . } , . . . , m - 1 H" = { . . . , - m - 1 , - 1 , m - 1 , . . . } .
P i e r w s z a z n i c h j e s t z b i o r e m l i c z b , k t ó r y c h r e s z t a z d z i e l e n i a p r z e z m j e s t r ó w n a 0 . P o d o b n i e ,
o s t a t n i a z n i c h j e s t z b i o r e m w s z y s t k i c h t y c h l i c z b c a Bk o w i t y c h , k t ó r y c h r e s z t a z d z i e l e n i a p r z e z
m j e s t r ó w n a m - 1 . J e [l i m = 2 , t o z b i ó r i l o r a z o w y / ( m o d 2 ) s k Ba d a s i z d w ó c h k l a s a b s t r a k c j i
0 H" i 1 H".
( 2 ) N i e c h A b d z i e d o w o l n y m z b i o r e m , k t ó r y t r a k t u j e m y j a k a l f a b e t , z a [ A " z b i o r e m s Bó w
n a d A . P o n a d t o n i e c h L †" A b d z i e d o w o l n i e u s t a l o n y m p o d z b i o r e m s Bó w . W o p a r c i u o z b i ó r
L o k r e [l a m y r e l a c j <"L w A " w n a s t p u j c y s p o s ó b : j e [l i u " A ", w " A ", t o u , w "<"L w t e d y
i t y l k o w t e d y , g d y d l a d o w o n y c h s Bó w x " A " o r a z y " A " z a c h o d z i r ó w n o w a |n o [:
x u y " L Ð!Ò! x w y " L .
O p i s o w o o z n a c z a t o , |e s Bo w a u i w s w r e l a c j i <"L w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y b e z w z g l d u n a
k o n t e k s t w j a k i m s i z n a j d u j p o z o s t a j w L . T a r e l a c j a r ó w n o w a |n o [c i j e s t i s t o t n y m n a r z d z i e m
j z y k ó w f o r m a l n y c h . J e |e l i z b i ó r i l o r a z o w y A / <"L j e s t s k o Dc z o n y , t o j z y k L n o s i n a z w j z y k a
r e g u l a r n e g o .
( 3 ) R o z p a t r z m y a l f a b e t p o s t a c i A = *"{ + , × , ( , ) } , w k t ó r y m n a w i a s y s s y m b o l a m i
a l f a b e t u , p o d o b n i e j a k s y m b o l e d z i a Ba D: + - d o d a w a n i a i × m n o |e n i a . P r z e z W o z n a c z a m y
n a j m n i e j s z y z b i ó r s Bó w n a d a l f a b e t e m A s p e Bn i a j c y m w a r u n k i :
1 . d l a n " j e s t n "Z ;
8 . R E L A C J E R Ó W N O W A {N O ZC I 3 0
2 . d l a u "Z o r a z w "Z j e s t ( u + w ) "Z o r a z ( u × w ) "Z .
K a |d y z e l e m e n t ó w z b i o r u Z n a z y w a m y w y r a |e n i e m . R e l a c j " Z × Z o k r e [l a m y n a s t -
p u j c o : u w w t t , g d y w y r a |e n i a u i w w y z n a c z a j t s a m l i c z b n a t u r a l n . R e l a c j a t a j e s t
r ó w n i e | r ó w n o w a |n o [c i .
( 4 ) N i e c h t e r a z A i B b d d o w o l n y m i z b i o r a m i o r a z n i e c h f : A ’! B . D l a f u n k c j i f , A , B
o k r e [l a m y r e l a c j z w a n j d r e m f u n k c j i i o z n a c z a n p r z e z k e r ( f ) w n a s t p u j c y s p o s ó b :
x 1 , x 2 "k e r ( f ) Ð!Ò! f ( x 1 ) = f ( x 2 ) .
P o n i e w a | r e l a c j a r ó w n o [c i e l e m e n t ó w d o w o l n e g o z b i o r u j e s t r ó w n o w a |n o [c i , t o t a k |e r e l a c j a
k e r ( f ) j e s t r ó w n o w a |n o [c i .
8 . 1 . L i c z b y c a Bk o w i t e .
D o t y c h c z a s n i e b y By r o z w a |a n e p r z e z n a s w Ba s n o [c i a l g e b r a i c z n e z b i o r ó w z d z i a Ba n i a m i ,
j e d n a k o b e c n i e p o t r z e b n e b d p e w n e f a k t y z t y m z w i z a n e . Z a k Ba d a m y m i a n o w i c i e , |e w z b i o -
r z e o k r e [l o n e s d z i a Ba n i a d o d a w a n i a i m n o |e n i a , r o z u m i a n e j a k o d w u a r g u m e n t o w e f u n k c j e
o k r e [l o n e w p a r a g r a f i e d o t y c z c y m d e f i n i o w a n i a i n d u k c y j n e g o . L i c z b c a Bk o w i t c b d z i e m y
r e p r e z e n t o w a w p o s t a c i p a r y a , b t a k i e j , |e c + a = b . Aa t w o z a u w a |a m y , |e d l a u s t a l o n e g o c
i s t n i e j e n i e s k o Dc z e n i e w i e l e t a k i c h p a r . Z t e g o p o w o d u w z b i o r z e × d e f i n i u j e m y r e l a c j H"
t a k , |e :
a 1 , b 1 H" a 2 , b 2 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y a 1 + b 2 = a 2 + b 1 .
Z a u w a |a m y z t e g o z a p i s u , |e d w i e p a r y p o z o s t a j z e s o b w r e l a c j i , g d y i c h p o p r z e d n i k i r ó |n i
s i o d n a s t p n i k ó w o t s a m l i c z b . P o d k r e [l m y j e s z c z e r a z , |e z a r ó w n o p o p r z e d n i k i j a k i
n a s t p n i k i p a r s l i c z b a m i n a t u r a l n y m i .
T w i e r d z e n i e . R e l a c j a H" j e s t r ó w n o w a |n o [c i w × .
D o w ó d . Z w r o t n o [ r e a l c j i H" w y n i k a w p r o s t z d e f i n i c j i . S y m e t r i a z k o l e i o z n a c z a , |e
a 1 , b 1 H" a 2 , b 2 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y a 1 + b 2 = a 2 + b 1
p o d c z a s , g d y
a 2 , b 2 H" a 1 , b 1 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y a 2 + b 1 = a 1 + b 2 .
Z u w a g i n a p r a w e s t r o n y o s t a t n i c h r ó w n o w a |n o [c i m a m y w Ba s n o [ s y m e t r i i d l a r e l a c j i H".
W y k a |e m y t e r a z p r z e c h o d n i o [. N i e c h
a 1 , b 1 H" a 2 , b 2 o r a z a 2 , b 2 H" a 3 , b 3
O z n a c z a t o z d e f i n i c j i , |e
a 1 + b 2 = a 2 + b 1 o r a z a 2 + b 3 = a 3 + b 2 .
S t d z a [ w y n i k a , |e
a 1 + ( a 2 + b 2 ) + b 3 = ( a 2 + b 2 ) + a 3 + b 1 ,
8 . R E L A C J E R Ó W N O W A {N O ZC I 3 1
d l a t e g o
a 1 + b 3 = a 3 + b 1 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y a 1 , b 1 H" a 3 , b 3 .
c o [w i a d c z y o t y m , |e H" j e s t r ó w n o w a |n o [c i w × .
J a k o r e l a c j a r ó w n o w a |n o [c i H" d z i e l i × n a k l a s y a b s t r a k c j i , k t ó r e t o k l a s y n a z y w a m y
l i c z b a m i c a Bk o w i t y m i . Z b i ó r / H" o z n a c z a m y s y m b o l e m i n a z y w a m y z b i o r e m l i c z b c a Bk o w i t y c h .
W z b i o r z e w p r o w a d z a m y d w a d z i a Ba n i a .
( ±) a , b H" •" a , b H" = a + a , b + b H"
( ²) a , b H" a , b H" = ( a · a ) + ( b · b ) , ( a · b ) + ( b · a ) H".
L e m a t . J e [l i a 1 , b 1 H" a 2 , b 2 o r a z a , b H" a , b , t o
1 1 2 2
( ") a 1 + a , b 1 + b H" a 1 + a , b 1 + b
1 1 2 2
( "") ( a 1 · a ) + ( b 1 · b ) , ( a 1 + b ) + ( b 1 + a ) H" ( a 2 · a ) + ( b 2 · b ) , ( a 2 + b ) + ( b 2 + a )
1 1 1 1 2 2 2 2
D o w ó d . Z g o d n i e z d e f i n i c j r e l a c j i H" m a m y :
a 1 , b 1 H" a 2 , b 2 Ô!a 1 + b 2 = a 2 + b 1
o r a z
a , b H" a , b Ô!a + b = a + b Ð!Ò! a 1 + b 1 + 2 = a 2 + b 1 + 2 Ð!Ò! a 1 + b 1 = a 2 + b 1 .
1 1 2 2 1 2 2 1
a 1 + a , b 1 + b H" a 2 + a , b 2 + b Ð!Ò!a 1 + a + ( b 2 + b ) = b 1 + b + ( a 2 + a )
1 1 2 2 1 2 1 2
c z y l i
a 1 + a 1 + 1 + b 2 + 1 + b 2 + 1 + 1 = b 1 + b 1 + 1 + a 2 + 1 + a 2 + 1 + 1
S t d j u |
a 1 + b 2 = a 2 + b 1
c o o z n a c z a , |e ( ") j e s t p r a w d . P o d o b n i e p o s t p u j e m y p r z y d o w o d z i e ( "") .
8 . 2 . L i c z b y w y m i e r n e .
æ%
J a k p o p r z e d n i o n i e c h o z n a c z a z b i ó r l i c z b c a Bk o w i t y c h , z a [ : = \ { 0 } . R o z p a t r z m y
æ%
i l o c z y n k a r t e z j a Ds k i × , k t ó r e g o e l e m e n t a m i s p a r y l i c z b a , b , g d z i e n a s t p n i k p a r y n i e
æ%
m o |e b y z e r e m . W z b i o r z e × d e f i n i u j e m y r e l a c j o k r e [l o n n a s t p u j c o :
a 1 , b 2 a 2 , b 2 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y a 1 b 1 = a 2 b 1 .
M ó w i c j z y k i e m o p i s o w y m p a r y l i c z b c a Bk o w i t y c h p o z o s t a j z e s o b w r e l a c j i w t e d y i t y l k o
w t e d y , g d y p o p r z e d n i k i t y c h p a r s w t a k i e j s a m e j p r o p o r c j i d o n a s t p n i k ó w . T a k w i c 2 , 6 ,
- 1 , - 3 , 2 7 , 8 1 , t o p r z y k Ba d y p a r p o z o s t a j c y c h w r e l a c j i .
"
T w i e r d z e n i e . R e l a c j a †" × j e s t r ó w n o w a |n o [c i .
9 . T E O R I A M O C Y 3 2
D o w ó d . Z w r o t n o [ o t r z y m u j e m y n a t y c h m i a s t :
d e f
a , b a , b Ð!Ò! a b = a b .
P o n a d t o
d e f
a 1 , b 1 a 2 , b 2 Ð!Ò! a 1 b 2 = a 2 b 1 Ð!Ò! a 2 b 1 = a 1 b 2 Ð!Ò! a 2 , b 2 a 1 , b 1 ,
c o o z n a c z a , |e j e s t s y m e t r y c z n a .
T e r a z z b a d a m y p r z e c h o d n i o [. M a m y :
a 1 , b 1 a 2 , b 2 o r a z a 2 , b 2 a 3 , b 3 .
O z n a c z a t o , |e a 1 b 2 = a 2 b 1 o r a z a 2 b 3 = a 3 b 2 , s t d a 1 b 2 a 2 b 3 = a 2 b 1 a 3 b 2 , c o d a j e ( a 1 b 3 ) ( a 2 b 2 ) =
( a 3 b 1 ) ( a 2 b 2 ) . Z a t e m j e [l i t y l k o a 2 = 0 , t o a 1 b 3 = a 3 b 1 c z y l i a 1 , b 1 a 3 , b 3 . O z n a c z a t o , |e
j e s t p r z e c h o d n i a i d l a t e g o r e l a c j a t a j e s t r ó w n o w a |n o [c i .
æ%
R e l a c j a d z i e l i z b i ó r × n a r o z Bc z n e k l a s y a b s t r a k c j i , k t ó r e t o k l a s y n a z y w a m y l i c z b a m i
æ%
w y m i e r n y m i . Z b i ó r ( × ) / n a z y w a m y z b i o r e m l i c z b w y m i e r n y c h i o z n a c z a m y p r z e z .
W z b i o r z e o k r e [l a m y d z i a Ba n i a d w u a r g u m e n t o w e : •" i z w a n e o d p o w i e d n i o d o d a w a n i e m
i m n o |e n i e m l i c z b w y m i e r n y c h . A o t o i c h d e f i n i c j e :
a 1 , b 1 •" a 2 , b 2 = a 1 b 2 + a 2 b 1 , b 1 b 2
a 1 , b 1 a 2 , b 2 = a 1 a 2 , b 1 b 2
a
Z p r z y c z y n p r a k t y c z n y c h , a l e i h i s t o r y c z n y c h p a r a , b u t o |s a m i a m y z w y k l e z n a p i s e m .
b
a
Z a t e m s y m b o l z w a n y u Ba m k i e m z w y k By m o z n a c z a k l a s a b s t r a k c j i p e w n e j s p e c j a l n e j r e l a c j i
b
r ó w n o w a |n o [c i .
D l a l i c z b w y m i e r n y c h p o d o b n i e j a k t o m a m i e j s c e w p r z y p a d k u l i c z b c a Bk o w i t y c h m o |n a
p o k a z a , |e p r z y w y k o n y w a n i u d z i a Ba D d o d a w a n i a i m n o |e n i a w y b ó r k o n k r e t n e g o r e p r e z e n t a n t a
k l a s y a b s t r a k c j i n i e m a w p By w u n a w y n i k d z i a Ba n i a . W o d r ó |n i e n i u o d l i c z b c a Bk o w i t y c h o b a
w p r o w a d z o n e d z i a Ba n i a a r y t m e t y c z n e t j . d o d a w a n i e i m n o |e n i e m a j d z i a Ba n i a o d w r o t n e ( p o z a
d z i e l e n i e m p r z e z 0 ) .
9 . T e o r i a m o c y
N i e c h A i B b d d o w o l n y m i z b i o r a m i . Z b i o r y t e b d z i e m y n a z y w a r ó w n o l i c z n y m i w t e d y i
t y l k o w t e d y , g d y i s t n i e j e f u n k c j a f r ó |n o w a r t o [c i o w a i o d w z o r o w u j c a z b i ó r A n a z b i ó r B . F a k t
r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r ó w A i B b d z i e m y w y r a |a p i s z c : A <" B . P o j c i e r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r ó w
j e s t u o g ó l n i e n i e m n a d o w o l n e z b i o r y z b i o r y e l e m e n t ó w d o w o l n e j n a t u r y p o j c i a r ó w n e j
l i c z e b n o [c i . W m y [l t e j d e f i n i c j i r ó w n o l i c z n e s z b i o r y A = { 7 , t , ±, } i B = { c&, f&, e&, `&} .
R o z p a t r z m y j e d n a k b a r d z i e j i n t e r e s u j c y p r z y k Ba d .
P r z y k Ba d . N i e c h a , b " o r a z a < b . R o z w a |m y p r z e d z i a B ( a ; b ) . P o k a |e m y , |e p r z e -
d z i a B ( a ; b ) j e s t r ó w n o l i c z n y z e z b i o r e m l i c z b r z e c z y w i s t y c h . W t y m c e l u , z g o d n i e z w a r u n k a m i
9 . T E O R I A M O C Y 3 3
d e f i n i c j i r ó w n o l i c z n o [c i , n a l e |y w s k a z a f u n k c j e r ó |n o w a r t o [c i o w i w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n i e
p r z e p r o w a d z a j c ( a ; b ) n a . Z a u w a |m y , |e f u n k c j a t a n g e n s p r z e p r o w a d z a o t w a r t y p r z e d z i a B
1
( - 1 À; À) n a p r z e d z i a B ( - "; + ") . Z a t e m n a l e |y z m o d y f i k o w a t a k d z i e d z i n f u n k c j i t a n g e n s ,
2 2
b y p r z e k s z t a Bc a Ba o n a w p r z e d z i a B ( a ; b ) . W t y m c e l u p r z e k s z t a Bc a m y p r z e d z i a B ( a ; b ) p o p r z e z
1
w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n i r ó |n o w a r t o [c i o w f u n k c j h n a p r z e d z i a B ( - 1 À; À) . N i e c h z a t e m
2 2
1 1
h : ( a ; b ) - ’! - À; À
2 2
o r a z
a + b
x -
2
h : x - ’! À ·
b - a
Ba t w o s p r a w d z i , |e f u n k c j a h s p e Bn i a w s z y s t k i e p o t r z e b n e w a r u n k i . D o k o n u j c t e r a z s u p e r p o -
z y c j i o d w z o r o w a D f i h o t r z y m u j e m y f u n k c j f æ% h r ó |n o w a r t o [c i o w i w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n i e
p r z e p r o w a d z a j c z b i ó r ( a ; b ) n a . Z a t e m z g o d n i e z d e f i n i c j z b i o r y t e s r ó w n o l i c z n e . O s t a t n i
p r z y k Ba d p o k a z u j e , |e z b i ó r n i e s k o Dc z o n y m o |e b y r ó w n o l i c z n y z e s w o i m p o d z b i o r e m w Ba [c i -
w y m .
T w i e r d z e n i e . R e l a c j a r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r ó w j e s t r e l a c j r ó w n o w a |n o [c i .
D o w ó d . P o n i e w a | r e l a c j r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r ó w j e s t z d e f i n i o w a n a p o p r z e z b i j e k c j , t o d l a
d o w o l n e g o z b i o r u A j e s t o n r ó w n o l i c z n y z s a m y m s o b i b i j e k c i t a k r e a l i z u j e i d e n t y c z n o [ i A .
Z k o l e i s y m e t r i a r e l a c j i r ó w n o l i c z n o [c i w y n i k a z f a k t u , |e k a |d a b i j e k c j a j e s t f u n k c j o d w r a c a l n .
N a t o m i a s t p r z e c h o d n i o [ w y n i k a z u d o w o d n i o n e g o p o p r z e d n i o f a k t u , |e z Bo |e n i e b i j e k c j i j e s t
b i j e k c j .
R e l a c j a r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r ó w , j a k o r ó w n o w a |n o [ d z i e l i z b i o r y n a r o z Bc z n e k l a s y z b i o r ó w
i u t o |s a m i a z e s o b z b i o r y r ó w n o l i c z n e .
