53318

. Prawdopodobieństwo dla nowej zmiennej losowej U. gdy funkcja g(X) będzie równowartościowa, będzie identyczne, czyli P(U = 1^)= P(X= x_t). Gdy funkcja g(X) nie jest funkcją równowartościową, to ten sam punkt skokowy Uj może odpowiadać więcej niż jednemu punktowi skokowemu x_t. wtedy prawdopodobieństwo dla punktu iij stanowi sumę prawdopodobieństw wszystkich odpowiadających punktów x_t, czyli

Ą V = i‘j) = 'ZM)    (2.2.8)

*1

2.2.2.    Zmienne losowe typu nagłego

Zmienną losową X przyjmującą wszystkie wartości z ustalonych przedziałów, dla której istnieje nieujemna funkcja /(.x) taka. że dystiybuantę F zmiennej losowej X można przedstawić w postaci:

X

F(x)= j f(x)dv dla .v eR    (2.2.9)

-«0

nazywamy zmienną losową ciągłą (absolutnie ciągłą), a funkcję /(.r) jej gęstością (funkcją gęstości prawdopodobieństwa).

Jeżeli x jest punktem ciągi ości gęstości f(x), to

/"(x) = /(x),    (2.2.10)

oraz

J/Wd* = lP(_a £ X < i) = }/(.t)Ax= F(b)~ F(a)    (2.2.11)

-*>    a

Funkcję zmiemiej losowej typu ciągłego definiuje się analogicznie do (2.2.7). czyli równością W=g{X)    (2.2.12)

gdzie funkcja g{X) jest określona na zbiorze wartości zmiennej losowej X. W prostszych przypadkach rozkład zmiennej losowej W można wyznaczyć bezpośrednio z definicji dystrybuanty G(.r) tej zmiennej losowej.

Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o gęstości / określonej w^r przedziale (a.b) oraz w = g(.r) jest funkcją monofoniczną o pochodnej g'(.r)* 0 w tym przedziale, przy czym x = h(w) jest funkcją odwrotną do w = g(.r). to gęstość /(w) zmiennej losowej ciągłej W = %{X) będzie w postaci:

/(«•) =    ’(u’)| ale w nowym przedziale (c.d)    (2.2.13)

2.2.3.    Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej

W celu syntetycznego opisania zmiemiej losowej przyporządkowuje się jej pewne liczby charakteryzujące ją pod względem, np. wartości najbardziej prawdopodobnej, rozrzutu jej wartości, lub krzywej gęstości. Liczby te noszą nazwę charakterystyk liczbowych zmiennej losowej. Najważniejsze z nich to: wartość przeciętna, wariancja i odchylenie standardowe.

Obliczanie wartości przeciętnej zmiemiej losowej U = g(-V) bezpośrednio za pomocą funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X umożliwia następujący wzór: