Tensory ortogonalne
Obrót układu współrzędnych (bazy)
Ox1x2x3 - układ pierwotny
2 2 2
Ox1x2x3 - po transformacji
2
Definiując kąty obrotu ąij = xi , xj
( )
Ą#
Określa się macierz transformacji Ą#cosąij ń# =
Aij =
( )ń#
Ł#Ś#
Ł#cos xi2 , xj Ś#
2
np. A12 = cos x1, x2
()
1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
W układzie pierwotnym dowolny punkt P ma współrzędne
x = xj = x1 x2 x3 T w nowym układzie ten sam punkt ma
{}

2 2 2 2 2
współrzędne x = xj = x1 x2 x3 T .
{ }

Transformacja współrzędnych punktu P (zarazem WSP. Wektora
wodzącego tego punktu)
2
xT = Ax lub xi = Aij xj

2
x1 = A11x1 + A12x2 + A13x3
2
x2 = A21x1 + A22x2 + A23x3
2
x3 = A31x1 + A32x2 + A33x3
2 2
gdzie Aij = cos xi , xj , np. A12 = cos x1, x2
( )
()
Własności macierzy transformacji
2
 długości wektorów wodzących x i x punktu P w obu układach są

jednakowe, stąd:
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
2
x = xT x = xk xk = � xj xk
jk

2
2 2 T 2 2 2
x = x x = xi xi = Aij xj Aik xk = Aij Aik xj xk
( )
( )

Długość wektora jest stała: Aij Aik - �ik xj xk = 0 dla każdego x
( )

Stąd Aij Aik = �ik lub AT A = I więc AT = A-1

A a" Aik  tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)

2
Wyznacznik det AT A = det AT det A = det A = 1
( ) ( )
( ) ( )

więc det A =ą1

Macierz (tensory) o powyższych własnościach
 grupa ortogonalna  obroty i przekształcenia (odbicia) układów
współrzędnych ~
Gdy det A =1 grupa obrotów SO(3) specjalna, ortogonalna, w

przestrzeni trójwymiarowej
Gdy det A =-1 odbicia (nie tworzą grupy),

A
ączne działania  grupa ortogonalna O(3).
3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Transformacja wielkości tensorowych
Podstawa  transformacja wektorów bazowych:
2 2
e = Ae (ei = Aijej )

2 2
Współrzędne dowolnego wektora: u = Au (ui = Aijuj )

2 2
Współrzędne tensora 2 walencji: T = ATAT (Tij = Aik AjlTkl )

Współrzędne tensora dowolnej walencji:
Tijk..... = AipAjqAkm....Tpqm....
Formalna reprezentacja wielkości tensorowych
Tensor walencji 1  wektor  składowe w danej bazie
e = ei = e1 e2 e3
{ } { }

2 2 2
u a" uiei = ukek , u a" uiei

Tensor walencji 2  składowe w 9-wymiarowej polibazie ei " ej

(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wektorów
bazowych
2 2 2
T a" Tklek " el = Tklek " el

4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Działania na tensorach walencji 1 i 2  przykłady:
Zapis Zapis Nazwa działania i rezultat
wskaz
nikowy absolutny
zwężenie (kontrakcja)  w przypadku
ab = a�"b
abi
i

wektorów � iloczyn skalarny - liczba
mnożenie tensorowe (diada) wektorów 
a " b
abj
i

� macierz (tensor walencji 2)
zwężenie (kontrakcja)
Cb
Cijbj

tensora walencji 2 i wektora � wektor
mnożenie tensorowe (diada) tensora
C " b
Cijbk

walencji 2 i wektora � tensor walencji 3
EF zwężenie (kontrakcja) tensorów walencji 2
EijFjk

� tensor walencji 2
E " F mnożenie tensorowe (diada) tensorów
EijEkm

walencji 2 � tensor walencji 4
Ei F, E :F zwężenie pełne tensorów walencji 2 � liczba
EijFij

5
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Przypadek tensora walencji II  problem własny
(analogia do problemu własnego macierzy)
Dany jest tensor A a" Aij , szukamy wektora p a" pj `" 0 takiego,


że Ap =  p, gdzie  jest mnożnikiem.


Postać (A - I) p = 0 daje w rezultacie równanie algebraiczne


det(A - I) = 0, trzy rozwiązania i (wartości własne tensora A)

i odpowiadające im wektory p(i ) (wektory własne).