P r z y j m u j e m y u m o w , |e k a |d e m u z b i o r o w i m o |e m y p r z y p o r z d k o w a p e w i e n n o w y a t r y b u t ,
k t ó r y z w y c z a j o w o o z n a c z a b d z i e m y j a k o | A | , z w a n y m o c z b i o r u A . ( N i e k i e d y u |y w a n e j e s t
t a k |e i n n e o n a c z e n i e : c a r d A o d a n g i e l s k i e g o s Bo w a c a r d i n a l i t y . ) P o n a d t o z b i o r y A i B m a j t
s a m m o , w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y s o n e r ó w n o l i c z n e . W y r a |a m y t e n f a k t p i s z c :
A <" B Ð!Ò! | A | = | B | .
W i d a s t d , |e m o c z b i o r u j e s t c e c h k l a s y a b s t r a k c j i r e l a c j i r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r ó w . M o c e
z b i o r ó w n a z y w a m y t a k |e l i c z b a m i k a r d y n a l n y m i .
Z b i ó r A b d z i e m y n a z y w a s k o Dc z o n y m w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y i s t n i e j e l i c z b a n a t u r a l n a n ,
|e A <" n ( t u n r o z u m i e m y j a k o z b i ó r w s z y s t k i c h l i c z b n a t u r a l n y c h m n i e j s z y c h n i | n ) . M ó w i m y
w t e d y , |e A j e s t n - e l e m e n t o w y . K a |d y z b i ó r , k t ó r y n i e j e s t s k o Dc z o n y n a z y w a m y n i e s k o Dc z o n y m .
P r z y j m u j e m y u m o w , |e m o c z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o j e s t r ó w n a n , z a [ m o c z b i o r u l i c z b
n a t u r a l n y c h o z n a c z a m y s y m b o l e m 5!0 .
T w i e r d z e n i e .
1 . D l a k a |d e g o n " n i e i s t n i e j e f u n k c j a r ó |n o w a r t o [c i o w a z n *"{ n } w n .
2 . J e [l i m " , n " o r a z m <" n , t o m = n .
9 . T E O R I A M O C Y 3 4
3 . N i e i s t n i e j e l i c z b a n a t u r a l n a r ó w n o l i c z n a z , c o o z n a c z a , |e j e s t n i e s k o Dc z o n y .
D o w ó d . A d 1 . D o w ó d z o s t a n i e p o p r o w a d z o n y p r z e z i n d u k c j . G d y n = 0 , t o t w i e r d z e n i e j e s t
p r a w d z i w e , p o n i e w a | n i e i s t n i e j e f u n k c j a o k r e [l o n a n a z b i o r z e n i e p u s t y m o w a r t o [c i a c h w z b i o r z e
p u s t y m .
P r z y p u [m y t e r a z , |e t w i e r d z e n i e z a c h o d z i d l a n " o r a z n i e c h
f : n *"{ n } *"{ n } ’!n *"{ n }
o z n a c z a f u n k c j r ó |n o w a r t o [c i o w . G d y f n i e p r z y j m u j e w a r t o [c i n , l u b t e | g d y f ( n ) = n , t o
z a w |a j c f d o n *"{ n } ( w n o t a c j i r e l a c y j n e j o z n a c z a t o f u n k c j a m a w t e d y p o s t a f )" ( n × n ) )
o t r z y m u j e m y f u n k c j r ó |n o w a r t o [c i o w z n *"{ n } w n p r o w a d z i t o d o s p r z e c z n o [c i z z a Bo |e n i e m
i n d u k c y j n y m . P r z y j m u j c n a t o m i a s t f ( i ) = n , g d z i e i n o r a z z a k Ba d a j c , |e j = f ( n ) m a m y
i | z t e g o , |e f j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a w y n i k a j < n . W t e d y f u n k c j a g : n *"{ n } ’!n o k r e [l o n a
w a r u n k i e m :
f ( x ) , g d y x = i
g ( x ) =
j , g d y x = i ,
j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a . S p r z e c z n o [ t a p o k a z u j e , |e f n i e m o |e b y r ó |n o w a r t o [c i o w a . Z a t e m
( i ) z a c h o d z i .
Z a j m i e m y s i t e r a z p o d p u n k t e m ( i i ) . D l a m " o r a z n " p o k a |e m y , |e :
J e [l i i s t n i e j e f u n k c j a r ó |n o w a r t o [c i o w a z m w n , t o m †" n . ( ")
I n d u k c j a p r o w a d z o n a j e s t w z g l d e m m . G d y m = 0 , t o t w i e r d z e n i e j e s t p r a w d z i w e . P r z y p u -
[m y , |e ( ") z a c h o d z i i n i e c h f : m ’! n b d z i e r ó |n o w a r t o [c i o w a . S k o r o m †" m , t o i s t n i e j e
f u n k c j a r ó |n o w a r t o [c i o w a z m w n , a w i c z z a Bo |e n i e n i a i n d u k c y j n e g o m a m y m †" n . P r z y p a -
d e k , g d y m = n n i e j e s t m o |l i w y z e w z g l d u n a p o p r z e d n i p o d p u n k t . S t d m = n i w o p a r c i u
o w Ba s n o [c i z b i o r u l i c z b n a t u r a l n y c h m a m y , |e m " n . O s t a t e c z n i e m = m *"{ m } o r a z m ‚" n ,
c o p o k a z u j e , |e w a r u n e k ( ") j e s t s p e Bn i o n y . Z k o l e i ( i i ) j e s t k o n s e k w e n c j ( ") .
D l a d o w o d u ( i i i ) z a u w a |m y , |e g d y b y i s t n i a Ba f u n k c j a r ó |n o w a r t o [c i o w a f : ’! n , t o j e j
z a w |e n i e d o n *"{ n } b y Ba b y f u n k c j r ó |n o w a r t o [c i o w z n *"{ n } w n , a t o s t o i w s p r z e c z n o [c i
z ( i ) .
9 . 1 . Z b i o r y p r z e l i c z a l n e
Z b i ó r A n a z y w a m y p r z e l i c z a l n y m w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y j e s t s k o Dc z o n y , b d z r ó w n o l i c z n y
z e z b i o r e m l i c z b n a t u r a l n y c h .
P r z e z c i g o w y r a z a c h w n i e p u s t y m z b i o r z e A b d z i e m y r o z u m i e k a |d f u n k c j z w A .
T w i e r d z e n i e . N i e p u s t y z b i ó r A j e s t p r z e l i c z a l n y w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y j e s t o n z b i o r e m
w y r a z ó w p e w n e g o n i e s k o Dc z o n e g o c i g u .
D o w ó d . R o z p o c z n i j m y o d p r z y p a d k u , g d y A = { a 0 , a 1 , . . . , a m - 1 } t z n . , g d y j e s t s k o Dc z o n y .
W t e d y c i g ( ±n ) m o |e m y o k r e [l i n a s t p u j c o :
a n , g d y n "{ 0 , 1 , . . . , m - 1 } ,
±n =
a m - 1 , g d y n "{ m , . . . } ,
9 . T E O R I A M O C Y 3 5
J e [l i z a [ A j e s t z b i o r e m p r z e l i c z a l n y m n i e s k o Dc z o n y m , t o i s t n i e j e f u n k c j a f : ’! A , c o o z n a c z a ,
|e A j e s t z b i o r e m w y r a z ó w p e w n e g o c i g u ( c i g u n i e s k o Dc z o n e g o ) ( ±n ) , d l a k t ó r e g o z a c h o d z i
r ó w n o [: f ( ±n ) = f ( n ) d l a w s z y s t k i c h n " .
Z a Bó |m y , |e A j e s t z b i o r e m w y r a z ó w p e w n e g o c i g u ( ±n ) . J e |e l i A j e s t s k o Dc z o n y , t o z
d e f i n i c j i j e s t z b i o r e m p r z e l i c z a l n y m . J e |e l i z a [ j e s t z b i o r e m n i e s k o Dc z o n y m , t o k Ba d c f ( 1 ) = ±1
i f ( k ) n i e c h b d z i e r ó w n e p i e r w s z e m u w y r a z o w i c i g u ( ±n ) r ó |n e m u o d f ( k - i ) d l a 1 i < k
o t r z y m u j e m y f u n k c j f : ’! A r ó |n o w a r t o [c i o w p r z e k s z t a Bc a j c m a A . S t d A j e s t
r ó w n o l i c z n y z .
T w i e r d z e n i e . P o d z b i ó r z b i o r u p r z e l i c z a l n e g o j e s t z b i o r e m p r z e l i c z a n y m .
D o w ó d . N i e c h A b d z i e z b i o r e m p r z e l i c z a l n y m o r a z n i e c h B ‚" A . J e [l i B j e s t p r z e l i c z a l n y ,
t o j e s t s k o Dc z o n y z d e f i n i c j i . J e [l i z a [ j e s t n i e s k o Dc z o n y , t o z a Bó |m y , |e B A . P o n i e w a |
A j e s t z b i o r e m p r z e l i c z a l n y m , t o i s t n i e j e f u n k c j a f : ’! A b d c a b i j e k c j . N i e c h t e r a z
g : ’! B b d z i e f u n k c j o k r e [l o n r ó w n o [c i : g ( 1 ) = f ( k 1 ) , p r z y c z y m k 1 j e s t n a j m n i e j s z
l i c z b n a t u r a l n , d l a k t ó r e j f ( k 1 ) " B , g ( n ) = f ( k 1 ) d l a n > 1 , g d z i e k n j e s t n a j m n i e j s z l i c z b
n a t u r a l n , d l a k t ó r e j k n > k n - 1 o r a z f ( k n ) " B . F u n k c j a g j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a i p r z e k s z t a Bc a
n a B . W y n i k a s t d , |e B j e s t r ó w n o l i c z n y z , a w i c p r z e l i c z a l n y i n i e s k o Dc z o n y .
I n n y s p o s ó b d o w o d u . N i e c h A o z n a c z a n i e p u s t y z b i ó r p r z e l i c z a l n y o r a z n i e c h B †" A . Z
p o p r z e d n i e g o t w i e r d z e n i a w i e m y , |e i s t n i e j e f u n k c j a f z w A . N i e c h x 0 " B b d z i e d o w o l n i e
w y r ó |n i o n y . O k r e [l a m y f u n k c j g : A ’! B w n a s t p u j c y s p o s ó b :
x , g d y x " B )" A ,
g ( x ) =
x 0 , g d y x " A \ B .
F u n k c j a g j e s t f u n k c j z A n a B , a z a t e m B j e s t p r z e l i c z a l n y .
T w i e r d z e n i e . J e |e l i f : A ’! B j e s t d o w o l n f u n k c j o r a z X †" A j e s t z b i o r e m p r z e l i c z a l -
n y m m t o f ( X ) j e s t p r z e l i c z a l n y .
D o w ó d . N i e c h f : A ’! B b d z i e d o w o l n f u n k c j o r a z n i e c h X †" A b d z i e p r z e l i c z a l n y .
G d y X = ", t o f ( X ) = " j e s t p r z e l i c z a l n y . G d y z a [ X = ", t o i s t n i e j e f u n k c j a g : ’! X
b d c a n a X . N i e c h f | X o z n a c z a o b c i c i e f u n k c j i f d o X , c o o z n a c z a , |e f | X = f )" ( X × B ) .
J e s t p r z y t y m f | X p r z e p r o w a d z a X n a f ( X ) a z Bo |e n i e f | X æ% g : ’! f ( X ) j e s t n a f ( X ) .
O z n a c z a t o n a m o c y w c z e [n i e j s z e g o t w i e r d z e n i a , |e f ( X ) j e s t z b i o r e m p r z e l i c z a l n y m .
L e m a t . F u n k c j a f : × ’! o k r e [l o n a r ó w n o [c i f ( m , n ) = 2 n ( 2 m + 1 ) - 1 j e s t
b i j e k c j .
1 2 1
D o w ó d . P r z y p u [m y , |e 2 n ( 2 m 1 + 1 ) - 1 = 2 n ( 2 m 2 + 1 ) - 1 . W t e d y 2 n ( 2 m 1 + 1 ) =
2
2 n ( 2 m 2 + 1 ) . Z z a s a d n i c z e g o t w i e r d z e n i a a r y t m e t y k i ( t w i e r d z e n i a o j e d n o z n a c z n o [c i r o z k Ba d u
n a c z y n n i k i p i e r w s z e ) w y n i k a , |e n 1 = n 2 , c o i m p l i k u j e r ó w n o [ 2 m 1 + 1 = 2 m 2 + 1 , a w
k o n s e k w e n c j i m 1 = m 2 . T a k w i c f j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a .
D l a p o k a z a n i a , |e f j e s t n a o b i e r z m y d o w o l n l i c z b n a t u r a l n k i p r z y j m i j m y , |e n "
k + 1
o z n a c z a n a j w i k s z l i c z b n a t u r a l n t a k , |e 2 n d z i e l i k + 1 . W y n i k a s t d , |e j e s t l i c z b
2 n
1 k + 1
n i e p a r z y s t , b o g d y b y t a k n i e b y Bo , t o n n i e b y Ba b y n a j w i k s z a . W e zm y m = - 1 .
2 2 n
W t e d y f ( m , n ) = k c o o z n a c z a , |e f j e s t f u n k c j n a z b i ó r .
9 . T E O R I A M O C Y 3 6
T w i e r d z e n i e . J e [l i A i B s p r z e l i c z a l n e , t o A × B j e s t p r z e l i c z a l n y .
D o w ó d . J e [l i k t ó r y k o l w i e k z e z b i o r ó w A i B j e s t p u s t y , t o A × B j e s t p u s t y , a z a t e m
p r z e l i c z a l n y . Z a Bó |m y , |e |a d e n z t y c h z b i o r ó w n i e j e s t p u s t y . P o z a t y m n i e c h f : ’! A i
g : ’! B b d f u n k c j a m i n a . F u n k c j h o k r e [l a m y n a s t p u j c o :
h : × ’! A × B ,
h ( m , n ) = f ( m ) , g ( n ) .
F u n k c j a h p r z e k s z t a Bc a n a A × B , c o o z n a c z a , |e z b i ó r t e n j e s t p r z e l i c z a l n y .
T w i e r d z e n i e . J e |e l i { A i | i " I } j e s t p r z e l i c z a l n r o d z i n z b i o r ó w p r z e l i c z a l n y c h ( I j e s t
p r z e l i c z a l n y o r a z k a |d e A i j e s t z b i o r e m p r z e l i c z a l n y m ) , t o A i j e s t t a k |e z b i o r e m p r z e l i c z a l n y m .
i "I
D o w ó d . N i e c h { A i | i " } o z n a c z a r o d z i n z b i o r ó w p r z e l i c z a l n y c h . Z a k Ba d a m y , |e k a |d y z
e l e m e n t ó w t e j r o d z i n y j e s t z b i o r e m n i e p u s t y m . N i e c h f : ’! I b d z i e n a I o r a z d l a k a |d e g o
i " I n i e c h g i : ’! A i o z n a c z a p r z e k s z t a Bc e n i e n a . O k r e [l a m y f u n k c j h : × ’! A i
i "I
r ó w n o [c i h ( m , n ) = g f ( m ) ( n ) . F u n k c j a h j e s t n a A i , g d y | j e [l i a " A i , t o i s t n i e j e
i "I
i "I
i " I t a k i e , |e a " A i . I s t n i e j w t e d y m , n " t a k i e , |e f ( m ) = i ( p r z y p o m i j m y , |e f j e s t n a
I ) o r a z g i ( n ) = a ( f u n k c j a g i j e s t n a A i ) . W y n i k a s t d , |e
h ( m , n ) = g f ( m ) ( n ) = g i ( n ) = a ,
c o p o k a z u j e , |e h j e s t n a A i . J a k o o b r a z z b i o r u p r z e l i c z a l n e g o z b i ó r j e s t p r z e l i c z a l n y .
i "I i "I
W n i o s e k . Z b i ó r l i c z b c a Bk o w i t y c h j a k o s u m a z b i o r u l i c z b n a t u r a l n y c h o r a z p r z e l i c z a l n e g o
z b i o r u l i c z b c a Bk o w i t y c h u j e m n y c h j e s t p r z e l i c z a l n y .
W n i o s e k . Z b i ó r l i c z b w y m i e r n y c h j a k o p o d z b i ó r z b i o r u × j e s t p r z e l i c z a l n y .
W n i o s e k . D l a d o w o l n e g o p r z e l i c z a l n e g o z b i o r u A o r a z d o w o l n e g o n " z b i ó r A n w s z y s t k i c h
f u n k c j i z n w A j e s t p r z e l i c z a l n y .
W n i o s e k . D l a d o w o l n e g o p r z e l i c z a l n e g o z b i o r u A z b i ó r A " w s z y s t k i c h s Bó w s k o Dc z o n y c h n a d
A p r z e l i c z a l n y .
9 . 2 . Z b i o r y n i e p r z e l i c z a l n e
T w i e r d z e n i e . ( C a n t o r a ) D l a k a |d e g o z b i o r u A n i e i s t n i e j e f u n k c j a z A n a z b i ó r P ( A ) .
D o w ó d . P r z y p u [m y , |e f : A ’!P ( A ) j e s t n a P ( A ) . W t e d y
A 0 = { a " A | a " f ( a ) } .
S k o r o f j e s t n a P ( A ) , t o i s t n i e j e a 0 " A , |e f ( a 0 ) = A 0 . Z a t e m
a 0 " A 0 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y a 0 " f ( a 0 ) .
9 . T E O R I A M O C Y 3 7
O t r z y m a l i [m y , |e
a 0 " A 0 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y a 0 " A 0
S p r z e c z n o [ t a d o w o d z i , |e f n i e m o |e b y f u n k c j n a P ( A ) . A w i c w s t p n e p r z y p u s z c z e n i e
b y Bo f a Bs z y w e .
W n i o s e k . Z b i ó r p o t g o w y P ( A ) n i e j e s t r ó w n o l i c z n y z |a d n y m z p o d z b i o r ó w z b i o r u A .
W n i o s e k . Z b i ó r w s z y s t k i c h p o d z b i o r ó w z b i o r u l i c z b n a t u r a l n y c h o r a z z b i ó r w s z y s t k i c h n i e s -
k o Dc z o n y c h c i g ó w o w y r a z a c h z e z b i o r u { 0 , 1 } s z b i o r a m i n i e p r z e l i c z a l n y m i .
W n i o s e k . N i e i s t n i e j e z b i ó r w s z y s t k i c h z b i o r ó w .
D o w ó d . J e [l i b y A b y B z b i o r e m w s z y s t k i c h z b i o r ó w , w t e d y k a |d y p o d z b i ó r z b i o r u A n a l e -
|a Bb y d o A , c z y l i P ( A ) †" A . W t e d y P ( A ) b y Bb y r ó w n o l i c z n y z p e w n y m p o d z b i o r e m z b i o r u A ,
c o p r z e c z y p i e r w s z e m u z w n i o s k ó w m ó w i c e m u o n i e r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r u p o t g o w e g o P ( A ) z e
z b i o r e m A .
