CIĄGI - zadania

1. Dla jakich wartości parametru p ciąg a
   =
   

a) ma granicę równą 2

b) ma granicę niewłaściwą +
.

2. Zbadaj monotoniczność i oblicz granicę ciągu (a
   ) danego wzorem

a
=
.

3. Dany jest ciąg a
   .

1. Dla jakiej wartości parametru p granicą tego ciągu jest
   ?

2. Dla otrzymanej wartości p naszkicuj wykres tego ciągu , gdzie n
   {1,2,3,4}.

4. Dla jakich wartości parametru k ciąg a
   ma granicę równą 4 ?

5. Zbadaj , czy ciąg określony wzorem

a) a

b) a

jest ciągiem arytmetycznym .

6. W ciągu arytmetycznym a
   i
   . Wyznacz sumę pierwszych dwudziestu wyrazów tego ciągu .

7. W ciągu arytmetycznym suma wyrazu drugiego i szóstego równa się -2 , a suma wyrazu piątego i siódmego równa się -22 .

1. Oblicz wyraz dwudziesty

2. Oblicz sumę wyrazów od wyrazu dziewiątego do wyrazu szesnastego włącznie

3. Ile początkowych wyrazów ciągu daje w sumie -85 ?

8. Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 21 , a suma siedmiu pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 105 . Suma ilu pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 273 ?

9. W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest liczbą p =
   , a wyraz szósty rozwiązaniem równania
   . Wyznacz ten ciąg . Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu .

10. Ile wyrazów ciągu arytmetycznego , w którym a
    = -20 , r = 4 należy dodać , aby ich suma była równa granicy ciągu
    ?

11. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych , które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1 .

12. Rozwiąż równanie : 1+ 4 + + 7 + … + ( 1 + 3n ) = 176 .

13. Pierwszy wyraz skończonego ciągu arytmetycznego wynosi 30 , różnica ciągu r = -3 , ostatni wyraz stanowi
    sumy wszystkich poprzednich wyrazów Znajdź ilość wyrazów
    i sumę ciągu .

14. Wiedząc , że x + y , 3x + 2y + 1 , x
    + 4y + 5x są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego , obliczyć dla jakich x ciąg ten jest rosnący .

15. Jednym z pierwiastków trójmianu kwadratowego y = ax
    + bx + c jest -3 . Współczynniki tego trójmianu tworzą ciąg arytmetyczny którego suma wynosi 24 . Oblicz drugi pierwiastek tego trójmianu .

16. Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego wiedząc , że tworzą one ciąg arytmetyczny , a obwód trójkąta wynosi 120 .

17. Suma czterech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy 2 jest równa 8 . Dwa pierwsze wyrazy ciągu są pierwiastkami wielomianu W(x) =
    . Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu .

18. Jedno z rozwiązań równania
    z niewiadomą x wynosi 4 . Liczby a, b,c tworzą ciąg arytmetyczny , w którym pierwszy wyraz jest o sześć większy od trzeciego . Znajdź drugie rozwiązanie równania .

19. Dla jakich wartości x liczby log2 , log (2
    - 2) i log (2
    + 10) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego ? Oblicz różnicę tego ciągu .

20. Oblicz piąty wyraz ciągu arytmetycznego :
    wiedząc , że
    =
    oraz x
    =
    .

21. Logarytmy przy podstawie 2 czterech liczb tworzą ciąg arytmetyczny , w którym iloczyn skrajnych wyrazów równa się -8 , a iloczyn środkowych równa się 0 . Znaleźć te liczby.

22. Trzy liczby :
    log(x - 3) , logx , log
    wzięte w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny . Oblicz x .

23. Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy
    , szósty wyraz ciągu jest równy
    . Wyznacz ten ciąg . Ile początkowych wyrazów ciągu należy wziąć , aby ich suma była równa 14650 ?

24. Liczby : 3 ,
    ,
    w podanej kolejności są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego . Wyznacz ten ciąg oraz oblicz sumę 11 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych .

25. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 12 , a iloczyn drugiego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równy 44 . Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 198 ? Oblicz sumę 17 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych .

