27897

Def. Punkt P₀ = (x₀, y₀), gdzie y₀ = f(x₀), nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji y = f(x) jeżeli dla xe (Xo - 6, x₀) wykres jest wypukły (wklęsły), zaś dla xe (xq , Xo + 6) wykres jest wklęsły (wypukły).

Asymptoty:

1.    Pionowe: zakładamy, _e Df posiada pewne lewo lub prawostronne sąsiedztwo punktu c

Prosta o równaniu x = c nazywamy asymptota pionowa funkcji y = f(x) tylko wtedy gdy istnieje granica niewłaściwa

Lim f(x) = (+-)0 gdzie x;c(+-)

2.    Ukośne i poziome: Prosta y = mx + k nazywamy asymptota ukośna (pozioma, m = 0), gdy:

Lim = [f(x) - mx - k] = 0 dla x; - O - lewostronna

lub

Lim - (f(x) - mx - k] = 0 dla x; + O - prawostronna

Jeśli krzywa ma asymptote ukośna to: m = Lim (f(x)/x), k = Urn (f(x) - mx] granice dla x;(+-)0 odpowiednio dla lewo lub prawostronnej.

Jeśli istnieją granice dla wartości m i k i SA one właściwe to mamy granice ukośna

Badanie przebiegu zmienności funkcji opiera się na następujących twierdzeniach podstawowych (będących wnioskami z twierdzenia Lagrange'a):

Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca. Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Jeżeli pochodna funkcji jest w każdym punkcie pewnego przedziału równa zeru, to funkcja ma w tym przedziale wartość stałą

Mówimy, że funkcja y=f(x) ma w punkcie Xo maksimum lokalne (minimum lokalne), jeżeli istnieje takie otoczenie punktu Xo, że dla wszystkich punktów tego otoczenia zachodzi nierówność

f(x)<f(x₀)    (f(x)>f(xo))

CAŁKI

Całką nieoznaczoną (nieokreśloną) funkcji f(x), oznaczoną symbolem

Jf(x)dx

Nazywamy wyrażenie F(x) + C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), a C jest dowolną stałą. Jest więc:

Jf(x)dx = F(x) + C, gdzie F'(x) = f(x).