P r z y j m u j e m y u m o w , |e m o c z b i o r u w s z y s t k i c h p o d z b i o r ó w z b i o r u l i c z b n a t u r a l n y c h t j .
z b i o r u P ( ) n a z y w a b d z i e m y c o n t i n u u m i o z n a c z a p r z e z .
9 . 3 . P o r ó w n y w a n i e l i c z b k a r d y n a l n y c h
J e [l i A i B s d o w o l n y m i z b i o r a m i t o m ó w i m y , |e m o c z b i o r u A j e s t m n i e j s z a l u b r ó w n a
m o c y z b i o r u B i p i s z e m y | A | | B | w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y i s t n i e j e f u n k c j a r ó |n o w a r t o [c i o w a
z A w B .
Ü
L e m a t . J e [l i A <" Ã o r a z B <" B , t o i s t n i e j e f u n k c j a r ó |n o w a r t o [c i o w a z A w B w t e d y i
Ü
t y l k o w t e d y , g d y i s t n i e j e f u n k c j a r ó |n o w a r t o [c i o w a z à w B .
Ü
D o w ó d . N i e c h Õ : A ’! Ã o r a z È : B ’! B b d b i j e k c j a m i . W t e d y , g d y f : A ’! B j e s t
Ü Ü
r ó |n o w a r t o [c i o w a , t o Èf Õ- 1 : Ã ’! B j e s t t a k |e r ó |n o w a r t o [c i o w a . P o d o b n i e j e [l i g : Ã ’! B
j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a , t o È- 1 g Õ : A ’! B j e s t t a k |e r ó |n o w a r t o [c i o w a .
M ó w i m y , |e m o c z b i o r u A j e s t m n i e j s z a o d m o c y z b i o r u B i p i s z e m y | A | < | B | , g d y | A | | B |
o r a z | B | | A | .
T w i e r d z e n i e . ( L e m a t B a n a c h a ) D l a d o w o l n y c h f u n k c j i f : A ’! B o r a z g : B ’! A i s t n i e j
z b i o r y A 1 †" A , A 2 †" A o r a z B 1 †" B , B 2 †" B t a k i e , |e :
1 . A 1 *" A 2 = A , A 1 )" A 2 = ";
2 . B 1 *" B 2 = B , B 1 )" B 2 = ";
3 . f ( A 1 ) = B 1 ;
4 . g ( B 2 ) = A 2 .
D o w ó d l e m a t u B a n a c h a z o s t a n i e p r z e p r o w a d z o n y w o p a r c i u o m e t o d p u n k t u s t a Be g o , k t ó r a
p r z e d s t a w i o n a z o s t a n i e p ó zn i e j .
9 . T E O R I A M O C Y 3 8
L e m a t . J e [l i A , A , B i B s t a k i m i z b i o r a m i , |e : A <" A , B <" B , A )" B = " o r a z
A )" B = ", t o A *" B <" A *" B .
D o w ó d . N i e c h f : A ’! A o r a z g : B ’! B b d b i j e k c j a m i . W t e d y f *" g j e s t b i j e k c j
u s t a l a j c r ó w n o l i c z n o [ A *" B <" A *" B . Z t e g o , |e f *" g j e s t b i j e k c j w y n i k a , |e A )" B = ".
R ó |n o w a r t o [c i o w o [ f u n k c j i f *" g i m p l i k u j e , |e A )" B = ".
Z a t r z y m a j m y s i n a d w a r u n k a m i n i e p u s t o [c i p r z e c i z b i o r ó w A i B o r a z A i B . R o z p a t r z -
m y z b i o r y : A = { 1 , © } o r a z B = { © , »} , g d z i e A *" B = { 1 , © , »} . P o n a d t o n i e c h A = { ", }
i B = { ˜, } , z a [ b i j e k c j e f i g n i e c h m a j p o s t a :
1 ’!" © ’!
f : g :
© ’! » ’! ˜
P o n i e w a | A *"B = { ", , ˜, } , a s t d j u | m a m y , |e A *"B <" A *"B . W i d a s t d i s t o t z a Bo |e D
l e m a t u . M o |n a o c z y w i [c i e w s k a z a i n n e j e s z c z e p r z y k Ba d y n i e s p e Bn i a n i a z a Bo |e D i w y n i k a j c e z
t e g o k o n s e k w e n c j e .
T w i e r d z e n i e . J e [l i A , B i C s d o w o l n y m i z b i o r a m i , t o
1 . | A | | A | ;
2 . j e [l i | A | | B | o r a z | B | | C | , t o | A | | C | ;
3 . t w i e r d z e n i e C a n t o r a - B e r n s t e i n a : j e [l i | A | | B | o r a z | B | | A | , t o | A | = | B | .
D o w ó d . P o d p u n k t y 1 . o r a z 2 . s p r o s t y m i k o n s e k w e n c j a m i d e f i n c j i m o c y z b i o r u . P r z e d s t a -
w i m y d o w ó d c z [c i 3 . P r z y j m i j m y , |e f : A ’! B o r a z g : B ’! C s f u n k c j a m i r ó |n o w a r t o [-
c i o w y m i . W y k o r z y s t a j m y l e m a t B a n a c h a u z y s k u j c r o z b i c i a z b i o r u A i B w p o s t a c i A 1 †" A i
A 2 †" A o r a z B 1 †" B i B 2 †" B , d l a k t ó r y c h z a c h o d z r ó w n o [c i :
A 1 *" A 2 = A , A 1 )" A 2 = " ( i )
B 1 *" B 2 = B , B 1 )" B 2 = " ( i i )
f ( A 1 ) = B 1 ( i i i )
= A 2 ( i v )
g ( B 2 )
K o n s e k w e n c j ( i i i ) j e s t A 1 <" B 1 , z a [ k o n s e k w e n c j ( i v ) , |e A 2 <" B 2 . Z r ó w n o [c i ( i ) i ( i i ) o r a z
z o s t a t n i e g o l e m a t u m a m y , |e A <" B .
T w i e r d z e n i e . Z b i ó r l i c z b r z e c z y w i s t y c h j e s t r ó w n o l i c z n y z e z b i o r e m { 0 , 1 } . Z b i ó r l i c z b
r z e c z y w i s t y c h m a m o c c o n t i n u u m .
D o w ó d . N i e c h Õ : { 0 , 1 } ’! b d z i e o k r e [l o n a w a r u n k i e m :
§#
"
ª# f ( n )
ª#
ª#
, j e [l i f - 1 ( { 0 } ) j e s t n i e s k o Dc z o n y ,
ª#
¨#
2 n
n = 1
Õ( f ) =
"
ª# f ( n )
ª#
ª#
ª# - , j e [l i f - 1 ( { 0 } ) j e s t s k o Dc z o n y ,
©#
2 n
n = 1
W y k a |e m y r ó |n o w a r t o [c i o w o [ f u n k c j i Õ. Z a u w a |m y , |e j e [l i f - 1 ( { 0 } ) j e s t n i e s k o Dc z o n y , t o
Õ( f ) 0 . G d y n a t o m i a s t j e s t s k o Dc z o n y , t o Õ( f ) < 0 . Z a Bó |m y , |e f o r a z g s d w o m a c i g a m i
9 . T E O R I A M O C Y 3 9
n i e s k o Dc z o n y m i z a w i e r a j c y m i n i e s k o Dc z e n i e w i e l e z e r . P o z a t y m n i e c h k b d z i e n a j m n i e j s z
l i c z b o t e j w Ba s n o [c i , |e f ( k ) = g ( k ) . P r z y j m i j m y ( b e z u t r a t y o g ó l n o [c i ) , |e f ( k ) = 0 o r a z
g ( k ) = 1 . G d y Õ( f ) = Õ( g ) , t o o d e j m u j c k - 1 p o c z t k o w y c h w y r a z ó w w o d p o w i e d n i c h
s z e r e g a c h d o s t a n i e m y :
" "
f ( n ) 1 g ( n )
= + . ( v )
2 n 2 k 2 n
n = k + 1 n = k = 1
"
1 1
W y n i k a s t d , |e s z e r e g p o l e w e j s t r o n i e m a s u m m n i e j s z o d = ( z a w i e r a n i e s -
2 n 2 k
n = k + 1
1
k o Dc z e n i e w i e l e z e r ) . Z d r u g i e j s t r o n y s z e r e g p o p r a w e j s t r o n i e m a s u m n i e m n i e j s z n i | . Z
2 k
t e g o p o w o d u n i e j e s t m o |l i w a r ó w n o [ ( v ) d o w o d z i t o , |e Õ( f ) = Õ( g ) . W s y t u a c j i , g d y f i g
z a w i e r a j j e d y n i e s k o Dc z e n i e w i e l e z e r , t o p o s t p u j e m y p o d o b n i e . W t e d y s z e r e p e l e w e j s t r o n i e
1
d |y d o s u m y n i e w i k s z e j n i | p o d c z a s , g d y s z e r e g p o p r a w e j s t r o n i e d |y d o s u m u w i k s z e j
2 k
1
o d ( w y n i k a t o z f a k t u , |e g z a w i e r a t y l k o s k o Dc z e n i e w i e l e z e r ) . Z a t e m i w t y m p r z y p a d k u
2 k
r ó w n o [ ( v ) j e s t m o |l i w a . O z n a c z a t o , |e p r z e k s z t a Bc e n i e Õ j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w e . P o z a t y m
| { 0 , 1 } | | | .
A b y w y k a z a p r a w d z i w o [ n i e r ó w n o [c i p r z e c i w n e j d e f i n i u j e m y p r z e k s z t a Bc e n i e
È : ( 0 , 1 ) ’!{ 0 , 1 } ,
p r z y p o r z d k o w u j c e k a |d e j z l i c z b p r z e d z i a Bu ( 0 , 1 ) j e j r e p r e z e n t a c j b i n a r n . J e s t t o c i g b i -
n a r n y f : ’!{ 0 , 1 } o t e j w Ba s n o [c i , |e j e [l i a " ( 0 , 1 ) j e s t w y b r a n l i c z b , t o
"
f ( n )
a = .
2 n
n = 0
P r z y j m u j e m y p o n a d t o u m o w , |e g d y r o z w i n i c i e o s k o Dc z o n e j i n i e s k o Dc z o n e j l i c z b i e z e r , w y b i e -
r a m y t o z n i c h , k t ó r e m a n i e s k o Dc z o n l i c z b z e r . F u n k c j a È j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a , a w i c
| ( 0 , 1 ) | | { 0 , 1 } N | .
P o n i e w a | w i e m y , |e ( 0 , 1 ) <" , t o n a m o c y t w i e r d z e n i a C a n t o r a - B e r n s t e i n a z a c h o d z i t e z a
t w i e r d z e n i a .
9 . 4 . D z i a Ba n i a n a l i c z b a c h k a r d y n a l n y c h
D l a r o z Bc z n y c h z b i o r ó w A i B p r z e z m o c s u m y z b i o r ó w A i B r o z u m i e m y s u m m o c y :
| A | + | B | . N a m o c y l e m a t u o r ó w n o l i c z n o [c i s u m z b i o r ó w r o z Bc z n y c h m a m y z a g w a r a n t o w a n
p o p r a w n o [ t e j d e f i n i c j i t j . j e j n i e z a l e |n o [ o d w y b o r u r e p r e z e n t a n t ó w .
L e m a t . J e [l i A , A , B i B s t a k i m i z b i o r a m i , |e : A <" A , t o A × B <" A × B .
D o w ó d . N i e c h d a n e b d b i j e k c j e f : A ’! A o r a z g : B ’! B . F u n k c j a h : A × B ’! A × B
o k r e [l o n a r ó w n o [c i
h ( a , b ) = f ( a ) , g ( b )
j e s t b i j e k c j .
9 . T E O R I A M O C Y 4 0
R ó |n o w a r t o [c i o w o [ f u n k c j i h w y n i k a z r ó |n o w a r t o [c i o w o [c i f u n k c j i s k Ba d o w y c h f i g o r a z
w a r u n k u r ó w n o [c i p a r u p o r z d k o w a n y c h .
P r z y p u [m y t e r a z , |e h ( A × B ) A × B . O z n a c z a t o i s t n i e n i e p r z y n a j m n i e j j e d n e j p a r y
a , b " A × B n i e m a j c e j p r z e c i w o b r a z u p o p r z e z f u n k c j h . W k o n s e k w e n c j i n i e i s t n i e j e
b d z p r z e c i w o b r a z e l e m e n t u a p o p r z e z f u n k c j f c z y l i f - 1 ( a ) , b d z p r z e c i w o b r a z b p o p r z e z
f u n k c j h c z y l i - 1 ( b ) . J e d n a k |a d n a z t y c h m o |l i w o [c i z a j [ n i e m o |e z u w a g i n a d e f i n i c y j n e
g
w Ba s n o [c i f u n k c j i f i g . S p r z e c z n o [ t a o z n a c z a , |e t e z a l e m a t u z a c h o d z i .
I l o c z y n m o c y z b i o r ó w A i B ( b e z z a k Ba d a n i a r o z Bc z n o [c i ) t j . | A | | B | d e f i n i u j e m y j a k o m o c
z b i o r u A × B . P o p r a w n o [ t e j d e f i n i c j i w y n i k a z o s t a t n i e g o l e m a t u .
L e m a t . J e [l i A , A , B i B s t a k i m i z b i o r a m i , |e : A <" A , t o A B <" ( A ) B .
D o w ó d . N i e c h d a n e b d b i j e k c j e f : A ’! A o r a z g : B ’! B . D e f i n i u j e m y f u n k c j :
Õ : A B ’! ( A ) B w n a s t p u j c y s p o s ó b : d l a d o w o l n e j f u n k c j i h : A ’! B p r z y j m u j e m y :
Õ( h ) = g h f - 1 .
F u n k c j o d w r o t n d o Õ j e s t È : ( A ) B ’! A B o k r e [l o n a d l a f u n k c j i h : A ’! B r ó w n o [c i :
È( h ) = g - 1 h f .
F u n k c j a t a j e s t b i j e k c j n a m o c y t w i e r d z e n i a o w Ba s n o [c i a c h b i j e k c j i .
B e z p o [r e d n i o z o s t a t n i e g o l e m a t u w y n i k a p o p r a w n o [ n a s t p u j c e j d e f i n i c j i . M o c z b i o r u
f u n k c j i A B d e f i n i u j e m y j a k o p o t g m o c y | A | | B | .
W p r z e s z Bo [c i p o k a z y w a l i [m y , |e z b i ó r w s z y s t k i c h l i c z b c a Bk o w i t y c h j e s t p r z e l i c z a l n y , c o
o z n a c z a , |e 5!0 5!0 = 5!0 . M o |n a w y k a z a , |e j e [l i t y l k o n > 0 j e s t s k o Dc z o n e , t o 5!n = 5!0 . Z
0
0
d r u g i e j s t r o n y p o k a z a l i [m y r ó w n i e |, |e 2 5! = .
D z i a Ba n i a d o d a w a n i a , m n o |e n i a i p o t g o w a n i a l i c z b k a r d y n a l n y c h z a w |o n e d o z b i o r ó w s k o D-
c z o n y c h p o k r y w a j s i z o p e r a c j a m i a r y t m e t y c z n y m i d o d a w a n i a , m n o |e n i a i p o t g o w a n i a .
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n e j l i c z b y k a r d y n a l n e j | A | z a c h o d z i n i e r ó w n o [: | A | < 2 | A | .
D o w ó d . F u n k c j a Õ : A ’!P ( A ) o k r e [l o n a d l a { a } "A r ó w n o [c i :
Õ( a ) = { a }
j e s t f u n k c j r ó |n o w a r t o [c i o w . S t d | A | < 2 | A | . Z d r u g i e j s t r o n y t w i e r d z e n i e C a n t o r a g Bo s i , |e
n i e i s t n i e j e f u n k c j a z A n a z b i ó r p o t g o w y P ( A ) . S t d | A | < 2 | A | .
| C |
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n y c h z b i o r ó w A , B , C z a c h o d z i r ó w n o [: | A | | B | = | A | | B | | C | .
C
D o w ó d . N a s z y m c e l e m j e s t p o k a z a n i e r ó w n o l i c z n o [c i z b i o r ó w A B o r a z A B × C . W t y m
C
c e l u n i e c h Õ : A B ’! A B × C b d z i e o k r e [l o n a n a s t p u j c o : f : C ’! A B o r a z d l a b " B i
c " C
Õ( f ) ( b , c ) = ( f ( c ) ) ( b ) .
W a r t o z a u w a |y , |e Õ( f ) : B × C ’! A , z a [ f ( c ) : B ’! A .
1 0 . R E L A C J E P O R Z D K U J C E 4 1
N i e c h t e r a z È : A B × C ’! A B C o z n a c z a f u n k c j , k t ó r a k a |d e j f u n k c j i g : B × C ’! A
p r z y p o r z d k o w u j e f u n k c j È( g ) : C ’! A B t a k , |e : d l a d o w o l n e g o c " C f u n k c j a ( È( g ) ) ( c ) :
B | t o A z a c h o d z i r ó w n o [:
( ( È( g ) ) ( c ) ) ( b ) = g ( b , c ) .
W y k a |e m y , |e È j e s t f u n k c j o d w r o t n d o Õ. N i e c h f : C ’! A B b d z i e d o w o l n f u n k c j .
W t e d y d l a d o w o l n y c h b " B o r a z c " C z a c h o d z r ó w n o [c i :
( ( È( Õ) ) ( c ) ) ( b ) = Õ( f ) ( b , c ) = ( f ( c ) ) ( b ) .
P o n i e w a | r ó w n o [c i t e z a c h o d z d l a d o w o l n e g o b " B , t o
( È( Õ( f ) ) ) ( c ) = f ( c ) ,
t o z a [ o z n a c z a w o b e c d o w o l n o [c i c " C , |e ( Õ( È( f ) ) ) = f .
N i e c h t e r a z g : B × C ’! A b d z i e d o w o l n e o r a z n i e c h d o w o l n e b d z i e b " B i c " C . W t e d y
( Õ( È( g ) ) ) ( b , c ) = ( ( È( g ) ) ( c ) ) ( b ) = g ( b , c ) .
P o n i e w a | b " B o r a z c " C s d o w o l n e , t o m a m y ( Õ( È( g ) ) ) = g . J e s t t o r ó w n o z n a c z n e z
f a k t e m b y c i a p r z e z È f u n k c j o d w r o t n d o Õ. O z n a c z a t o w i c , |e Õ j e s t b i j e k c j u s t a l a j c
r ó w n o l i c z n o [.