Inna postać równania det(A - I) = 0:

3 - IA2 + IIA - IIIA = 0
gdzie
IA = trA = Aii = A11 + A22 + A33

11
2
Ą#
IIA = trA - trA2 ń# = Ą#Aii Ajj - Aij Aji ń#
( )
Ł# Ś#
Ł#Ś#

22
IIIA = det A = �ijk Ai1Aj2Ak 3

6
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Unormowane wektory p(1), p(2) i p(3) tworzą ortonormalną bazę

A11 A12 A13
Ą#ń#
ó#A A22 A23 Ą#
tensor
A a" Aij =21
ó#Ą#

A32 A33 Ś#
ó#Ą#
Ł#A31
1 0 0
Ą# ń#
Ą#
w bazie tej ma postać ó#
0 2 0
ó# Ą#
0 0 3 Ś#
ó# Ą#
Ł#
tak więc IA = 1 + 2 + 3 ,
IIA = 12 + 23 + 13
IIIA = 123
7
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Dowolny tensor walencji II można rozłożyć na tzw. część kulistą i
dewiator
A11 A12 A13 p 0 0 A11 - p A12 A13
Ą#ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#A A22 A23 Ą# ó#0 p 0 Ą# ó#
=+ A21 A22 - p A23 Ą#
21
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
A32 A33 Ś# Ł#0 0 pŚ# Ł# A31 A32 A33 - pŚ#
ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą#
Ł#A31
lub w zapisie absolutnym A = pI + S

11 1
gdzie p = A11 + A22 + A33 = Aii = trA
()

33 3
8
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Wielkości tensorowe różnych walencji (z odpowiednią liczbą
składowych) traktowane są jako funkcje położenia punktu 
współrzędnych xi , i = 1,2,3
Funkcja skalarna d a" d x = d x1, x2, x3 (pole skalarne w R3)
( ) ( )

u1 x1, x2, x3
ż# �#
( )
�#u
Funkcja wektorowa
u a" u x = u x1, x2, x3 = x1, x2, x3 Ź#
( ) ( ) ()�#
�#
2

�#
()�#
3
�#u x1, x2, x3 �#
pole wektorowe - trzy funkcje skalarne
Funkcja tensorowa II walencji
A11 x A12 x A13 x
Ą#ń#
( ) ( ) ( )
ó#A
A a" A x =x A22 x A23 xĄ#
( ) ( ) ( ) ( )Ą#
21
ó#

ó#
( ) ( ) ( )Ś#
31
Ł#A x A32 x A33 x Ą#

pole tensorowe II walencji - 9 funkcji skalarnych
9
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Oznaczenia pochodnych:
"M
= M,i M  funkcja skalarna lub składowa funkcji tensorowej
"xi
dowolnej walencji, np.
"f "u2 "A13 "u1
= f,1 ; = u2,3 ; = A13,2 ; = u1,k , k = 1,2,3
"x1 "x3 "x2 "xk
Ą#�,1 ń#
T
"�
ó#
Gradient pola skalarnego -
grad�= = �,1 = �,2 Ą# = Ą#�,1 �,2 �,3 ń#
Ł# Ś#
ó# Ą#
"xi
ó# Ą#
,3
Ł#� Ś#
wektor
T
Ą#u1,1 u1,2 u1,3 ń#
"ui
ó#u u2,2 u2,3 Ą#
Gradient pola wektorowego -
grad u= = ui, j =
2,1
ó# Ą#
"xj
ó#
3,1
Ł#u u3,2 u3,3 Ą#
Ś#
tensor walencji II
10
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
"ui
Dywergencja pola wektorowego -
divu= = ui,i = u1,1 + u2,2 + u3,3
"xi
skalar
Dywergencja pola tensorowego walencji 2:
Ą# A1 j, j ń#
"Aij
ó#A Ą#
div A= = Aij, j = - wektor
2 j, j
ó# Ą#
"xj
ó# Ą#
A3 j, j
Ł# Ś#
"2�
Laplasjan pola skalarnego = �,ii = �,11 +�,22 +�,33
"�=
"xi"xi
11
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
DEFORMACJA OŚRODKA CI
GA
EGO
Opis zmian stanu geometrycznego.
Dowolny obiekt w przestrzeni rozpatrujemy w dwóch chwilach:
0
" początkowej (t = 0)  konfiguracja początkowa B
" aktualnej (określone t)  konfiguracja aktualna B
Deformacja  całkowita zmiana stanu geometrycznego obiektu.
Dwa składniki:
1) translacja i obrót jak dla bryły sztywnej (bez zmiany
wzajemnych odległości)
2) zmiana wymiarów i kształtu (wzajemnych odległości między
punktami), tak globalne w skali całego obiektu jak i lokalne, w
otoczeniu danego punktu
12
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Dwie formy opisu deformacji:
1) zmiana położenia wybranego punktu obiektu (np. punktu na
osi belki), współrzędne aktualne w funkcji współrzędnych
początkowych: x = � X
( )

Jest to opis MATERIALNY (opis Lagrange a) odnosi się do
współrzędnych początkowych  współrzędnych materialnych
(Lagrange a)  opis właściwy w mechanice ciała stałego
13
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
2) Obserwacja wybranego punktu w przestrzeni (np. przepływ
cieczy przez określony punkt)  w punkcie tym, o
współrzędnych Xi , mogą pojawić się różne cząstki, o różnych
współrzędnych aktualnych xi , stąd X = ł x = �-1 x .
( )( )

Jest to opis PRZESTRZENNY (opis Eulera), odnosi się do
współrzędnych aktualnych  współrzędnych przestrzennych
(Eulera)  opis właściwy w mechanice płynów
Elementarny odcinek (wektor) dX z konfiguracji początkowej

przyjmuje w konfiguracji aktualnej postać dx .