26. Trzy liczby , których suma jest równa 7 tworzą ciąg geometryczny malejący . Największa

z nich jest iloczynem liczby
przez sumę pozostałych . Wyznacz te liczby .

27. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 2 . Suma pierwszych ośmiu wyrazów jest 5 razy większa od sumy pierwszych czterech wyrazów . Obliczyć dziewiąty wyraz tego ciągu .

28. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 62 . Suma logarytmów dziesiętnych tych liczb jest równa 3 . Wyznacz ten ciąg .

29. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 62 . Druga z tych liczb jest równa iloczynowi pierwiastków równania
    . Znajdź te liczby . Podaj warunki rozwiązalności zadania .

30. Dla jakich wartości
    liczby :
    w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny ?

31. Trzy liczby dodatnie a , b , c tworzą ciąg geometryczny . Suma tych liczb jest równa 26 ,

a suma ich odwrotności wynosi 0,7(2) . Znajdź te liczby .

32. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny rosnący . Znajdź te liczby , jeżeli wiadomo , że
    i
    =100 .

33. W ciągu geometrycznym suma wyrazów pierwszego , trzeciego i piątego jest równa 182 , a suma wyrazów drugiego , czwartego i szóstego jest trzy razy większa . Znaleźć wyrazy tego ciągu .

34. Jeżeli do współczynników a , b , c równania kwadratowego
    dodamy odpowiednio 1 , -1 , 2 , to otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 2 . Znajdź to równanie , jeśli iloczyn jego pierwiastków jest równy 6 .

35. Objętość prostopadłościanu równa się 216 cm
    , a pole powierzchni całkowitej 252 cm
    . Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu , jeżeli wiadomo , że tworzą one ciąg geometryczny .

36. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a
    ) , w którym wyrazy
    spełniają warunki :
    ,
    . Wyznacz pierwszy wyraz
    i różnicę ciągu a
    .

1. Wyznacz wszystkie wyrazy ciągu ( a
   ) , które należą do przedziału (700 , 707) .

2. Dla jakich wartości n ( n
   1 ) wyrazy
   w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny ?

37. Dany jest ciąg ( a
    ) o wyrazie ogólnym
    .

a) Wyrazy
i a

są odpowiednio pierwszym i drugim wyrazem pewnego
nieskończonego ciągu geometrycznego ( b
) . Wyznacz wszystkie wartości x ,
które spełniają nierówność : 0 < S - b
< 8 , gdzie S jest sumą wszystkich wyrazów
ciągu ( b
).

b) Dla x = 1 zbadaj monotoniczność ciągu ( a
) oraz sprawdź , czy ciąg

jest ciągiem arytmetycznym .

38. Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego ( a
    ) jest równy 8 . Wyznacz iloraz tego ciągu wiedząc , że ciąg ( 8 ,
    ) jest malejącym ciągiem arytmetycznym .

a) Wyznacz wyrazy ciągu ( a
), które mają wartość większą niż :

.

2. Dla jakiej wartości n spełnione jest równanie :
   , gdzie S jest sumą wszystkich wyrazów ciągu ( a
   ) a S
   sumą jego czterech początkowych wyrazów ?

39.Dany jest ciąg liczbowy ( a
) określony wzorem ogólnym
dla n
. Wykaż ,
że ciąg ( a
) jest ciągiem geometrycznym .

a) Dla jakiego n zachodzi związek : S - S
= 2 , gdzie S jest sumą wszystkich
wyrazów , a S
jest sumą n początkowych wyrazów ciągu ( a
) .

2. Jakie dwie liczby x i y należy wstawić między pierwszy i trzeci wyraz danego ciągu geometrycznego , aby ciąg (
   ) był ciągiem arytmetycznym ?

40. Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego ( a
    ) wynosi 124 , a suma wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 125 . Oblicz pierwszy wyraz
    i iloraz ciągu geometrycznego ( a
    ) .

1. Sprawdź , czy istnieje takie n , dla którego
   
   .