5!0
5!0 0 5!0
0 0
N a m o c y t e g o t w i e r d z e n i a m a m y r ó w n i e |: = 2 5! = 2 5! 5!0 = 2 5! =
1 0 . R e l a c j e p o r z d k u j c e
J e [l i · †" A × A j e s t z w r o t n a , a n t y s y m e t r y c z n a i p r z e c h o d n i a , t o m ó w i m y , |e · j e s t r e l a c j
p o r z d k u c z [c i o w e g o w A , z a [ p a r A , · n a z y w a m y z b i o r e m c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m .
W p r z y p a d k u , g d y A , · j e s t z b i o r e m c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m , a d o d a t k o w o r e l a c j a ·
j e s t s p ó j n a , t o m ó w i m y , |e · j e s t r e l a c j p o r z d k u l i n i o w e g o , z a [ p a r A , · n a z y w a m y z b i o r e m
u p o r z d k o w a n y m l i n i o w o l u b t e | Ba Dc u c h e m .
P r z y k Ba d y .
A . J e [l i A j e s t d o w o l n y m n i e p u s t y m z b i o r e m t o p a r a P ( A ) , †" j e s t z b i o r e m c z [c i o w o u p o r z d -
k o w a n y m .
B . J e [l i o z n a c z a z b i ó r l i c z b n a t u r a l n y c h , z a [ | †" × o z n a c z a r e l a c j p o d z i e l n o [c i w t y m
z b i o r z e o k r e [l o n w a r u n k i e m :
d e f
m , n "| Ð!Ò! i s t n i e j e k " , |e k · m = n ,
t o , | j e s t z b i o r e m c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m .
C . R e l a c j a †" × r o z u m i a n a j a k o r e l a c j a n i e w i k s z o [c i w j e s t r e l a c j p o r z d k u c z [c i o w e -
g o , a w i c , j e s t u p o r z d k o w a n y c z [c i o w o . R e l a c j a t a j e s t p o n a d t o s p ó j n a , z a t e m ,
j e s t l i n i o w o u p o r z d k o w a n y .
1 0 . R E L A C J E P O R Z D K U J C E 4 2
W p r o s t z d e f i n i c j i r e l a c j i z a w i e r a n i a o t r z y m u j e m y n a s t p u j c y w y n i k .
W n i o s e k . K a |d a r o d z i n a z b i o r ó w w r a z z r e l a c j z a w i e r a n i a j e s t z b i o r e m c z [c i o w o u p o r z d -
k o w a n y m .
D . N i e c h d a n y b d z i e n i e p u s t y z b i ó r A t r a k t o w a n y j a k a l f a b e t o r a z n i e c h j a k p o p r z e d n i o A "
o z n a c z a z b i ó r w s z y s t k i c h s Bó w s k o Dc z o n y c h n a d A . W z b i o r z e A " d e f i n i u j e m y r e l a c j p o r z d k u
p r e f i k s o w e g o . M ó w i m y , |e s Bo w o w " A " j e s t p r e f i k s e m s Bo w a u " A " i p i s z e m y w , u " w t e d y i
t y l k o w t e d y , g d y i s t n i e j e s Bo w o w " A ", |e u = w w . P a r a A ", j e s t z b i o r e m u p o r z d k o w a n y m
d e f
c z [c i o w o ( f o r m a l n i e m o |e m y n a p i s a t a k : w , u " Ð!Ò! i s t n i e j e w " A ", |e u = w w ) . D o w ó d
t e j o b s e r w a c j i p o z o s t a w i a m y j a k o n i e t r u d n e w i c z e n i e .
E . P o d o b n i e j a k w p r z y k Ba d z i e D . s y m b o l A o z n a c z a a l f a b e t , z a [ A " z b i ó r w s z y s t k i c h s Bó w
s k o Dc z o n y c h n a d A . Z a k Ba d a m y , |e A j e s t c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y p r z e z r e l a c j . W o p a r c i u o
l x
r e l a c j p o r z d k u c z [c i o w e g o o k r e [l a m y n o w r e l a c j ’! d z i a Ba j c w A ". R e l a c j t b d z i e m y
n a z y w a p o r z d k i e m l e k s y k o g r a f i c z n y m n a d A , i d e f i n i u j e m y j n a s t p u j c o : d l a d o w o l n y c h
l x
s Bó w u " A " o r a z w " A " m a m y : w , u " ’! w t t , g d y w , u " l u b g d y i s t n i e j e i <
m i n ( | w | , | u | ) t a k i e , |e w ( i ) < u ( i ) o r a z d l a k a |d e g o j < i , z a c h o d z i w ( j ) = u ( j ) .
W n i o s e k . P o r z d e k l e k s y k o g r a f i c z n y n a d A , j e s t p o r z d k i e m c z [c i o w y m . G d y n a t o -
m i a s t A , j e s t z b i o r e m l i n i o w o u p o r z d k o w a n y m , t o t a k |e p o r z d e k l e k s y k o g r a f i c z n y j e s t p o -
r z d k i e m l i n i o w y m .
l x
D o w ó d . R e l a c j a ’! j e s t z w r o t n a z d e f i n i c j i p o r z d k u . Z a j m i j m y s i t e r a z d o w o d e m
l x l x
a n t y s y m e t r i i . N i e c h w , u " ’! o r a z u , w " ’!. J e [l i w , u " o r a z u , w " , t o u = w .
G d y z a [ i s t n i e j e i < m i n ( | w | , | u | ) , |e w ( i ) < u ( i ) o r a z d l a k a |d e g o j < i j e s t w ( j ) = u ( j ) , t o
u n i e m o |e b y p r e f i k s e m w , a t o o z n a c z a , |e i s t n i e j e k < m i n ( | w | , | u | ) , |e u ( k ) < w ( k ) o r a z
d l a k a |d e g o w ( j ) = u ( j ) . S t d n i e j e s t m o |l i w e a n i t o , |e i k , a n i t e |, |e k i . S p r z e c z n o [
t a p o k a z u j e , |e j e d y n y m m o |l i w y m p r z y p a d k i e m j e s t t a k i , |e w j e s t p r e f i k s e m u i n a o d w r ó t .
l x
O z n a c z a t o u = w , c z y l i r e l a c j a ’! j e s t a n t y s y m e t r y c z n a .
l x l x l x
P o k a |e m y , |e j e [l i w , u " ’! o r a z u , v " ’!, t o w , v " ’!. R o z p a t r z m y p o k o l e i w s z y s t k i e
m o |l i w o [c i :
1 . w j e s t p r e f i k s e m u ( t j . w , u " ) ;
2 . i s t n i e j e i 1 < m i n ( | w | , | u | ) , |e w ( i 1 ) < u ( i 1 ) o r a z d l a k a |d e g o j < i 1 j e s t w ( j ) = u ( j ) ;
3 . u j e s t p r e f i k s e m v ( t j . u , v " ) ;
4 . i s t n i e j e i 2 < m i n ( | w | , | u | ) , |e w ( i 2 ) < u ( i 2 ) o r a z d l a k a |d e g o j < i 2 j e s t w ( j ) = u ( j ) .
l x
J e [l i s p e Bn i o n e s w a r u n k i 1 . o r a z 3 . , t o w , v " , a z a t e m w , v " ’!.
G d y z a c h o d z i 1 . o r a z 4 . , t o j e |e l i | w | i 2 w t e d y w , v " .
W p r z y p a d k u , g d y i 2 < | w | , t o s k o r o w , u " , w i c w ( i 2 ) = u ( i 2 ) v ( i 2 ) o r a z n a
w s z y s t k i c h p o z y c j a c h w c z e [n i e j s z y c h s Bo w a w i u p o k r y w a j s i ( m a j i d e n t y c z n e l i t e r y ) . W y n i k a
l x
s t d , |e w , v " ’!.
J e |e l i z a c h o d z w a r u n k i 2 . o a z 3 . , t o i 1 < | v | i p o s t p u j c a n a l o g i c z n i e j a k w p o p r z e d n i m
l x
p r z y p a d k u d o s t a j e m y , |e w , v " ’!.
1 1 . K R E S Y Z B I O R Ó W . K R A T Y . 4 3
T e r a z r o z p a t r z m y o s t a t n i m o |l i w o [, a m i a n o w i c i e , |e z a c h o d z 2 . o r a z 4 . . G d y i 1 i 2 , t o
w ( i 1 ) u ( i 1 ) v ( i 1 ) , w ( i 1 ) = u ( i 1 ) t o z a [ i m p l i k u j e , |e w ( i 1 ) = v ( i 1 ) . D o d a t k o w o d l a j < i 1
l x
j e s t w ( j ) = u ( j ) = v ( j ) . F a k t y t e Bc z n i e d a j w a r u n e k : w , v " ’!. W p r z y p a d k u , g d y i 2 < i 1 ,
t o p o s t p u j c p o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o p o k a z u j e m y , |e i 2 j e s t n u m e r e m p i e r w s z e g o m i e j s c a , n a
l x
k t ó r y m r ó |n i s i s Bo w a w o r a z v i w ( i 2 ) v ( i 2 ) . T o o z n a c z a , |e w , v " ’!.
l x
P o n i e w a | w k a |d y m z r o z p a t r y w a n y c h p r z y p a d k ó w w y s t p i Ba p r z e c h o d n i o [ r e l a c j i ’!, t o
d o w ó d p r z e c h o d n i o [c i j e s t z a k o Dc z o n y .
J e [l i p o r z d e k w A j e s t l i n i o w y , t o d l a d o w o l n y c h s Bó w w , u z k t ó r y c h |a d n e n i e j e s t p r e -
f i k s e m d r u g i e g o , j e [l i i < m i n ( | w | , | u | ) j e s t n a j m n i e j s z t a k l i c z b , d l a k t ó r e j w ( i ) = u ( i ) , t o
l x l x
w , u " ’!, j e [l i t y l k o w ( i ) u ( i ) ; o r a z u , w " ’! w p r z y p a d k u p r z e c i w n y m . W y n i k a s t d , |e
l x
’! j e s t p o r z d k i e m l i n i o w y m .
R o z p a t r z m y t e r a z z b i ó r c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y { 0 , 1 } , , p r z y c z y m u p o r z d k o w a n i e
j e s t t a k i e , |e 0 1 . P r z y k Ba d e m Ba Dc u c h a w s t p u j c e g o j e s t c i g :
l x l x l x l x l x l x
µ ’! 0 ’! 0 0 ’! . . . ’! 0 k ’! 0 k + 1 ’! . . .
p o d c z a s , g d y p r z y k Ba d e m Ba Dc u c h a z s t p u j c e g o j e s t c i g :
l x l x l x l x
. . . ’! 0 k + 1 1 ’! 0 k 1 ’! . . . ’! 1 .
l x
Z a u w a |a m y r ó w n i e | z a l e |n o [ 0 k ’! 0 n 1 d l a d o w o l n y c h l i c z b k " o r a z n " . D l a p o r z d k u
p r z y p o m n i j m y , |e µ j e s t s y m b o l e m s Bo w a p u s t e g o .
1 1 . K r e s y z b i o r ó w . K r a t y .
R o z p a t r z m y z b i o r y c z [c i o w o u p o r z d k o w a n e A , A i B , B o r a z f u n k c j f : A ’! B .
M ó w i m y , |e f j e s t m o n o t o n i c z n a w t t , g d y d l a k a |d e g o x 1 " A o r a z x 2 " A z a c h o d z i w a r u n e k :
j e [l i x 1 A x 2 t o f ( x 1 ) B f ( x 2 ) .
F u n k c j f n a z y w a m y i z o m o r f i z m e m w t t , g d y f o r a z f - 1 s m o n o t o n i c z n y m i b i j e k c j a m i . J e [l i
A , A i B , B s i z o m o r f i c z n e , t o p i s z e m y A , A B , B .
W k a |d y m z b i o r z e c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m A , A r e l a c j a p o r z d k u c z [c i o w e g o A
g e n e r u j e n o w r e l a c j < A †" A × A z w a n r e l a c j p o p r z e d z a n i a o k r e [l o n w a r u n k i e m :
a 1 < A a 2 w t t , g d y a 1 , a 2 " A o r a z a 1 = a 2 ( t j . a 1 A a 2 i a 1 = a 2 ) .
A
W z b i o r z e c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m A , A e l e m e n t ¥" " A n a z y w a m y e l e m e n t e m
n a j m n i e j s z y m w A , A w t t , g d y d l a w s z y s t k i c h a " A z a c h o d z i w a r u n e k :
A A
¥" , a " A ( ¥" A a ) .
M ó w i m y n a t o m i a s t , |e a æ% " A j e s t e l e m e n t e m m i n i m a l n y m w t y m z b i o r z e w t t , g d y n i e
i s t n i e j e a " A , |e a a æ%.
1 1 . K R E S Y Z B I O R Ó W . K R A T Y . 4 4
A
E l e m e n t n a z y w a m y e l e m e n t e m n a j w i k s z y m w A , A w t t , g d y s p e Bn i o n y j e s t w a r u n e k :
A A
a , " A ( a A ) .
E l e m e n t a æ% n a z y w a m y e l e m e n t e m m a k s y m a l n y m w z b i o r z e A , A , g d y n i e p o p r z e d z a o n
|a d n e g o e l e m e n t u w z b i o r z e A t z n . j e [l i n i e i s t n i e j e a " A , |e a æ% " A a . O d w o Ba j m y s i t e r a z
d o p r z y p a d k ó w z b i o r ó w u p o r z d k o w a n y c h o m ó w i o n y c h p o p r z e d n i o .
W z b i o r z e c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m P ( X ) , p r z e z r e l a c j i n k l u z j i , e l e m e n t e m m a k s y -
m a l n y m j e s t z b i ó r X i j e s t t o j e d y n y e l e m e n t m a k s y m a l n y . N a t o m i a s t w d r u g i m z o m a w i a n y c h
p r z y p a d k ó w t j . w z b i o r z e , | n i e m a e l e m e n t u m a k s y m a l n e g o p o n i e w a | n | 2 n i n = 2 n d l a
w s z y s t k i c h l i c z b n a t u r a l n y c h .
K a |d y z b i ó r c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y A , A o k r e [l a p o p r z e z r e l a c j o d w r o t n d o A n o -
w y z b i ó r c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y A , - 1 . O z b i o r z e A , - 1 m ó w i m y , |e o k r e [l a w s t o s u n k u
A A
d o A , A p o r z d e k d u a l n y . D u a l n o [ t w i d a m i d z y e l e m e n t a m i w y r ó |n i o n y m i o b u p o r z d -
A
k ó w i t a k n a p r z y k Ba d j e [l i ¥" j e s t e l e m e n t e m n a j m n i e j s z y m w A , A , t o j e s t r ó w n o c z e [n i e
e l e m e n t e m n a j w i k s z y m w A , - 1 . P o d o b n i e z e l e m e n t e m n a j w i k s z y m w A , A .
A
T w i e r d z e n i e . W z b i o r z e c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m A , A i s t n i e j e c o n a j w y |e j j e d e n
e l e m e n t n a j w i k s z y ( n a j m n i e j s z y ) . E l e m e n t n a j w i k s z y ( n a j m n i e j s z y ) j e s t m a k s y m a l n y ( m i n i -
m a l n y ) w t y m z b i o r z e .
A A
D o w ó d . P r z y p u [m y , |e o r a z s e l e m e n t a m i n a j w i k s z y m i w A , A . W t e d y
1 2
A A A A
r ó w n o c z e [n i e z a c h o d z w a r u n k i o r a z , t o j e d n a k n a m o c y a n t y s y m e t r i i
1 2 2 1
A A
r e l a c j i p o r z d k u c z [c i o w e g o A o z n a c z a , |e = .
1 2
A
Z a Bó |m y t e r a z , |e " A j e s t e l e m e n t e m n a j w i k s z y m . W p r o s t z d e f i n i c j i e l e m e n t u m a k s y -
A
m a l n e g o m a m y , |e g d y b y a æ% " A b y B t a k i m e l e m e n t e m , t o b y Bo b y a æ%, a l e z k o l e i d e f i n i c j a
A
e l e m e n t u n a j w i k s z e g o g w a r a n t u j e , |e d l a w s z y s t k i c h a " A , w t y m d l a a æ% j e s t a A . D a l e j
A
j u | z a n t y s y m e t r i i r e l a c j i p o r z d k u c z [c i o w e g o d o s t a j e m y = a æ%.
P r z y k Ba d . N i e c h A b d z i e r o d z i n z b i o r ó w u p o r z d k o w a n p r z e z r e l a c j p o r z d k u c z [c i -
o w e g o ‚". R o d z i n a A s k Ba d a s i p r z y t y m z n a s t p u j c y c h z b i o r ó w :
{ a , d } , { a , e } , { a , b , c } , { a , c , d } , { a , b , c , d } , { a , b , c , e } .
W z b i o r z e A , ‚" e l e m e n t a m i m i n i m a l n y m i s z b i o r y { a , d } , { a , e } i { a , b , c } , n a t o m i a s t e l e m e n -
t a m i m a k s y m a l n y m i z b i o r y { a , b , c , d } i { a , b , c , e } . W i d a s t d , |e z b i ó r c z [c i o w o u p o r z d k o -
w a n y m o |e m i e w i c e j n i | j e d e n e l e m e n t m i n i m a l n y i w i c e j n i | j e d e n e l e m e n t m a k s y m a l n y .
J e d n o c z e [n i e n a l e |y z a u w a |y , |e w A , ‚" n i e m a a n i e l e m e n t u n a j m n i e j s z e g o , a n i e l e m e n t u
n a j w i k s z e g o .
N i e c h A , A ) b d z i e z b i o r e m c z [i o w o u p o r z d k o w a n y m o r a z n i e c h X †" A ( ! ) . W t e d y :
e l e m e n t ³ " A n a z y w a m y o g r a n i c z e n i e m g ó r n y m z b i o r u X , j e |e l i d l a w s z y s t k i c h a " X z a c h o d z i
w a r u n e k :
a A ³,
n a t o m i a s t e l e m e n t ´ " A ( ! ) n a z y w a m y o g r a n i c z e n i e m d o l n y m z b i o r u X , j e |e l i d l a k a |d e g o
a " A j e s t :
´ A a .
1 1 . K R E S Y Z B I O R Ó W . K R A T Y . 4 5
Z w r ó m y u w a g , |e d e f i n i c j e o g r a n i c z e D d o l n e g o i g ó r n e g o n i e m ó w i , |e j e [l i e l e m e n t j e s t
o g r a n i c z e n i e m d o l n y m c z y t e | g ó r n y m , t o j e s t o n c o n a j w y |e j j e d e n c z y t y l k o j e d e n . F a k t t e n ,
j a k s i n i e b a w e m o k a |e , m a b a r d z o p o w a |n e k o n s e k w e n c j e .