Zachodzi dx = � dX
( )

Gdy odcinki są nieskończenie małe (liniowe), odwzorowanie �
można zapisać jako liniowe przybliżenie (aproksymację):
dx = FdX lub dxi = FijdX
j

14
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Ą# ń#
"x1 "x1 "x1
ó#"X "X2 "X3 Ą#
1
ó# Ą#
ó# Ą#
"xi "x2 "x2 "x2
Macierz
F = Fij = =
ó#"X "X2 "X3 Ą#
"X
j 1
ó# Ą#
ó# "x3 "x3 "x3 Ą#
ó#"X "X2 "X3 Ą#
Ł# 1 Ś#
materialny gradient deformacji
Rozpisanie powyższego równania:
"x1 "x1 "x1
dx1 = dX1 + dX2 + dX3
"X1 "X2 "X3
W opisie materialnym x1 = x1 X1, X2, X3
( )
Xi , i = 1,2,3 - zmienne niezależne, x1 - zmienna zależna
15
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
W prostszej notacji:
"F "F "F
X1, X2, X3 x, y, z dF = dx + dy + dz
() ( )
"x "y "z
x1 F = F(x, y, z)
- wzór na różniczkę zupełną funkcji trzech zmiennych.
Gradient deformacji F jest liniowym przybliżeniem

odwzorowania � .
Własności gradientu deformacji:
1) det F `" 0 - tensor nieosobliwy

2) W ogólnym przypadku F `" FT lub Fij `" Fji

Naturalna miara odkształcenia jest zmienna długość w obu
konfiguracjach (różnica kwadratu ich długości)
2 T
dx2 - dX = dxT dx - dX dX

16
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
a) Opis materialny (współrzędne aktualne x względem

początkowych X ):

T
dx = FdX i dxT = dX FT

2 T T T
dx2 - dX = dxTdx - dX dX = dX FT FdX - dX dX =

T
= dX FT F - I dX
()

miary zmian w opisie materialnym (odnośnie konfiguracji
początkowej):
" tensor deformacji Greena C = FT F Cij = FkiFkj

" tensor odkształceń Lagrange a - Greena
11
E = C - I = FT F - I
( )
()

22
wtedy
2TT
dx2 - dX = dX C - I dX = 2dX EdX a" 2EijdXidX
( )
j

forma kwadratowa tensora E względem dX - odniesienie

do konfiguracji początkowej.
17
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Własności: oba tensory C i E (reprezentujące je macierze)

są symetryczne
C = CT (Cij = Cji ) oraz E = ET (Eij = E )
ji

b) Opis przestrzenny (współrzędne początkowe X względem

aktualnych x ):

-1
-1 T
dX = F dx i dX = dxT FT
( )

-1
2
stąd dx2 - dX = dxT Ą#I - FFT ń# dx
( )
ó# Ą#
Ł# Ś#

miary zmian stanu geometrycznego w opisie przestrzennym
(względem konfiguracji aktualnej):
" tensor Fingera b = FFT bij = FikFjk

" tensor deformacji Cauchy
-1 -1
_1
c = b-1 = FFT = FT F
( ) ( )

18
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
" tensor odkształceń Eulera  Almansi
-1
11
e = I - c = - FFT ń#
( )Ą#I Ś#
( )
ó# Ą#
Ł#
22
2
stąd dx2 - dX = dxT I - c dx = 2dxTedx a" 2eijdxidxj
( )

forma kwadratowa tensora e względem wektora dx -

odniesienie do konfiguracji aktualnej
Własności: oba tensory c i e (reprezentujące je macierze)

są symetryczne
c = cT (cij = cji ) oraz e = eT (eij = eji )

19
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Rozciąganie osiowe (bez zmiany pozostałych wymiarów)
l l
x1 = X1 =  X1  = rozciąganie
L L
(w WM w stanie jednoosiowym definiowane � = �x  � +1)
"x1
Gradient deformacji F � ,
F11 = = 

"X1
Opis materialny (składowe diagonalne w kierunku X1):
z tensora deformacji Greena C � C11 = 2

1
z tensora odkształceń Lagrange-Greena E � E11 = 2 -1
()
2
20
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG