23383

2) Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa (R, d_c)

X IR

V.v,>eR d_B(x, y):=\x—y\ dlax,.yeR

Funkcja d_e jest metryką.

Dowód

(M0)-(M2) wynikają z definicji wartości bezwzględnej

(M3) </«(■», v)=|.r-3'l=|AT-r+r->>|<|.r-r|+|r->'|=rf_J(.v, ;)+d_E(z, y)

□

3) n - wymiarowa przestrzeń euklidesowa (R“, d_t

Niech .r.yeR" x=(x,,x₁,...,x.) y=(vi. v_:,■■■,y„)

d_l!(x,y):=\'Z(x-y,)² dla.r.yeR"

. i

d_E - metryka euklidesowa Sprawdzamy, że funkcja d_E jest metryką.

Dowód

(MO) d_E(x,y)=]_[Y^(x-y,f 2.0, bo\~Ł0

(M1) rf_£(.v,y)=^Z<.r,-y₍)^J =0 «i>,-v,)^!=0 «V. :(x-y,)ⁱ=0 «V, x,= y,«.r=y

(M2) d_t(x,y)=Jf(xr^ =d_t(x_ly)=Jt(y,-xf =d_E(y,x)

1=1    '1 = 1

'    * dl(x,y)=][_l(x_l-yf =Żl(-T_/-c,)+(c,-v,)]^J =

/-I    /-I

= Ż[(X|-^)^!+2U/-=/)(:_i-J’i)+(=|-J’,)^J1=

i = l

1=1 1=1 1=1 Korzystając z nierówności Cauch/ego:_

Z(x,-s,)(s,-y,)śJx(x,-sf Ji(_S,-y,r

1 = 1    ' 1=1    l-l

otrzymujemy

4(*.J’)^ŹUi-=/)^J + Ź(=/-J'.)^J+2 \'ŹyŹfa-y,)¹ =

i-I    »=l    i-l    i-l

|\ Ź(-^r,^_-,)^! +\ Z(-|”.^V.)¹ J =(d_E(x, :)+d_B(:, y)f

zatem

d„(x,y)<d_E(x, ;) + d_E(;,y)

Wykład dr Joanny Górskiej strona 2 z 23 Opracowali: Robert Palta. Michał Pawłowski