P r z y k Ba d . N i e c h , | b d z i e z b i o r e m c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m p r z e z r e l a c j p o d z i e l -
n o [c i . P o n a d t o , n i e c h A = { 1 2 , 1 8 , 3 0 } . O g r a n i c z e n i a m i d o l n y m i z b i o r u A s l i c z b y 1 , 2 , 3 , 6
p o n i e w a | k a |d a z n i c h j e s t d z i e l n i k i e m l i c z b 1 2 , 1 8 , 3 0 , z a [ o g r a n i c z e n i a m i g ó r n y m i t e g o z b i o r u
s 1 8 0 , 3 6 0 , 5 4 0 , . . . , n · 1 8 0 , . . . , g d y | k a |d a z l i c z b z b i o r u A d z i e l i t e l i c z b y .
Z b i ó r “X w s z y s t k i c h o g r a n i c z e D g ó r n y c h z b i o r u X j e s t o c z y w i [c i e p o d z b i o r e m z b i o r u c z [-
c i o w o u p o r z d k o w a n e g o ( A , A ) . J e [l i “X m a e l e m e n t n a j m n i e j s z y , t o n a z y w a m y g o k r e s e m
g ó r n y m z b i o r u X i o z n a c z a m y s y m b o l e m X ( l u b t e | s u p X i c z y t a m y : s u p r e m u m X ) . P o -
d o b n i e , j e [l i z b i ó r ”X w s z y s t k i c h o g r a n i c z e D d o l n y c h z b i o r u X m a e l e m e n t n a j w i k s z y , t o
n a z y w a m y g o k r e s e m d o l n y m t e g o z b i o r u i o z n a c z a m y p r z e z X ( l u b t e | i n f X ( i c z y t a m y :
i n f i m u m X ) .
P r z y k Ba d . J e s z c z e r a z r o z w a |m y z b i ó r c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y , | z o s t a t n i e g o p r z y -
k Ba d u o r a z z b i ó r X z d e f i n i o w a n y j a k p o p r z e d n i o . W z b i o r z e o g r a n i c z e D g ó r n y c h t e g o z b i o r u
1 8 0 , 3 6 0 , 5 4 0 , . . . , n · 1 8 0 , . . . e l e m e n t e m n a j m n i e j s z y m j e s t l i c z b a 1 8 0 b o w i e m w s z y s t k i e p o z o -
s t a Be s j e j w i e l o k r o t n o [c i a m i . M a t o m i a s t e l e m e n t e m n a j w i k s z y m w z b i o r z e o g r a n i c z e D d o l n y c h
j e s t l i c z b a 6 , g d y | k a |d a z l i c z b 1 , 2 , 3 , 6 d z i e l i l i c z b 6 . M a m y z a t e m : X = 6 o r a z X = 1 8 0 .
Z w y k l e e l e m e n t a m i w y r ó |n i o n y m i w z b i o r z e c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m A , A n a z y w a m y
e l e m e n t y m a k s y m a l n e i m i n i m a l n e o r a z e l e m e n t y n a j m n i e j s z y i n a j w i k s z y . J e |e l i n a t o m i a s t
X †" A d o j e g o e l e m e n t ó w w y r ó |n i o n y c h d o Bc z a m y t a k |e k r e s y d o l n y i g ó r n y . W i d a z t e g o ,
|e k r e s y z b i o r u w y s t p u j z a w s z e w k o n t e [c i e p r z e s t r z e n i z r e l a c j p o r z d k u .
M o |e s i z d a r z y , |e w t y m s a m y m z b i o r z e o k r e [l o n y c h j e s t k i l k a r e l a c j i p o r z d k u c z [c i o -
w e g o . W t e d y k o n i e c z n e j e s t , a n i e t y l k o w s k a z a n e , o p a t r y w a n i e e l e m e n t ó w w y r ó |n i o n y c h i n -
d e k s a m i r e l a c j i w z g l d e m k t ó r e j s o n e w y r ó |n i o n e . G d y z a [ w z b i o r z e w y s t p u j e j e d n a t y l k o
r e l a c j a p o r z d k u c z [c i o w e g o , t o m o |e m y w s k a |n i k t a k i z a n i e d b a .
P o r z d e k c z [c i o w y A , A n a z y w a m y k r a t w t t , g d y d l a k a |d e j p a r y e l e m e n t ó w i s t n i e j
k r e s y d o l n y i g ó r n y . N a t o m i a s t k r a t z u p e Bn n a z y w a m y t a k i z b i ó r c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y ,
w k t ó r y m k a |d y p o d z b i ó r X †" A m a k r e s y d o l n y i g ó r n y .
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n e g o p o r z d k u c z [c i o w e g o A , A n a s t p u j c e w a r u n k i s r ó w -
n o w a |n e :
1 . A , A j e s t k r a t z u p e Bn ;
2 . k a |d y p o d z b i ó r z b i o r u X †" A m a k r e s g ó r n y w A , A ;
3 . k a |d y p o d z b ó r X †" A m a k r e s d o l n y w A , A .
D o w ó d . B e z p o [r e d n i o z d e f i n i c j i m a m y u k Ba d i m p l i k a c j i 1 . = Ò! 2 . o r a z 1 . = Ò! 3 .
Z a j m i e m y s i t e r a z i m p l i k a c j 2 . = Ò! 1 . W t y m c e l u z a Bó |m y , |e k a |d y p o d z b i ó r X z b i o r u
A , A m a k r e s g ó r n y . P o n a d t o n i e c h ”X o z n a c z a z b i ó r w s z y s t k i c h o g r a n i c z e D d o l n y c h z b i o r u
X w A , A . U m ó w m y s i , |e a æ% = ”X . P o n a d t o n i e c h x " X . Z d e f i n i c j i , d l a d o w o l n e g o
1 1 . K R E S Y Z B I O R Ó W . K R A T Y . 4 6
´ " ”X j e s t ´ A x . Z a t e m x j e s t o g r a n i c z e n i e m g ó r n y m z b i o r u ”X . W y n i k a s t d , |e a æ% A x .
O z n a c z a t o , |e a æ% j e s t o g r a n i c z e n i e m d o l n y m z b i o r u X , b o x " X z o s t a B w y b r a n y d o w o l n i e . Z
d r u g i e j s t r o n y j e [l i ´ j e s t o g r a n i c z e n i e m d o l n y m z b i o r u X , t o ´ " ”X . Z a t e m ´ A a æ%. S t d a 0
j e s t n a j w i k s z y m o g r a n i c z e n i e m d o l n y m z b i o r u X , c z y l i a æ% X .
P o d o b n i e d o w o d z i m y , |e 3 . = Ò! 1 .
P r z y k Ba d y .
1 . R o z p a t r z m y d o w o l n y n i e p u s t y z b i ó r A . W t e d y o c z y w i [c i e p a r a P ( A ) , †" j e s t p o r z d k i e m
c z [c i o w y m . J e [l i A j e s t d o w o l n r o d z i n z b i o r ó w n a l e |c y c h d o P ( A ) , t o k r e s e m g ó r n y m
t e j r o d z i n y j e s t z b i ó r s t a n o w i c y s u m j e j e l e m e n t ó w t j . A = A . K r e s e m d o l n y m
r o d z i n y A j e s t z a [ z b i ó r A = A p r z y z a Bo |e n i u , |e A = ", z a [ ", g d y A = ". W y n i k a
s t d , |e P ( A ) , †" j e s t k r a t z u p e Bn .
2 . R o z p a t r z m y r e l a c j p o d z i e l n o [c i | w z b i o r z e . W t y m p r z y p a d k u n i e m o |e m y d l a d o w o l -
n e g o p o d z b i o r u m ó w i o i s t n i e n i u j e g o k r e s u g ó r n e g o , b o j a k w y k a z a l i [m y w p r z e s z Bo [c i
z b i ó r j e s t n i e o g r a n i c z o n y . N a t o m i a s t k a |d y n i e p u s t y p o d z b i ó r t e g o z b i o r u m a e l e m e n t
n a j m n i e j s z y .
3 . R o z p a t r z m y a l f a b e t b i n a r n y { 0 , 1 } o r a z p o r z d e k p r e f i k s o w y . P a r a { 0 , 1 } ", , g d z i e
j e s t s y m b o l e m p o r z d k u p r e f i k s o w e g o , j e s t z b i o r e m c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m . W t a k i m
p r z y p a d k u z b i ó r { 0 , 1 } n i e m a k r e s u g ó r n e g o , a l e m a k r e s d o l n y j e s t n i m s Bo w o p u s t e t j .
{ 0 , 1 } = µ. Z a t e m { µ} j e s t j e d y n y m p r e f i k s e m s Bó w 0 o r a z 1 .
N a z a k o Dc z e n i e t e j c z [c i z a j m i e m y s i j e s z c z e k r ó t k o p o r z d k i e m l i n i o w y m . P r z y p o m n i j m y ,
|e j e s t t o w z b o g a c o n y o w a r u n e k s p ó j n o [c i p o r z d e k c z [c i o w y . M a m y n a s t p u j c e f a k t y .
T w i e r d z e n i e . J e [l i A , A j e s t z b i o r e m l i n i o w o u p o r z d k o w a n y m o r a z X ‚" A , t o t a k |e
z b i ó r X , A | X j e s t l i n i o w o u p o r z d k o w a n y .
D o w ó d . S k o r o d l a w s z y s t k i c h p a r e l e m e n t ó w z b i o r u A z a c h o d z i By d e f i n i c y j n e w a r u n k i r e l a c j i
p o r z d k u l i n i o w e g o , t o z a c h o d z o n e z d e f i n i c j i d l a p a r e l e m e n t ó w d o w o l n e g o p o d z b i o r u z b i o r u
A
T w i e r d z e n i e . D l a k a |d e g o e l e m e n t u a 0 z b i o r u l i n i o w o u p o r z d k o w a n e g o A , A n a s t p u -
j c e w a r u n k i s r ó w n o w a |n e :
1 . a 0 j e s t e l e m e n t e m n a j w i k s z y m ,
2 . a 0 j e s t e l e m e n t e m m a k s y m a l n y m ,
D o w ó d . W z b i o r z e u p o r z d k o w a n y m l i n i o w o a 0 j e s t e l e m e n t e m n a j w i k s z y m w t e d y i t y l k o
w t e d y , g d y d l a k a |d e g o e l e m e n t u a " A j e s t a A a 0 . Z a t e m n i e i s t n i e j e t a k i e a " A , |e a 0 A a
c o o z n a c z a , |e a 0 j e s t e l e m e n t e m m a k s y m a l n y m .
T e r a z z a Bó |m y , |e a 0 j e s t e l e m e n t e m m a k s y m a l n y m i n i e j e s t e l e m e n t e m n a j w i k s z y m . O z n a -
c z a Bo b y t o , |e a 0 < A a 0 , b o k a |d y e l e m e n t a " A , w t y m a 0 j e s t j e g o p o p r z e d n i k i e m . T a
s p r z e c z n o [ p o t w i e r d z a t e z .
1 2 . T W I E R D Z E N I A O P U N K C I E S T A AY M 4 7
A n a l o g i c z n i e j a k p o p r z e d n i o m o |e m y u z a s a d n i p r a w d z i w o [ n a s t p u j c e g o t w i e r d z e n i a .
T w i e r d z e n i e . D l a k a |d e g o e l e m e n t u a 0 z b i o r u l i n i o w o u p o r z d k o w a n e g o a , A n a s t p u -
j c e w a r u n k i s r ó w n o w a |n e :
1 . a 0 j e s t e l e m e n t e m n a j m n i e j s z y m ,
2 . a 0 j e s t e l e m e n t e m m i n i m a l n y m ,
N a z a k o Dc z e n i e b e z d o w o d u p r z e d s t a w i m y b a r d z o i s t o t n e , z p r a k t y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a ,
t w i e r d z e n i e .
T w i e r d z e n i e . J e [l i A , A j e s t z b i o r e m l i n i o w o u p o r z d k o w a n y m o r a z X j e s t n i e p u s t y m
z b i o r e m s k o Dc z o n y m , t o i s t n i e j w X e l e m e n t y n a j m n i e j s z y i n a j w i k s z y .
1 2 . T w i e r d z e n i a o p u n k c i e s t a By m
T w i e r d z e D t a k i c h j e s t k i l k a , m y p r z e d s t a w i m y t e , k t ó r e b d i s t o t n e z p u n k t u w i d z e n i a
c z e k a j c y c h n a s z a d a D. N a w s t p i e z d e f i n i u j m y j e d n a k p o j c i e , k t ó r e m u s o n e p o [w i c o n e .
J e [l i A j e s t d o w o l n y m n i e p u s t y m z b i o r e m , z a [ f : A ’! A d o w o l n f u n k c j , t o m ó w i m y , |e f
m a w A p u n k t s t a By w t t , g d y i s t n i e j e a " A , |e f ( a ) = a .
T w i e r d z e n i e . ( K n a s t e r a - T a r s k i e g o ) D l a k r a t y z u p e Bn e j A , A o r a z f u n k c j i m o n o t o n i c z n e j
f : A ’! A f u n k c j a m a n a j m n i e j s z y p u n k t s t a By å " A .
D o w ó d . O z n a c z m y p r z e z à = { a " A | f ( a ) a } o r a z n i e c h å = à . J e |e l i a " à , t o
å A a . P o n a d t o z z a Bo |e n i a m o n o t o n o c z n o [c i f u n k c j i f m a m y : f ( å ) A f ( a ) , z a [ z d e f i n i c j i
z b i o r u à m a m y f ( a ) A a . Ac z n i e m a m y f ( å ) A f ( a ) a d l a e l e m e n t ó w à . W y n i k a s t d ,
|e f ( å ) j e s t o g r a n i c z e n i e m d o l n y m z b i o r u à . A p o n i e w a | z z a Bo |e n i a j e s t k r e s e m d o l n y m , t o
f ( å ) A å . N i e r ó w n o [ t a w p o Bc z e n i u z m o n o t o n i c z n o [c i f u n k c j i f d a j e , |e f ( f ( å ) ) A f ( å ) .
T o z a [ g w a r a n t u j e , |e f ( å ) " à . S t d p o n i e w a | å j e s t o g r a n i c z e n i e m d o l n y m z à t o å A f ( å ) .
W p o Bc z e n i u z f a k t e m , |e f ( å ) A å n a m o c y a n t y s y m e t r i i r e l a c j i A m a m y å = f ( å ) .
D l a w y k a z a n i a , |e å j e s t n a j m n i e j s z y m p u n k e t m s t a By m p r z y p u [m y , |e f ( a ) = a . J e d n a k
a " Ã o r a z å A a . Z a t e m d o w ó d z a k o Dc z o n y .
P r z y k Ba d y . R o z p a t r z m y a l f a b e t A o t e j w Ba s n o [c i , |e { 0 , 1 } †"A . O k r e [l a m y f u n k c j f :
P ( A ") ’!P ( A ") o k r e [l o n r ó w n o [c i :
f ( X ) = { µ} *"{ 0 w | w " X } *"{ 1 w | w " X }
F u n k c j a f j e s t m o n o t o n i c z n a , a z b i ó r { 0 , 1 } " j e s t n a j m n i e j s z y m p u n k t e m s t a By m .
D o w ó d t w i e r d z e n i a B a n a c h a
N i e c h f : A ’! B o r a z g : B ’! A . F u n k c j Õ : P ( A ) ’!P ( A ) o k r e [l a m y r ó w n o [c i :
Õ( X ) = A - - f ( X ) ) .
g ( B
1 2 . T W I E R D Z E N I A O P U N K C I E S T A AY M 4 8
O p e r a c j a d o p e Bn i a n i a z b i o r u d o p r z e s t r z e n i j e s t a n t y m o n o t o n i c z n a , b o o d w r a c a p o r z d e k o k r e [-
l o n y w p r z e s t r z e n i p o p r z e z r e l a c j z a w i e r a n i a . W y n i k a s t d , |e f u n k c j a Õ j e s t m o n o t o n i c z n a .
N i e c h t e r a z A 1 b d z i e p u n k t e m s t a By m f u n k c j i Õ. Z b i ó r t e n o k r e [l a j e d n o z n a c z n i e p o z o s t a Be
z b i o r y :
A 2 = A \ A 1 , B 1 = f ( A 1 ) , B 2 = B \ B 1 .
N a l e |y p o k a z a , |e A 2 = ( B 2 ) . S k o r o
g
= \ B 1 ) = \ f ( A 1 ) ) ,
g ( B 2 ) g ( B g ( B
t o
A \ = A \ \ f ( A 1 ) ) = Õ( A 1 ) = A 1 .
g ( B 2 ) g ( B
D l a t e g o
= A \ A 1 = A 2 ,
g ( B 2 )
a z a t e m A 2 = c o k o Dc z y d o w ó d .
g ( B 2 )
D l a u s t a l o n e g o z b i o r u u p o r z d k o w a n e g o A , A k a |d y j e g o n i e p u s t y p o d z b i ó r X †" A ,
k t ó r e g o k a |d e d w a e l e m e n t y m a j o g r a n i c z e n i e g ó r n e n a z y w a m y z b i o r e m s k i e r o w a n y m . I n n y m i
s Bo w y , j e [l i x 1 " X o r a z x 2 " X , t o i s t n i e j e x 3 " X , |e x 1 A x 3 o r a z x 2 A x 3 . Z a u w a |a m y , |e
z b i ó r s k i e r o w a n y j e s t u o g ó l n i e n i e m Ba Dc u c h a . P r z e z p o r z d e k z u p e Bn y r o z u m i e b d z i e m y k a |d y
t a k i z b i ó r u p o r z d k o w a n y A , A , |e A m a e l e m e n t n a j m n i e j s z y o r a z k a |d y z b i ó r s k i e r o w a n y
m a k r e s g ó r n y .
J e [l i A , A o r a z B , B s p o r z d k a m i z u p e Bn y m i , t o f u n k c j f : A ’! B n a z y w a m y
c i g B w t t , g d y f z a c h o w u j e k r e s y g ó r n e z b i o r ó w s k i e r o w a n y c h . O z n a c z a t o , |e d l a d o w o l n e g o
z b i o r u s k i e r o w a n e g o X z e z b i o r u A , A z b i ó r f ( X ) , m a k r e s g ó r n y w B , B , a p r z y t y m :
f ( X ) = f ( X ) .
W n i o s e k . J e [l i A , A o r a z B , B s p o r z d k a m i z u p e Bn y m i o r a z f : A ’! B j e s t c i g Ba ,
t o f j e s t m o n o t o n i c z n a .
