3226794635

4. PIERŚCIEŃ

Pierścień w matematyce jest uogólnieniem pojęcia ciała. Idea pierścienia wywodzi się z badania struktur podobnych do zbioru liczb całkowitych, w którym jest określone mnożenie, lecz nie dzielenie.

def. 1

Pierścień (ang. ring) to struktura algebraiczna (P,©, ©, 0) z dwoma działaniami, tzw. .dodawaniem i „mnożeniem", spełniającymi 8 poniższych aksjomatów:

A (a © b) G P

a,be P

A (o © b) © c = a © (b © c)

a.b,ce P

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Określoność działania: Łączność działania:

Istnienie elementu neutralnego 0: Istnienie elementu przeciwnego: Przemienność działania:

V A ()©fl=«©o = cr

Oe P aeP

A V a (& (-a) = (-a) ® a = 0

ag P de P A a © b -b © a

u,be P

(postulaty od (I) do (5) określają grupę przemienną (P.©. 0))

Określoność działania:    A a © b e P

a,be P

Łączność działania:    A (« © b) © c = a © (b © c)

a.b.ce P

Obustronna rozdzielność mnożenia względem dodawania:

A a © (b @ c) = (a © b) © (a © c) a (b © c) © a = (b © a) © (c © a)

a,b,ce P

(postulaty od (1) do (9) określają pierścień (P.©.®. 0»

(9)    Przemienność działania:    A aG)b=b®a

a.be P

(postulaty od( 1) do (9) określają pierścień przemienny (I\©.®. 0))

(10)    Istnienie elementu neutralnego 1

(jedność, element jednostkowy):    V A 1 ©    © \ = a

1 e P a e P

(postulaty od (1) do (8) i (10) określają pierścień z jednością (P,©.®. 0.1)) (postulaty od (1) do (9) określają pierścień przemienny z jednością (P.©.®. 0.1))

def. 2

Pierścień to struktura algebraiczna (P.©.©) z dwoma dwuargumentowymi działaniami, zwanymi dodawaniem " i .jnnożenient ”, spełniającymi (dla dowolnych a, b. c e P) aksjomaty:

(1)    zbiór P z dodawaniem jest grupą abelową (przemienną)

(2)    mnożenie jest łączne: (a © b) © c = a © (/; © c)

(3)    mnożenie jest obustronnie rozdzielne względem dodawania:

a © (b © c) = (a © b) © (a © c) a (b ©c) © a =(b © a) © (c © a)

Aksjomaty nr (1), (2) i (3) nazywamy aksjomatami teorii pierścienia.

^A- Pp.dp.iej.śpjeń

Podpierścieniem (D.©, ©) pierścienia (P.©. ©) nazywamy podzbiór D pierścienia P (gdzie: DcP). który sam jest pierścieniem ze względu na istniejące w pierścieniu działania.

Przykład:    Zbiór Zn = {0, d. - d. 2d, - 2d, ... } zjtcCony z, wielokrotności pewnej ustalonej liczby

całkowitej d jest podpierścieniem pierścienia (C. +, •).

© Copyright by Ewa Kędziorczyk

-226-

w w w. ma tematyka. sosu o wiec.p /