46642

E(X)= Jta(t)dt =-JlW_(l(t)dl = calkow. przez części = - tW₀(i)/" + Jw„(t)dt.

0    0    o

Zal. 4a -lW„(t)/₀" =0.

T=JW₀(t)dt

0

A. = 1/T - tzw. stopa przybyć (przeciętna liczba klientów przybywających w jednostce czasu).

Zal. 5a Ilość przybyć w jakimś dowolnie wybranym okresie czasu jest niezależna od ilości przybyć w innym okresie czasu (o ile oba te okresy' nie zachodzą na siebie).

Zal. 6a Prawdopodobieństwo określonej ilości przybyć zależy tylko od długości odcinka czasu, natomiast nie zależy od je go początku i końca (odpadają tzw. okresy szczególne np. godziny szczytu).

Zal. 7a Wykluczamy możliwość dwóch lub więcej przybyć w ty m samym momencie czasowym (naraz), a prawdopodobieństwo jednego przybycia w dostatecznie krótkim okresie czasu dt jest równe źdt, gdzie A jest pewną stałą.

ZAD. DOM. Znaleźć i wytłumaczyć dowód, iż przy powyższych założeniach: W₀(t) = e‘-.

(zob. Fisz: „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, str. 290-293)

l/A = T = f W„ (t)dt = f c ^dt = -e'% /„' = l/Ą => X = X => W₀(l) = e *

0

UWAGA 1: Po wprowadzeniu założeń 5-7 można zrezygnować z zal .4 ponieważ:

-tW„(t)/; = -te*/? = łatwe = 0.

Skoro W₀ (t) = -a(t) to (łatwe) a(t) = Xe ^M.

Wniosek: Zmienna X ma rozkład wykładniczy o parametrze A.

Przejdźmy do zmiennej dyskretnej X. Jaki ona ma rozkład, gdy X ma rozkład wykładniczy?

ZAD. DOM. Udowodnić, że X ma rozkład Poissona o parametrze At tzn., że: P(X = n) = (Ał)V*Vn!. Zauważmy, że P(X = 0) = W₀(t), stąd oznaczymy P(X = n) = W„(t).

Ib (analogicznie do la)

Y    - czas obsługi jednej jednostki ;

Y    - ilość obsłużonych osób w danym okresie czasu t;

Bo(t) = P(Y S t) - dystrybuanta obsługi;

Vo(t) = P( Y > t) — prawdopodobieństwo, że obsługa jednostki będzie trwała dłużej niż t.

Zal 2b: ¥ jest zmienną losową ciągłą. b(y) - gęstość zmiennej losowej Y;

1    I    <o

Bo(t)= Jb(y)dy=>Vo(t)= 1 - Jb(y)dy= Jb(y)dy.

0    0    l

Zal.3b: b(y) fimkcja ciągła.

B« (t) = b(t) oraz V₀ (t) = -b(i).

U = E(Y) = | V₀ (t)dt - średni czas obsługi jednostki (przy zal.4b, analog, do 4a).

o

p = 1/U - tzw. stopa obsługi (przeciętna liczba klientów obsłużonych w jednostce czasu).