D o w ó d . N i e c h z g o d n i e z z a Bo |e n i e m t w i e r d z e n i a f : A ’! B b d z i e c i g Ba . J e [l i a 1 A a 2 ,
t o { a 1 , a 2 } j e s t s k i e r o w a n y i j e g o k r e s e m g ó r n y m j e s t a 2 . Z a t e m
f ( a 2 ) = f ( { a 1 , a 2 } ) = { f ( a 1 ) , f ( a 2 ) } .
W y n i k a s t d , |e f ( a 1 ) B f ( a 2 ) c o o z n a c z a z g o d n i e z d e f i n i c j m o n o t o n i c z n o [ f u n k c j i f .
W n i o s e k . S u p e r p o z y c j a f u n k c j i c i g By c h j e s t f u n k c j c i g B.
D o w ó d . P o n i e w a | w p r z e k s z t a Bc e n i u c i g By m o b r a z e m z b i o r u s k i e r o w a n e g o j e s t z b i ó r s k i e -
r o w a n y , t o w p o Bc z e n i u z p o r z e d n i m w n i o s k i e m o t r z y m u j e m y m o n o t o n i c z n o [ s u p e r p o z y c j i .
T w i e r d z e n i e . J e [l i A , A j e s t p o r z d k i e m z u p e Bn y m o r a z f : A ’! A j e s t f u n k c j c i g B,
t o f m a n a j m n i e j s z y p u n k t s t a By a 0 o r a z
a 0 = { f n ( ¥") | n " } .
1 3 . L E M A T K U R A T O W S K I E G O - Z O R N A 4 9
D o w ó d . N a w s t p i e z w r ó m y u w a g n a f a k t , |e z b i ó r { f n ( ¥") | n " } j e s t Ba Dc u c h e m ,
c o o z n a c z a , |e j e s t z b i o r e m s k i e r o w a n y m . J e s t t o k o n s e k w e n c j t e g o , |e d l a d o w o l n e g o n "
m a m y :
f n ( ¥") f n + 1 ( ¥") .
D o w ó d t e j z a l e |n o [c i m o |e m y p r z e p r o w a d z i p r z e z I n d u k c j . J e [l i n = 0 , t o o c z y w i [c i e ¥" j e s t
e l e m e n t e m n a j m n i e j s z y m . D r u g i k r o k i n d u k c y j n y j e s t k o n s e k w e n c j z a Bo |o n e j w t w i e r d z e n i u
f u n k c j i f . Z a t e m z d o w o l n o [c i w y b o r u n " m a m y n a m o c y Z a s a d y I n d u k c j i M a t e m a t y c z n e j
p e w n o [, |e f n ( ¥") f n + 1 ( ¥") , a w e f e k c i e o t r z y m u j e m y , |e i s t n i e j e a 0 = { f n ( ¥") | n " } .
P o n a d t o :
f ( a 0 ) = f ( { f n ( ¥") | n " } ) = { f n ( ¥") | n " }
= ( { f n ( ¥") | n " } *"{ ¥"} ) = { f n ( ¥") | n " } = a 0 .
P o w o d e m t e g o j e s t f a k t , |e p o p i e r w s z e f u n k c j a f j e s t z z a Bo |e n i a m o n o t o n i c z n a , a p o d r u -
g i e d o d a n i e e l e m e n t u n a j m n i e j s z e g o ¥" d o d o w o l n i e w y b r a n e g o z b i o r u n i e z m i e n i a j e g o k r e s u
d o l n e g o .
Z a t e m a 0 j e s t p u n k t e m s t a By m . N a l e |y t e r a z w y k a z a , |e j e s t t o n a j m n i e j s z y ( w s e n s i e r e l a c j i
) p u n k t s t a By . P r z y p u [m y , |e a " j e s t d o w o l n y m p u n k t e m s t a By m c z y l i t a k i m , |e f ( a ") = a ".
Z n ó w p o s t p u j c p r z e z i n d u k c j w z g l d e m n m a m y , |e f n ( ¥") a ", d l a w s z y s t k i c h n " . W y -
n i k a s t d , |e a " j e s t o g r a n i c z e n i e m g ó r n y m z b i o r u { f n ( ¥") | n " } . O z n a c z a t o w k o n s e k w e n c j i ,
|e a 0 a ". S t d i s t o t n i e , a 0 j e s t n a j m n i e j s z y m p u n k t e m s t a By m .
1 3 . L e m a t K u r a t o w s k i e g o - Z o r n a
P o z a d o w o d a m i k o n s t r u k c y j n y m i c z y l i t a k i m i , w k t ó r y c h w y k a z u j e m y i s t n i e n i e o b i e k t ó w
o p i s y w a n y c h w t w i e r d z e n i u o s o b n g r u p s t a n o w i d o w o d y t w i e r d z e D, w k t ó r y c h d o w o d z i m y
i s t n i e n i a p o s t u l o w a n e g o o b i e k t u , a l e n i e o k r e [l a m y w y r a zn i e j e g o p o s t a c i . T a k i e d o w o d y n a -
z y w a m y d o w o d a m i n i e k o n s t r u k t y w n y m i . J e d n y m z n a j w a |n i e j s z y c h n a r z d z i d o w o d ó w n i e k o n -
s t r u k t y w n y c h o d g r y w a t w i e r d z e n i e K u r a t o w s k i e g o - Z o r n a z w a n e w b i b l i o g r a f i i m a t e m a t y c z n e j
L e m a t e m K u r a t o w s k i e g o - Z o r n a .
T w i e r d z e n i e . ( L e m a t K r a t o w s k i e g o - Z o r n a ) K a |d y z b i ó r c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y , k t ó r e g o
k a |d y Ba Dc u c h m a o g r a n i c z e n i e g ó r n e z a w i e r a e l e m e n t m a k s y m a l n y .
D o w ó d t w i e r d z e n i a z o s t a n i e p r z e p r o w a d z o n y w p r z y s z Bo [c i .
W n i o s e k . K a |d y p o r z d e k c z [c i o w y m o |n a r o z s z e r z y d o p o r z d k u l i n i o w e g o .
D o w ó d . N i e c h A , A b d z i e d o w o l n y m z b i o r e m c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y m . P o k a |e m y ,
|e i s t n i e j e r e l a c j a p o r z d k u l i n i o w e g o †" A 2 , |e A ‚" .
A A
A
S y m b o l e m P o z n a c z a m y z b i ó r w s z y s t k i c h p o r z d k ó w c z [c i o w y c h l n a A t a k i c h , |e
o r d A
A
A ‚" l . O z n a c z m y p r z e z L Ba Dc u c h w P ( o k r e [l o n y z e w z g l d u n a r e l a c j i n k l u z j i ) . G d y
A o r d
L = ", t o A = ", t o A j e s t o g r a n i c z e n i e m g ó r n y m L . P r z y p u [c m y , |e L = ". D l a d o k o Dc z e n i a
d o w o d u w y k o r z y s t a m y n a s t p u j c y l e m a t .
A
L e m a t . J e [l i A j e s t d o w o l n i e u s t a l o n y m z b i o r e m , t o P j e s t p o r z d k i e m c z [c i o w y m w
o r d
z b i o r z e A .
1 4 . D O B R E U F U N D O W A N I E 5 0
A
Z t e g o l e m a t u d o s t a j e m y , |e L j e s t o g r a n i c z e n i e m g ó r n y m w P Ba Dc u c h a L . L e m a t
o r d
A
K u r a t o w s k i e g o - Z o r n a z a p e w n i a o i s t n i e n i u e l e m e n t u m a k s y m a l n e g o w P , k t ó r y o z n a c z y m y
o r d
p r z e z æ% . P o r z d e k t e n j e s t l i n i o w y . G w a r a n t u j e t o n a s t p u j c y l e m a t .
A
L e m a t . W d o w o l n y m z b i o r z e A e l e m e n t e m m a k s y m a l n y m w z b i o r z e w s z y s t k i c h p o r z d k ó w
A
c z [c i o w y c h P j e s t p o r z d e k c z [c i o w y w t t , g d y p o r z d e k t e n j e s t l i n i o w y .
o r d
1 4 . D o b r e u f u n d o w a n i e
Z b i o r e m d o b r z e u f u n d o w a n y m n a z y w a m y k a |d y z b i ó r c z [c i o w o u p o r z d k o w a n y A , A ,
d l a k t ó r e g o n i e i s t n i e j e w A n i e s k o Dc z o n y c i g z s t p u j c y e l e m e n t ó w t j . , n i e i s t n i e j e f u n k c j a
r ó |n o w a r t o [c i o w a f : ’! A t a k a , |e d l a w s z y s t k i c h n " m a m i e j s c e n i e r ó w n o [: f ( n + 1 ) A
f ( n ) . P r z e z d o b r y p o r z d e k r o z u m i e m y p o r z d e k l i n i o w y d o b r z e u f u n d o w a n y .
T w i e r d z e n i e . P o r z d e k c z [c i o w y A , A j e s t d o b r z e u f u n d o w a n y w t t , g d y k a |d y n i e p u s t y
p o d z b i ó r z b i o r u A z a w i e r a e l e m e n t m i n i m a l n y .
D o w ó d . Z a Bó |m y , |e A , A j e s t z b i o r e m d o b r z e u f u n d o w a n y m o r a z , |e X †" A j e s t n i e -
p u s t y m p o d z b i o r e m n i e m a j c y m e l e m e n t u m i n i m a l n e g o . Z d e f i n i u j e m y c i g f : ’! X w
n a s t p u j c y s p o s ó b : f ( 0 ) " X j e s t d o w o l n y m e l e m e n t e m . Z a Bó |m y , |e f j e s t j u | o k r e [l o n a
d l a l i c z b k n o r a z , |e d l a w s z y s t k i c h k < n j e s t f ( k ) < A f ( k ) . W t e d y f ( n ) p r z y j m u j e -
m y j a k o d o w o l n y e l e m e n t z b i o r u X t a k i , |e f ( n ) < A f ( n ) . I s t n i e n i e t a k i e g o e l e m e n t u f ( n )
j e s t k o n s e k w e n c j f a k t u , |e f ( n ) n i e j e s t e l e m e n t e m m i n i m a l n y m w X . Z a t e m z o s t a B o k r e [l o n y
n i e s k o Dc z o n y z s t p u j c y c i g e l e m e n t ó w z b i o r u A . S p r z e c z n o [ t a p o k a z u j e , |e k a |d y n i e p u s t y
p o d z b i ó r z b i o r u A m a e l e m e n t m i n i m a l n y .
J e [l i t e r a z f : ’! A j e s t n i e s k o Dc z o n y m z s t p u j c y m c i g i e m e l e m e n t ó w z b i o r u A , t o f ( )
j e s t n i e p u s t y m p o d z b i o r e m A n i e m a j c y m e l e m e n t u m i n i m a l n e g o .
J a k o k o n s e k w e n c j t w i e r d z e n i a o t r z y m u j e m y n a s t p u j c y w n i o s e k .
W n i o s e k . Z b i ó r , l i c z b n a t u r a l n y c h z p o r z d k i e m b d c y m r e l a c j n i e w i k s z o [c i j e s t
d o b r y m p o r z d k i e m .
P r z y k Ba d .
( i ) J e [l i A j e s t d o w o l n y m z b i o r e m t r a k t o w a n y m j a k a l f a b e t , t o z b i ó r w s z y t k i c h s Bó w n a d A z
p o r z d k i e m p r e f i k s o w y m j e s t d o b r z e u f u n d o w a n y . M i a n o w i c i e , g d y b y b y Bo , |e w 0 > w 1 > . . .
j e s t z s t p u j c y m c i g i e m s Bó w , t o w y s t a r c z y j a k o f u n k c j f w y s t p u j c w d e f i n i c j i z b i o r u
d o b r z e u f u n d o w a n e g o w z i f u n k c j d Bu g o [c i s Bo w a i w t e d y d o s t a j e m y z s t p u j c y c i g l i c z b
n a t u r a l n y c h | w 0 | > | w 1 | > . . . , c o n a m o c y o s t a t n i e g o w n i o s k u n i e j e s t m o |l i w e . ( i i ) Z b i ó r
l x
{ 0 , 1 } , ’! z p o r z d k i e m l e k s y k o g r a f i c z n y m g e n e r o w a n y m p r z e z p o r z d e k 0 1 n i e j e s t d o b r z e
u f u n d o w a n y , b o c i g
l x l x l x l x
. . . ’! 0 k + 1 1 ’! 0 k 1 ’! . . . ’! 1
t w o r z y n i e s k o Dc z o n y Ba Dc u c h z s t p u j c y .
( i i ) K a |d y s k o Dc z o n y p o r z d e k j e s t d o b r z e u f u n d o w a n y .
( i v ) J e [l i m a m y d o w o l n r o d z i n z b i o r ó w s k o Dc z o n y c h F , t o F , †" j e s t d o b r z e u f u n d o w a n y .
J e s t t o k o n s e k w e n c j f a k t u , |e d l a s k o Dc z o n y c h z b i o r ó w F 1 i F 2 j e [l i F 1 F 2 , t o | F 1 | < | F 2 | . W
1 5 . I N D U K C J A N O E T H E R O W S K A 5 1
t e j s y t u a c j i n i e s k o Dc z o n y z s t p u j c y c i g z b i o r ó w p r o w a d z i Bb y d o n i e s k o Dc z o n e g o z s t p u j c e g o
z b i o r u l i c z b n a t u r a l n y c h .
1 5 . I n d u k c j a n o e t h e r o w s k a
Z a s a d I n d u k c j i M a t e m a t y c z n e j s f o r m u Bo w a n d l a l i c z b n a t u r a l n y c h m o |n a r o z s z e r z y n a
z b i o r y d o b r z e u f u n d o w a n e . Z a s a d t p r e c y j z u j e n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e .
T w i e r d z e n i e . ( Z a s a d a i n d u k c j i n o e t h e r o w s k i e j ) J e [l i A , A j e s t p o r z d k i e m d o b r z e u f u n -
d o w a n y m o r a z j e [l i X †" A s p e Bn i a w a r u n e k : d l a d o w o l n i e w y b r a n e g o a " A z t e g o , |e w s z y s t k i e
e l e m e n t y x s p e Bn i a j c e n i e r ó w n o [ x < A a n a l e | d o X w y n i k a , |e a " X , w ó w c z a s X = A .
D o w ó d . N i e c h A \ X = " o r a z n i e c h a 0 " A \ X b d z i e e l e m e n t e m m i n i m a l n y m . S t d
j e [l i x < A a 0 , m a m y x " X . Z z a Bo |e n i a a 0 " X . S p r z e c z n o [ d o j a k i e j d o s z l i [m y p o k a z u j e , |e
A \ X = ", t j . A = P .
Z a Bó |m y t e r a z , |e A , A j e s t p o r z d k i e m d o b r z e u f u n d o w a n y m . P r z y j m i j m y d l a d o w o l n e g o
a " A n a s t p u j c e o z n a c z e n i e :
O ( a ) = { x " A : x < A a } .
Z b i ó r O ( a ) n a z y w a b d z i e m y o d c i n k i e m p o c z t k o w y m z b i o r u A , A .
Z b i o r y d o b r z e u f u n d o w a n e u m o |l i w i a j d e f i n i o w a n i e f u n k c j i p r z e z i n d u k c j . M ó w i o t y m
n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e . P r z y j m i j m y p r z e d t e m o z n a c z e n i e : s y m b o l P F ( A , B ) o z n a c z a B b d z i e
z b i ó r w s z y s t k i c h f u n k c j i c z [c i o w y c h z A w B .
1 5 . I N D U K C J A N O E T H E R O W S K A 5 2
T w i e r d z e n i e . ( o d e f i n i o w a n i u f u n k c j i p r z e z i n d u k c j n o e t h e r o w s k )
J e [l i A , A j e s t z b i o r e m d o b r z e u f u n d o w a n y m , t o d l a d o w o l n y c h z b i o r ó w B i C o r a z d o w o l n e j
f u n k c j i
h : P F ( A × C , B ) × A × C ’! B
i s t n i e j e d o k Ba d n i e j e d n a f u n k c j a f : A × C ’! B s p e Bn i a j c a d l a d o w o l n y c h x " A o r a z c " C
n a s t p u j c y w a r u n e k :
f ( x , c ) = h ( f )" ( O ( x ) × C × B ) , x , c ) .
D o w ó d . N a w s t p i e p o k a |e m y , |e d l a k a |d e g o x " A i s t n i e j e f u n k c j a f x : ( O ( x ) *"{ x } ) × C ’! B
t a k a , |e d l a d o w o l n y c h y A x i o r a z c " C z a c h o d z i r ó w n o [:
( ") f x ( y , c ) = h ( f x )" ( O ( y ) × C × B ) x , c ) .
W y k o r z y s t a m y w t y m c e l u i n d u k c j n o e t h e r o w s k w z g l d e m x . Z a Bó |m y , |e y < A x o r a z , |e
f y : ( O ( y ) *"{ y } ) × C ’! B j e s t f u n k c j s p e Bn i a j c w a r u n e k ( ") . W t y m c e l u o b i e r z m y d o w o l n e
y 1 < x o r a z y 2 < x . T w i e r d z i m y , |e d l a d o w o l n e g o z " A , d l a k t ó r e g o z A y 1 o r a z z A y 2
o r a z d o w o l n e g o c " C z a c h o d z i r ó w n o [:
f y ( y , c ) = f y ( y , c ) .
1 2
J e s t t o k o n s e k w e n c j z a Bo |e n i a i n d u k c y n e g o o r a z z a l e |n o [c i ( ") .
S t d g = { f y | y < A } j e s t f u n k c j o d z i e d z i n i e O ( x ) × C . M o |e m y z a t e m o k r e [l i f u n k c j
f x p o p r z e z r ó w n o [:
f x ( y , c ) = g *"{ x , h ( g , y , c ) } ,
p r z y c z y m y A x o r a z c " C . F u n k c j a t a s p e Bn i a ( ") , c o k o Dc z y d o w ó d t e j c z [c i .
U d o w o d n i o n a w Ba s n o [ i m p l i k u j e , |e d l a d o w o l n y c h x 1 " A o r a z x 2 " A z a c h o d z i r ó w n o [:
f x ( y , c ) = f x ( y , c )
1 2
p r z y y A x 1 , y A x 2 i c " C .
W k o n s e k w e n c j i f = { f x | x " A } j e s t f u n k c j o d z i e d z i n i e A × C . O t r z y m u j e m y :
f ( x , c ) = f x ( x , x ) = h ( f x )" ( O ( x ) × B × C ) , x , c ) = h ( f )" ( O ( x ) × C × B ) , x , c ) .
T o z a [ o z n a c z a , |e t w i e r d z e n i e j e s t p r a w d z i w e .