2. Jakie dwie liczby x i y należy wstawić pomiędzy pierwszy i trzeci wyraz ciągu (a
   ), aby ciąg ( a
   ,x , y , a
   )był ciągiem arytmetycznym ?

41. W ciągu arytmetycznym (a
    ) wyraz pierwszy jest równy -21 , a różnica r równa się 3 .

1. Dla jakiej wartości n wyrażenie
   równa się -5 ?

2. Dla jakiego n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest większa od -75 ?

3. W ciągu geometrycznym ( b
   ) o ilorazie q , wyraz pierwszy b
   jest równy 3 ?Dla jakich wartości ilorazu q piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy dwunastemu wyrazowi danego ciągu arytmetycznego ?

42. Ciąg ( a
    ) określony jest wzorem
    .

a) Wyznacz wartości parametru k , dla których granica ciągu ( a
) jest liczbą
niewiększą niż pierwiastek równania :

.

b) Zbadaj monotoniczność ciągu ( a
) przyjmując za k największą liczbę
całkowitą spośród wyznaczonych wartości parametru k .

c) Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów ciągu ( a
) .

d) Który wyraz ciągu ( a
) jest równy zero ?

43. Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 15 . Liczba środkowa
zmniejszona o 2 tworzy z pozostałymi ciąg geometryczny . Znajdź te liczby .

44.Trzy liczby , których suma jest równa 21 , tworzą ciąg arytmetyczny . Jeżeli od trzeciej
liczby odejmiemy 1 , od drugiej 4 , a do pierwszej 3 , to otrzymane liczby utworzą ciąg
geometryczny . Znajdź te liczby .

45. Skończony ciąg arytmetyczny ma 11 wyrazów . Pierwszy wyraz jest równy 24 . Pierwszy ,
piąty i jedenasty wyraz tego ciągu tworzą ciąg geometryczny . Oblicz sumę ciągu
arytmetycznego .

46. Trzy liczby , których suma jest równa 35 są pierwszym , drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego . Jeżeli od pierwszej z tych liczb odejmiemy 2 , od drugiej 3 , a od trzeciej 9 , to otrzymamy pierwsze trzy wyrazy ciągu arytmetycznego . Wyznacz te ciągi i dla każdego z nich oblicz S
    .

47. Ciągi arytmetyczny i geometryczny mają równe pierwsze wyrazy wynoszące 3 oraz równe trzecie wyrazy . Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 6 większy od wyrazu ciągu geometrycznego . Znajdź te ciągi .

48. Dane są cztery liczby . Trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny , trzy ostatnie ciąg arytmetyczny . Suma liczb skrajnych jest równa 14 , natomiast suma liczb środkowych 12 . Znajdź te liczby .

49. Trzy liczby , których suma jest równa 42 , tworzą ciąg geometryczny . Jednocześnie liczby te są pierwszym , czwartym i szesnastym wyrazem ciągu arytmetycznego . Znajdź te liczby.

50. Pierwszy , trzeci i trzynasty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego o wyrazach dodatnich , tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny . Piąty wyraz tego ciągu arytmetycznego jest odwrotnością ułamka okresowego 0,(11) . Suma ilu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 36 ?

51. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny , którego suma równa się mniejszemu pierwiastkowi równania
    . Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio 2 , 7 i 24 , to otrzymamy wyrazy ciągu geometrycznego . Znaleźć te liczby .

52. Ciąg arytmetyczny składa się z pięciu wyrazów , których suma równa się pierwiastkowi równania
    , a ostatni wyraz jest równy sumie nieskończonego ciągu geometrycznego
    . Wyznacz ten ciąg .

53. Następujące liczby przedstaw w postaci ułamków zwykłych :

1. 0,(6)

2. 2,(15)

3. 4,(3) - 0,(14) + 0,(12)

54. Wyznacz wartości x , dla których ciąg geometryczny nieskończony
    jest zbieżny i jego suma jest równa 1 + x .

55. Rozwiąż równania :

a)
.

b)
.

c)
.

56. Rozwiąż nierówność :
    , gdzie lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego do zera .

57. Rozwiąż nierówność :
    , gdzie x
    
    .

35

---