S k o m e n t u j m y p o d s t a w o w e f a k t y . O t ó | z b i ó r C , o k t ó r y m m ó w i t w i e r d z e n i e j e s t z b i o r e m
p a r a m e t r ó w . P o z a t y m d e f i n i c j a i n d u k c y j n a , o k t ó r e j m ó w i t w i e r d z e n i e , s p r o w a d z a s i d o o k r e -
[l e n i a f u n k c j i n a a r g u m e n c i e x w z a l e |n o [c i o d z d e f i n i o w a n e j j u | c z [c i f u n k c j i n a a r g u m e n t a c h
m n i e j s z y c h o d x z e w z g l d u n a r e l a c j < A . W p r z y p a d k u , g d y x j e s t e l e m e n t e m m i n i m a l n y m
w z b i o r z e A , t o t e z a t w i e r d z e n i a r e d u k u j e s i d o z a l e |n o [c i :
f ( x , c ) = h ( ", x , c ) .
D l a p e Bn i e j s z e g o z r o z u m i e n i a t w i e r d z e n i a o d w o Ba j m y s i d o p r z y k Ba d u .
P r z y k Ba d . R o z p a t r z m y f u n k c j k o n k a t e n a c j i s Bó w n a d a l f a b e t e m X , t j . f u n k c j f : X " ×
X " ’! X ".
1 6 . D O B R E P O R Z D K I 5 3
P r z y p u [c m y , |e d l a k a |d e g o a " X o k r e [l o n a j e s t f u n k c j a g a : X " ’! X " t a k a , |e d l a
d o w o l n e g o s Bo w a w " X " j e s t g a ( w ) = a w . N i e k i e d y f u n k c j a g a n a z y w a n a j e s t n i e k i e d y a - t y m
n a s t p n i k i e m .
F u n k c j f o k r e [l a u k Ba d r ó w n a D:
f ( µ, w ) = w ,
f ( a u , w ) = g a ( f ( u , w ) ) , g d y a " X .
O d w o Bu j c s i d o t w i e r d z e n i a o d e f i n i o w a n i u p r z e z i n d u k c j n o e t h e r o w s k m o |e m y o s t a t n i
d e f i n i c j z a p i s a w p o s t a c i s f o r m a l i z o w a n e j n a s t p u j c o :
A = B = C = X "
h : [ P F ( X " × X ", X ") × X " × X "] ’! X "
p r z y c z y m
g a ( f ( u , w ) ) , g d y u = a u o r a z u , w "D o m ( f ) ,
h ( f , u , w ) =
w , w p o z o s t a By c h p r z y p a d k a c h .
W z b i o r z e A o k r e [l a m y p o r z d e k w n a s t p u j c y s p o s ó b :
j e [l i u " A o r a z w " A , t o w u w t t , g d y i s t n i e j e w " A , |e u = w w .
P o r z d e k A , j e s t d o b r z e u f u n d o w a n y p o n i e w a | j e s t i z o m o r f i c z n y z p o r z d k i e m p r e f i k -
s o w y m n a z b i o r z e A ( i z o m o r f i z m t a k i u s t a l a f u n k c j a p r z y p o r z d k o w u j c a s Bo w u w j e g o l u s t r z a n e
o d b i c i e w R ) .
Z w r ó m y u w a g , |e w a r u n k i d e f i n i c y j n e f u n k c j i f s r ó w n o w a |n e w a r u n k o w i ( ") o s t a t n i e g o
t w i e r d z e n i a .
1 6 . D o b r e p o r z d k i
W p r z e s z Bo [c i b y Ba j u | m o w a o d o b r y c h p o r z d k a c h , p r z e z k t ó r e r o z u m i e l i [m y p o r z d k i
l i n i o w e d o b r z e u f u n d o w a n e . A n a l i z w Ba s n o [c i t a k i c h p o r z d k ó w r o z p o c z n i j m y o d n a s t p u j c e g o
t w i e r d z e n i a .
T w i e r d z e n i e . J e [l i A , j e s t z b i o r e m l i n i o w y m d o b r z e u p o r z d k o w a n y m , t o d l a d o w o l n y c h
a " A o r a z b " A t a k i c h , |e a = b o d c i n k i O ( a ) o r a z O ( b ) n i e s i z o m o r f i c z n e .
D o w ó d . N i e c h b < a o r a z n i e c h f : O ( a ) ’!O ( b ) b d z i e i z o m o r f i z m e m . Z a Bó |m y , |e a " A
j e s t n a j m n i e j s z y m e l e m e n t e m , d l a k t ó r e g o i s t n i e j e c < a , |e O ( a ) o r a z O ( c ) s i z o m o r f i c z n e .
Z b i ó r O ( b ) j e s t p o d z b i o r e m w Ba [c i w y m z b i o r u O ( a ) , t o z a [ o z n a c z a , |e O ( b ) \ f ( O ( b ) ) = ".
P r z y j m i j m y , |e c j e s t e l e m e n t e m n a j m n i e j s z y m w z b i o r z e O ( b ) \ f ( O ( b ) ) = ". Z a c h o d z i w a r u n e k :
f ( O ( b ) ) †"O ( c ) . Z e s p o s o b u w y b o r u e l e m e n t u c w y n i k a , |e d l a d o w o l n e g o x < A c , p o n i e w a |
x "O ( b ) , t o x " f ( O ( b ) ) . S t d :
f ( O ( b ) ) = O ( c ) ,
c o o z n a c z a , |e o d c i n k i p o c z t k o w e O ( b ) i O ( c ) s i z o m o r f i c z n e . Z z a Bo |e n i a m a m y c < A b < A a ,
c o p o w o d u j e s p r z e c z n o [ z w y b o r e m e l e m e n t u a .
1 6 . D O B R E P O R Z D K I 5 4
W n i o s e k . {a d e n z b i ó r d o b r z e u p o r z d k o w a n y n i e j e s t i z o m o r f i c z n y z e s w o i m o d c i n k i e m
p o c z t k o w y m .
R o z p a t r z m y d w a z b i o r y d o b r z e u p o r z d k o w a n e A , A o r a z B , B . P o n a d t o n i e c h » b -
d z i e e l m e n t e m n i e n a l e |c y m d o z b i o r u B , a j e d n o c z e [n i e n i e c h B = B *"{ »} . W z b i o r z e
B p o r z d e k g e n e r o w a n y j e s t p r z e z p o r z d e k w B , z t y m z a s t r z e |e n i e m , |e » j e s t e l e m e n t e m
n a j w i k s z y m w s e n s i e B w z b i o r z e B . F u n k c j g : A ’! B o k r e [l i m y z w y k o r z y s t a n i e m i n -
d u k c j i n o e t h e r o w s k i e j . M i a n o w i c i e d l a a " A p r z e z g ( a ) r o z u m i e b d z i e m y e l e m e n t n a j w i k s z y
w z b i o r z e B \ { g ( x ) | x < A a } , j e [l i t y l k o z b i ó r t e n j e s t n i e p u s t y . W p r z y p a d k u , g d y j e s t o n
p u s t y , p r z y j m u j e m y , |e g ( a ) = ». T a k o k r e [l o n f u n k c j n a z y w a b d z i e m y p r z e k s z t a Bc e n i e m
k a n o n i c z n y m i n d u k o w a n y m p r z e z A , A o r a z B , B .
P r z e d s t w i o n a k o n s t r u k c j a b d z i e p r z e z n a s w i e l o k r o t n i e w y k o r z y s t y w a n a . W a r t o w i c g r u n -
t o w n i e j p r z e m y [l e .
L e m a t 1 . J e [l i A , A i B , B s z b i o r a m i d o b r z e u p o r z d k o w a n y m i o r a z g : A ’! B
j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m k a n o n i c z n y m i n d u k o w a n y m p r z e z t e z b i o r y , t o :
1 . d l a k a |d e g o a " A , j e [l i g ( a ) = », t o
g ( O ( a ) ) = O ( g ( a ) ) ;
2 . j e [l i a " A j e s t n a j m n i e j s z y m e l e m e n t e m t a k i m , |e g ( a ) = », t o
g ( O ( a ) ) = B .
D o w ó d . W a r u n e k 1 . d o w i e d z i e m y p o s Bu g u j c s i i n d u k c j n o e t h e r o w s k w z g l d e m a . Z w r ó -
m y u w a g , |e p o n i e w a | g ( a ) = », t o n i e j e s t i s t o t n e c z y o d c i n e k p o c z t k o w y w y z n a c z o n y p r z e z
g ( a ) j e s t b r a n y w z g l d e m z b i o r u B c z y t e | z b i o r u B . Z z a Bo |e n i a c o d o f u n k c j i g w y n i k a , |e
g ( a ) "{ g ( x ) | x < A a } .
N i e c h c b d z i e d o w o l n y m e l e m e n t e m o d c i n k a O ( a ) . J e [l i b y b y Bo g ( a ) < B g ( c ) , t o b y Bo b y
g ( a ) "O ( g ( c ) ) =
g ( O ( c ) ) †"{ g ( x ) | x < A a } ,
t o z a [ s t o i w s p r z e c z n o [c i z t y m , |e g ( a ) " { g ( x ) | x < A a } . Z t e g o s a m e g o p o w o d u m a m y
g ( c ) = g ( a ) . S t d
g ( O ( a ) ) †"O ( g ( a ) ) .
J e [l i t e r a z n a o d w r ó t p r z y j m i e m y b < B g ( a ) d l a p e w n e g o b " B , t o p o n i e w a | g ( a ) j e s t n a j -
m n i e j s z y m e l e m e n t e m s p e Bn i a j c y m w a r u n e k g ( a ) " { g ( x ) | x < A a } , w i c i s t n i e j e c < A a , |e
b = g ( c ) . Z a t e m b "
g ( O ( a ) ) , c o d o w o d z i ( i ) .
A b y d o w i e [ 2 . z a u w a |a m y , |e s k o r o g ( ») , t o B †" { g ( x ) | x < A a } =
g ( O ( a ) ) . J e d n a k
z d r u g i e j s t r o n y m a m y n a p o d s t a w i e z a Bo |e D p u n k t u ( i ) m a m y , |e d l a k a |d e g o c < A a j e s t
g ( c ) " B . O s t a t e c z n i e
g ( O ( a ) ) †" B .
W p r o s t z t e g o l e m a t u m a m y w n i o s e k .
T w i e r d z e n i e . D l a z b i o r ó w d o b r z e u p o r z d k o w a n y c h A , A i B , B o r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
k a n o n i c z n e g o g : A ’! B i n d u k o w a n e g o p r z e z t e z b i o r y z a c h o d z w a r u n k i :
1 . g j e s t m o n o t o n i c z n a ;
2 . j e [l i » " t o g j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a ;
g ( A ) ,
1 6 . D O B R E P O R Z D K I 5 5
3 . j e [l i » " o r a z a " A j e s t n a j m n i e j s z y m e l e m e n t e m t a k i m , |e g ( a ) = », t o B , B
g ( A )
j e s t i z o m o r f i c z n y z o d c i n k i e m p o c z t k o w y m O ( a ) .
K o l e j n y f a k t p o k a z u j e , |e p r z e k s z t a Bc e n i e k a n o n i c z n e j e s t n a j m n i e j s z y m s p o [r ó d w s z y s t k i c h
f u n k c j i m o n o t o n i c z n y c h m i d z y d w o m a u s t a l o n y m i d o b r y m i p o r z d k a m i .
L e m a t 2 . D l a z b i o r ó w d o b r z e u p o r z d k o w a n y c h A , A i B , B o r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
k a n o n i c z n e g o g : A ’! B i n d u k o w a n e g o p r z e z t e z b i o r y d l a d o w o l n e j f u n k c j i m o n o t o n i c z n e j i
r ó |n o w a r t o [c i o w e j f : A ’! B o r a z d w o l n e g o a " A z a c h o d z i n i e r ó w n o [:
g ( a ) B f ( a ) .
W s z c z e g ó l n o [c i w y n i k a s t d , |e j e [l i i s t n i e j e m o n o t o n i c z n a i r ó |n o w a r t o [c i o w a f u n k c j a z A , A
w B , B , t o » " o r a z g : A ’! B j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a .
g ( A )
D o w ó d . W p i e r w s z y m e t a p i e d o w i e d z i e m y p r a w d z i w o [c i n i e r ó w n o [c i p r z e z i n d u k c j n o e t -
h e r o w s k w z g l d e m a , p r z y d o d a t k o w y m z a Bo |e n i u , |e g ( a ) = ». O b i e r z m y d o w o l n e t a k i e »,
|e g ( a ) = » o r a z p r z y p u [c m y , |e f ( a ) < B g ( a ) . S k o r o g ( a ) " { g ( x ) | x < A a } , t o w o p a r c i u
o d e f i n i c j f u n k c j i g w n i o s k u j e m y , |e i s t n i e j e x < A , |e f ( a ) = g ( x ) . Z z a Bo |e n i a i n d u k c y j n e -
g o m a m y g ( x ) B f ( x ) . Z a t e m f ( a ) B f ( x ) , a t o p r z e c z y z a Bo |e n i u o m o n o t o n i c z n o [c i i
r ó |n o w a r t o [c i o w o [c i f u n k c j i f . S p r z e c z n o [ t a d o w o d z i , |e f ( a ) B g ( a ) .
Z a Bó |m y t e r a z , |e g ( a ) = » i n i e c h a " A b d z i e n a j m n i e j s z y m e l e m e n t e m o t a j w Ba s n o [c i . Z
l e m a t u 1 . w y n i k a , |e B = { g ( x ) | x < A a } . I s t n i e j e w i c x < A a , |e f ( a ) = g ( x ) . Z w c z e [n i e j s z e j
c z [c i d o w o d u w y n i k a , |e g ( x ) B f ( x ) . T a k w i c f ( a ) B f ( x ) o r a z p o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o
d o s t a j e m y s p r z e c z n o [. M u s i w i c b y , |e g ( a ) = ».
P o z o s t a Ba c z [ o s t a t n i e g o l e m a t u j e s t k o n s e k w e n c j j e g o p i e r w s z e j c z [c i o r a z o s t a t n i e g o
t w i e r d z e n i a .
L e m a t 3 . D l a z b i o r ó w d o b r z e u p o r z d k o w a n y c h A , A i B , B o r a z p r z e k s z t a Bc e D k a -
n o n i c z n y c h g : A ’! B o r a z h : B ’! A i n d u k o w a n y c h p r z e z s t o s o w n e z b i o r y m a m y , |e d l a
k a |d e g o a " A d l a k t ó r e g o g ( a ) = », z a c h o d z i r ó w n o [: h g ( a ) = a .
D o w ó d . L e m a t d o w i e d z i e m y s t o s u j c i n d u k c j i n o e t h e r o w s k w z g l d e m a " A s p e Bn i a j c e -
g o w a r u n e k g ( a ) = ». O b i e r z m y d o w o l n e t a k i e a o r a z r o z p a t r z m y z b i ó r X = { h ( y ) | y < B g ( a ) } .
D o w i e d z i e m y , |e X = O ( a ) . P r z y j m i j m y , |e x = h ( y ) d l a p e w n e g o y < B g ( a ) . Z o k r e [l e n i a
f u n k c j i g m a m y , |e i s t n i e j e z < A a d l a k t ó r e g o y = g ( z ) . D l a t e g o w y k o r z y s t u j c z a Bo |e n i e
i n d u k c y j n e d o s t a j e m y :
h ( y ) = h g ( z ) = z .
D l a t e g o x < A a .
O d w r o t n i e , j e [l i x < A a , t o n a m o c y l e m a t u 1 . m a m y g ( x ) < B g ( a ) o r a z z z a Bo |e n i a
i n d u k c y j n e g o x = h g ( x ) . S t d x " X . T o k o Dc z y d o w ó d r ó w n o [c i X = O ( a ) .
O s t a t e c z n i e A \ X = " i h g ( a ) j e s t e l e m e n t e m n a j m n i e j s z y m w t y m z b i o r z e . E l e m e n t e m t y m
j e s t o c z y w i [c i e a .
1 7 . L I C Z B Y P O R Z D K O W E 5 6
1 7 . L i c z b y p o r z d k o w e
P o d o b n i e j a k l i c z b y k a r d y n a l n e s p e w n y m i o b i e k t a m i p r z y p o r z d k o w a n y m i z b i o r o m r ó w -
n o l i c z n y m w e d Bu g w c z e [n i e j o m ó w i o n e j z a s a d y , t a k l i c z b y p o r z d k o w e s o b i e k t a m i p r z y p o r z d -
k o w a n y m i z b i o r o m d o b r z e u p o r z d k o w a n y m . M i a n o w i c i e l i c z b y t e r e p r e z e n t u j k l a s y d o b r y c h
p o r z d k ó w i z o m o r f i c z n y c h .
Z a u w a |m y , |e i z o m o r f i z m z b i o r ó w d o b r z e u p o r z d k o w a n y c h j e s t z j a w i s k i e m z w r o t n y m , s y -
m e t r y c z n y m i p r z e c h o d n i m j e d n a k n i e m o |e m y p o w i e d z i e , |e j e s t t o r e l a c j a r ó w n o w a |n o [c i .
P o d o b n i e j a k t o m i a Bo m i e j s c e w p r z y p a d k u l i c z b k a r d y n a l n y c h r ó w n i e | w p r z y p a d k u l i c z b
p o r z d k o w y c h p o p r a w n i e j e s t m ó w i o k l a s i e z b i o r ó w , k t ó r e k o n k r e t n a l i c z b a p o r z d k o w a r e -
p r e z e n t u j e n i | o p e w n e j c e s z e k l a s y a b s t r a k c j i r e l a c j i r ó w n o w a |n o [c i o k r e [l o n e j p r z e z i z o m o r -
f i z m z b i o r ó w . J a k Ba t w o z g a d n , p o w o d e m j e s t d o w i e d z i o n y w c z e [n i e j f a k t n i e i s t n i e n i a z b i o r u
w s z y s t k i c h z b i o r ó w .
D o j e d n e j k l a s y z b i o r ó w d o b r z e u p o r z d k o w a n y c h n a l e | z a t e m d w a d o b r e p o r z d k i , w t e d y
i t y l k o w t e d y , g d y i s t n i e j e i z o m o r f i z m m i d z y t y m i p o r z d k a m i . M ó w i m y w t e d y , |e p o r z d k i
t e m a j t s a m l i c z b p o r z d k o w . Z a t e m l i c z b a p o r z d k o w a ± l u b i n a c z e j t y p p o r z d k o w y ±
z b i o r u d o b r z e u p o r z d k o w a n e g o A , A j e s t t o o b i e k t c h a r a k t e r y z u j c y n i e t y l k o z b i ó r d o b r z e
u p o r z d k o w a n y A , A , a l e w s z y s t k i e z b i o r y d o b r z e u p o r z d k o w a n e i z o m o r f i c z n e z n i m . P i -
s z e m y w t e d y A , A = ±. P r z y j m u j e m y p r z y t y m u m o w , |e j e [l i n j e s t l i c z b n a t u r a l n , t o
d o b r e m u p o r z d k o w i n , o d p o w i a d a l i c z b a p o r z d k o w a n . J e [l i n a t o m i a s t , , t o l i c z b
p o r z d k o w t e g o z b i o r u j e s t o m e g a t j . É.
N a l i c z b a c h p o r z d k o w y c h m o |e m y o k r e [l i d z i a Ba n i e d o d a w a n i a w e d Bu g n a s t p u j c y c h z a -
s a d : ( i ) j e [l i A , A o r a z B , B s d o b r y m i p o r z d k a m i o l i c z b a c h p o r z d k o w y c h o d p o w i e d n i o
± i ², t o l i c z b a p o r z d k o w a c h a r a k t e r y z u j e p o r z d e k b d c y m r o z s z e r z e n i e m p o r z d k ó w A
o r a z B w t a k i s p o s ó b , |e w s z y s t k i e e l e m e n t y z b i o r u A s m n i e j s z e o d e l e m e n t ó w z b i o r u B
w n o w y m p o r z d k u . Z w y k l e d o k o n u j e s i z a Bo |e n i a , |e z b i o r y A i B s r o z Bc z n e .
( i i ) D o d a w a n i e l i c z b p o r z d k o w y c h n i e j e s t d z i a Ba n i e m p r z e m i e n n y m . D l a p r z y k Ba d u 1 + É = É,
n a t o m i a s t É + 1 = É. P o w o d e m t e g o j e s t f a k t , |e É + 1 r e p r e z e n t u j e p o r z d e k w e l e m e n t e m
n a j w i k s z y m , n a t o m i a s t É p o r z d e k b e z e l e m e n t u n a j w i k s z e g o . I z o m o r f i z m p r z e p r o w a d z a p o -
n a d t o e l e m e n t n a j w i k s z y n a e l e m e n t n a j w i k s z y .
W p r z y p a d k u l i c z b p o r z d k o w y c h s k o Dc z o n y c h d o d a w a n i e t y c h l i c z b m a i d e n t y c z n e w Ba s -
n o [c i j a k d o d a w a n i e l i c z b n a t u r a l n y c h .
J e [l i A , A o r a z B , B s d o b r y m i p o r z d k a m i o l i c z b a c h ( t y p a c h ) p o r z d k o w y c h ± o r a z
², t o m ó w i m y , |e ± j e s t m n i e j s z a l u b r ó w n a o d ² ( p i s z e m y z w y c z a j n i e ± ²) w t t , g d y i s t n i e j e
m o n o t o n i c z n a i r ó |n o w a r t o [c i o w a f u n k c j a f : A ’! B . P r z y j m u j e m y , |e ±< ² w t t , g d y ± ²
o r a z A , A i B , B n i e s i z o m o r f i c z n e .
T w i e r d z e n i e . J e [l i A , A o r a z B , B s z b i o r a m i d o b r z e u p o r z d k o w a n y m i o t y p a c h o d -
p o w i e d n i o ± i ², t o : ±< ² w t t , g d y A , A j e s t i z o m o r f i c z n y z p e w n y m o d c i n k i e m p o c z t k o w y m
z b i o r u B , B .
D o w ó d . K o n i e c z n o [ . P r z y j m i j m y , |e g : A ’! B j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m k a n o n i c z -
n y m i n d u k o w a n y m p r z e z z b i o r y d o b r z e u p o r z d k o w a n e A , A i B , B . F u n k c j a g j e s t r ó |-
n o w a r t o [c i o w a n a p o d s t a w i e w c z e [n i e j s z e g o t w i e r d z e n i a ( » n i e n a l e |y d o a w t a k i m p r z y -
g ( A ) ,
1 7 . L I C Z B Y P O R Z D K O W E 5 7
p a d k u t w i e r d z e n i e g w a r a n t u j e r ó |n o w a r t o [c i o w o [) . R ó |n o [ t y p ó w p o r z d k o w y c h i z a Bo |e n i e
±< ² o z n a c z a , |e g n i e m o |e b y n a B .
N i e c h t e r a z b " B \ o z n a c z a n a j m n i e j s z y e l e m e n t w t y m z b i o r z e . C h c e m y p o k a z a , |e
g ( A )
( ") . = O ( b )
g ( A )
N i e c h a " A b d z i e d o w o l n y m e l e m e n t e m . J e [l i b y b < B g ( a ) , t o i s t n i a Bo b y x < A a , |e b = g ( x )
m i m o , |e w y b ó r e l e m e n t u b t e m u p r z e c z y . D l a t e g o g ( a ) < B b , a w k o n s e k w e n c j i g ( a ) "O ( b ) .
O d w r o t n i e , j e [l i c < B b , t o z e s p o s o b u w y b o r u b m a m y c " Z a t e m r ó w n o [ ( ") j e s t
g ( A ) .
d o w i e d z i o n a . Z w a r u n k u ( ") w y n i k a , |e j e s t i z o m o r f i c z n y z O ( b ) .
g ( A )
D o s t a t e c z n o [ . J e [l i b y A , A o r a z B , B b y By i z o m o r f i c z n e , t o B , B b y Bb y
z k o l e i i z o m o f r i c z n y z e s w o i m o d c i n k i e m p o c z t k o w y m . T e m u z a [ p r z e c z y w c z e [n i e j s z e t w i e r -
d z e n i e .
T w i e r d z e n i e C a n t o r a . J e [l i A , A o r a z B , B s z b i o r a m i d o b r z e u p o r z d k o w a n y m i
o t y p a c h p o r z d k o w y c h ± i ², a p r z y t y m j e [l i ± ² i ² ±, t o ± = ².
D o w ó d . N i e c h g : A ’! B o r a z h : B ’! A b d k a n o n i c z n y m i p r z e k s z t a Bc e n i a m i i n -
d u k o w a n y m i p r z e z A , A o r a z B , B . Z w c z e [n i e j s z e g o l e m a t u w y n i k a , |e » " ( A ) o r a z
g
» " h ( B ) . I n n y w c z e [n i e j s z y l e m a t g w a r a n t u j e , |e g o r a z h s i z o m o r f i z m a m i .
T w i e r d z e n i e . ( p r a w o t r i c h o t o m i i d l a l i c z b p o r z d k o w y c h ) J e [l i ± i ² s d o w o l n y m i l i c z b a m i
p o r z d k o w y m i , t o z a c h o d z i j e d n a z n a s t p u j c y c h m o |l i w o [c i :
( i ) ±< ², ( i i ) ±> ², ( i i i ) ± = ².
D o w ó d . Z w c z e [n i e j s z y c h s p o s t r z e |e D w n i o s k u j e m y , |e |a d n e d w a p r z y p a d k i n i e m o g z a c h o -
d z i r ó w n o c z e [n i e .
P o k a |e m y , |e m u s i z a j [ d o w o l n i e w y b r a n y . W t y m c e l u o b i e r z m y z b i o r y A , A o r a z B , B
o t y p a c h p o r z d k o w y c h o d p o w i e d n i o ± i ². N i e c h n a s t p n i e g : A ’! B o r a z h : B ’! A b d
k a n o n i c z n y m i p r z e k s z t a Bc e n i a m i m i n d u k o w a n y m i p r z e z z b i o r y A , A o r a z B , B .
Z t w i e r d z e n i a p o p r z e d z a j c e g o l e m a t 2 . m a m y , |e j e [l i » " t o ± ², a w i c ( i ) l u b
g ( A ) ,
( i i ) . A n a l o g i c z n i e j e [l i » " h ( B ) , t o ² ± o r a z z a c h o d z i ( i ) l u b ( i i i ) . J e [l i n a t o m i a s t » "
g ( A ) ,
t o z a c h o d z i ( i i ) . G d y j e s t , |e » " h ( B ) , t o ( i ) .
T w i e r d z e n i e . K a |d y z b i ó r l i c z b p o r z d k o w y c h j e s t d o b r z e u p o r z d k o w a n y p r z e z r e l a j .
D o w ó d . J e [l i Z j e s t d o w o l n i e u s t a l o n y m z b i o r e m l i c z b p o r z d k w o y c h , t o z t w i e r d z e n i a C a n -
t o r a o r a z p r a w a t r i c h o t o m i i d l a l i c z b p o r z d k o w y c h w y n i k a , |e Z j e s t l i n i o w o u p o r z d k o w a n y .
N i e c h ±1 > ±2 > . . . b d z i e n i e s k o Dc z o n y m Ba Dc u c h e m z s t p u j c y m w Z . P r z y j m i j m y
p o n a d t o , |e d l a w s z y s t k i c h i 0 j e s t A , A = ±i . C h c e m y p o k a z a , |e d l a d o w o l n e g o i > 0
i s t n i e j e a i " A 0 , |e o d c i n e k p o c z t k o w y O ( a i ) j e s t i z o m o r f i c z n y z A i o r a z , |e a i + 1 < A a i .
0
W Ba s n o [ t d o w i e d z i e m y p o p r z e z i n d u k c j p r o w a d z o n w z g l d e m i . S k o r o a 1 < a 0 , t o n a
m o c y w c z e [n i e j s z e g o t w i e r d z e n i a w i e m y , |e i s t n i e j e a 1 " A 0 , |e A , A j e s t i z o m o r f i c z n y z
O ( a 1 ) .
N i e c t e r a z i > 1 . P o s t p u j c p o d o b n i e z n a j d z i e m y c " A i - 1 , A i , A j e s t i z o m o r f i c z n y z
i
O ( c ) . Z z a Bo |e n i a i n d u k c y j n e g o w i a d o m o , |e A i - 1 , A j e s t i z o m o r f i c z n y z O ( a i - 1 ) †" A 0 .
i - 1
N i e c h a i " O ( a i - 1 ) b d z i e e l e m e n t e m b d c y m o b r a z e m c w t y m i z o m o r f i z m i e . Z w Ba s n o [c i
1 7 . L I C Z B Y P O R Z D K O W E 5 8
i z o m o r f i z m u w i e m y , |e o d c i n e k p o c z t k o w y p r z e c h o d z i w p r z e k s z t a Bc e n i u i z o m o r f i c z n y m n a
o d c i n e k p o c z t k o w y . S t d o d c i n k i O ( c ) o r a z O ( a i ) s i z o m o r f i c z n e . W y n i k a s t d , |e A i , A
i
j e s t i z o m o r f i c z n y z O ( a i ) .
Z o s t a B z a t e m z d e f i n i o w a n y n i e s k o Dc z o n y z s t p u j c y c i g w A 0 , A . U z y s k a l i [m y s p r z e c z -
0
n o [, c o o z n a c z a , |e Z j e s t d o b r z e u p o r z d k o w a n y .
1 7 . 1 . T w i e r d z e n i e Z e r m e l o
T w i e r d z e n i e Z e r m e l o K a |d y z b i ó r m o |n a d o b r z e u p o r z d k o w a t j . d l a k a |d e g o z b i o r u A
i s t n i e j e r e l a c j a d o b r e g o p o r z d k u n a A .
D o w ó d . J e [l i R j e s t z b i o r e m w s z y s t k i c h p a r X , r o t e j w Ba s n o [c i , |e X †" A o r a z r j e s t
d o b r y m p o r z d k i e m w X . P o n a d t o n i e c h Z b d z i e z b i o r e m w s z y s t k i c h l i c z b p o r z d k o w y c h
o d p o w i a d a j c y c h e l e m e n t o m z b i o r u R . P o n i e w a |, j a k g Bo s i o s t a t n i e t w i e r d z e n i e , k a |d y z b i ó r
l i c z b p o r z d k o w y c h j e s t d o b r z e u p o r z d k o w a n y p r z e z r e l a c j , t o r ó w n i e | Z , j e s t t a k i m
z b i o r e m .
O k r e [l m y f u n k c j f : Z ’! A p o p r z e z i n d u k c j n o e t h e r o w s k . Z a Bó |m y , |e a 0 " A j e s t
d o w o l n i e u s t a l o n y m e l e m e n t e m . J e [l i ± " Z , t o j a k o w a r t o [ f ( ±) p r z y j m u j e m y d o w o l n y e l e m e n t
z b i o r u A \ { f ( ²) | ² < ±} j e [l i t y l k o z b i ó r t e n j e s t n i e p u s t y . G d y { f ( ²) | ² < ±} = A , t o
p r z y j m u j e m y f ( ±) = a 0 .
C h c e m y p o k a z a , |e
f ( Z ) = A .
J e [l i z a Bo |y m y , |e X = f ( Z ) = A , t o b e z p o [r e d n i o z d e f i n i c j i f u n k c j i f o t r z y m u j e m y , |e
f j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a , a w i c w z b i o r z e X m o |n a o k r e [l i d o b r y p o r z d e k r , i n d u k o w a n y
p r z e z p o r z d e k w Z . P o r z d e k t e n j e s t i z o m o r f i c z n y z Z , . P o Bó |m y , |e Z , = ³. S k o r o
Z , " R , t o ³ " Z , a w i c O ( ³) †" Z . O z n a c z a t o , |e Z b y Bb y i z o m o r f i c z n y z e s w o i m
o d c i n k i e m p o c z t k o w y m . J e s t t o j e d n a k s p r z e c z n e z w c z e [n i e j d o w i e d z i o n y m t w i e r d z e n i e m , a
w i c p r z y p u s z c z e n i e b y Bo f a Bs z y w e . Z a t e m p r a w d j e s t , |e f ( Z ) = A .
J e |e l i i s t n i e j e ± " Z , |e { f ( ²) | ² < ±} = A , t o n i e c h ± b d z i e n a j m n i e j s z l i c z b o t e j
w Ba s n o [c i . W t e d y f u n k c j a f o g r a n i c z o n a d o O ( ±) j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a i s k o r o f ( O ( ±) ) = A ,
t o i n d u k u j e o n a d o b r y p o r z d e k n a z b i o r z e A . J e |e l i d l a k a |d e g o ± " Z j e s t { f ( ²) | ² < ±} = A ,
t o f j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a i z t e g o , |e f ( Z ) = A w y n i k a i | t a k |e w t y m p r z y p a d k u f i n d u k u j e
d o b r y p o r z d e k n a A .
B e z p o [r e d n i k o n s e k w e n c j t w i e r d z e n i a Z e r m e l o i p r a w a t r i c h o t o m i i d l a l i c z b p o r z d k o w y c h
m a m y n a s t p u j c y t w i e r d z e n i e .
T w i e r d z e n i e . D l a d o w o l n y c h z b i o r ó w A i B b d z | A | | B | , b d z t e | | B | | A | .
D o w ó d . Z b i o r y A i B m o |n a d o b r z e u p o r z d k o w a . J e [l i ± i ² s t y p a m i p o r z d k o w y m i
t y c h z b i o r ó w , t o n a m o c y p r a w a t r i c h o t o m i i d l a l i c z b p o r z d k o w y c h j e s t ± ² l u b t e | ² ±.
W p i e r w s z y m p r z y p a d k u j e s t | A | | B | , z a [ w d r u g i m | B | | A | .
1 7 . L I C Z B Y P O R Z D K O W E 5 9
1 7 . 2 . D o w ó d l e m a t u K u r a t o w s k i e g o - Z o r n a
D o w ó d . P r z y p u [m y , |e A , A j e s t p o r z d k i e m c z [c i o w y m , w k t ó r y m k a |d y Ba Dc u c h m a
g r a n i c z e n i e g ó r n e . P o k a |e m y , |e A z a w i e r a e l e m e n t m a k s y m a l n y .
P r z y j m i j m y , |e Z j e s t d o w o l n y m z b i o r e m o m o c y w i k s z e j n i | A i n i e c h o z n a c z a d o b r y
p o r z d e k w z b i o r z e Z , k t ó r e g o i s t n i e n i e g w a r a n t u j e t w i e r d z e n i e Z e r m e l o . Z d e f i n i u j e m y f u n k c j
f : Z ’! A p r z e z i n d u k c j n o e t h e r o w s k .
N i e c h z " Z i n i e c h X = { f ( u ) | z"Z } . Z z a Bo |e n i a i n d u k c y j n e g o w y n i k a , |e X j e s t Ba Dc u -
c h e m m , a z a t e m m a o g r a n i c z e n i e g ó r n e . J e |e l i X m a j a k i e [ o g r a n i c z e n i e g ó r n e a p o c h o d z c e
z e z b i o r u A \ X , t o d e f i n i u j e m y f ( z ) = a , g d z i e a j e s t d o w o l n i e w y b r a n y m e l e m e n t e m o t e j
w Ba s n o [c i . W p r z e c i w n y m p r z y p a d k u X z a w i e r a s w o j e w Ba s n e o g r a n i c z e n i e g ó r n e , k t ó r e m u s i
b y e l e m e n t e m n a j w i k s z y m w X . K Ba d z i e m y w t e d y f ( z ) = a .
P o n i e w a | | Z | > | A | , t o f u n k c j a f n i e m o |e b y r ó |n o w a r t o [c i o w a . I s t n i e j e z a t e m z 0 " Z ,
|e d l a w s z y s t k i c h z , j e |e l i z 0 z" z , t o f ( z 0 ) = f ( z ) . Z d e f i n i c j i f u n k c j i f w y n i k a , |e f ( z 0 ) j e s t
e l e m e n t e m m a k s y m a l n y m w A , A . Z a t e m l e m a t K u r a t o w s k i e g o - Z o r n a j e s t d o w i e d z i o n y .
T a k l e m a t K u r a t o w s k e i g o - Z o r n a j a k i t w i e r d z e n i e Z e r m e l o w y m a g a j d l a d o w o d u n o w e g o
a k s j o m a t u , z w a n e g o a k s j o m a t e m w y b o r u . A k s j o m a t t e n g Bo s i , |e d l a k a |d e j n i e p u s t e j r o d z i n y
z b i o r ó w i s t n i e j e f u n k c j a , k t ó r a k a |d e m u z b i o r o w i p r z y p o r z d k o w u j e p e w i e n e l e m e n t t e g o z b i o -
r u . F u n k c j t n a z y w a s i f u n k c j w y b o r u . O k a z u j e s i , |e p e w n i k w y b o r u j e s t r ó w n o w a |n y
t w i e r d z e n i u Z e r m e l o o r a z l e m a t o w i K u r a t o w s k i e g o - Z o r n a , n a g r u n c i e p o z o s t a By c h a k s j o m a t ó w
t e o r i i m n o g o [c i .
W c z e [n i e j m ó w i l i [m y o n i e k o n s t r u k t y w n o [c i d o w o d u . O t ó | o b a w y m i e n i o n e t w i e r d z e n i a
m a j d o w o d y n i e k o n s t r u k t y w n e t j . d o w o d z i s i i s t n i e n i a o b i e k t u n i e p o k a z u j c j a k o b i e k t t e n
w y g l d a , a [c i [l e j , j a k m o |n a g o o t r z y m a .
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