Dla jakich wartości parametru p ciąg a
= 
CIĄGI - zadania
Dla jakich wartości parametru p ciąg a
=
a) ma granicę równą 2
b) ma granicę niewłaściwą +
.
Zbadaj monotoniczność i oblicz granicę ciągu (a
) danego wzorem
a
= 
.
Dany jest ciąg a
.
Dla jakiej wartości parametru p granicą tego ciągu jest 
?
Dla otrzymanej wartości p naszkicuj wykres tego ciągu , gdzie n
{1,2,3,4}.
Dla jakich wartości parametru k ciąg a
ma granicę równą 4 ?
Zbadaj , czy ciąg określony wzorem
a) a
b) a
jest ciągiem arytmetycznym .
W ciągu arytmetycznym a
i 
. Wyznacz sumę pierwszych dwudziestu wyrazów tego ciągu .
W ciągu arytmetycznym suma wyrazu drugiego i szóstego równa się -2 , a suma wyrazu piątego i siódmego równa się -22 .
Oblicz wyraz dwudziesty
Oblicz sumę wyrazów od wyrazu dziewiątego do wyrazu szesnastego włącznie
Ile początkowych wyrazów ciągu daje w sumie -85 ?
Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 21 , a suma siedmiu pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 105 . Suma ilu pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 273 ?
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest liczbą p = 
, a wyraz szósty rozwiązaniem równania 
. Wyznacz ten ciąg . Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu .
Ile wyrazów ciągu arytmetycznego , w którym a
= -20 , r = 4 należy dodać , aby ich suma była równa granicy ciągu 
?
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych , które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1 .
Rozwiąż równanie : 1+ 4 + + 7 + … + ( 1 + 3n ) = 176 .
Pierwszy wyraz skończonego ciągu arytmetycznego wynosi 30 , różnica ciągu r = -3 , ostatni wyraz stanowi 
sumy wszystkich poprzednich wyrazów Znajdź ilość wyrazów
i sumę ciągu .
Wiedząc , że x + y , 3x + 2y + 1 , x
+ 4y + 5x są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego , obliczyć dla jakich x ciąg ten jest rosnący .
Jednym z pierwiastków trójmianu kwadratowego y = ax
+ bx + c jest -3 . Współczynniki tego trójmianu tworzą ciąg arytmetyczny którego suma wynosi 24 . Oblicz drugi pierwiastek tego trójmianu .
Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego wiedząc , że tworzą one ciąg arytmetyczny , a obwód trójkąta wynosi 120 .
Suma czterech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy 2 jest równa 8 . Dwa pierwsze wyrazy ciągu są pierwiastkami wielomianu W(x) = 
. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu .
Jedno z rozwiązań równania 
z niewiadomą x wynosi 4 . Liczby a, b,c tworzą ciąg arytmetyczny , w którym pierwszy wyraz jest o sześć większy od trzeciego . Znajdź drugie rozwiązanie równania .
Dla jakich wartości x liczby log2 , log (2
- 2) i log (2
+ 10) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego ? Oblicz różnicę tego ciągu .
Oblicz piąty wyraz ciągu arytmetycznego : 
wiedząc , że 
=
oraz x
=
.
Logarytmy przy podstawie 2 czterech liczb tworzą ciąg arytmetyczny , w którym iloczyn skrajnych wyrazów równa się -8 , a iloczyn środkowych równa się 0 . Znaleźć te liczby.
Trzy liczby : 
log(x - 3) , logx , log
wzięte w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny . Oblicz x .
Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 
, szósty wyraz ciągu jest równy 
. Wyznacz ten ciąg . Ile początkowych wyrazów ciągu należy wziąć , aby ich suma była równa 14650 ?
Liczby : 3 , 
, 
w podanej kolejności są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego . Wyznacz ten ciąg oraz oblicz sumę 11 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych .
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 12 , a iloczyn drugiego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równy 44 . Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 198 ? Oblicz sumę 17 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych .
Trzy liczby , których suma jest równa 7 tworzą ciąg geometryczny malejący . Największa
z nich jest iloczynem liczby 
przez sumę pozostałych . Wyznacz te liczby .
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 2 . Suma pierwszych ośmiu wyrazów jest 5 razy większa od sumy pierwszych czterech wyrazów . Obliczyć dziewiąty wyraz tego ciągu .
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 62 . Suma logarytmów dziesiętnych tych liczb jest równa 3 . Wyznacz ten ciąg .
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 62 . Druga z tych liczb jest równa iloczynowi pierwiastków równania 
. Znajdź te liczby . Podaj warunki rozwiązalności zadania .
Dla jakich wartości 
liczby : 
w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny ?
Trzy liczby dodatnie a , b , c tworzą ciąg geometryczny . Suma tych liczb jest równa 26 ,
a suma ich odwrotności wynosi 0,7(2) . Znajdź te liczby .
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny rosnący . Znajdź te liczby , jeżeli wiadomo , że 
i 
=100 .
W ciągu geometrycznym suma wyrazów pierwszego , trzeciego i piątego jest równa 182 , a suma wyrazów drugiego , czwartego i szóstego jest trzy razy większa . Znaleźć wyrazy tego ciągu .
Jeżeli do współczynników a , b , c równania kwadratowego 
dodamy odpowiednio 1 , -1 , 2 , to otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 2 . Znajdź to równanie , jeśli iloczyn jego pierwiastków jest równy 6 .
Objętość prostopadłościanu równa się 216 cm
, a pole powierzchni całkowitej 252 cm
. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu , jeżeli wiadomo , że tworzą one ciąg geometryczny .
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a
) , w którym wyrazy 
spełniają warunki : 
, 
. Wyznacz pierwszy wyraz
i różnicę ciągu a
.
Wyznacz wszystkie wyrazy ciągu ( a
) , które należą do przedziału (700 , 707) .
Dla jakich wartości n ( n 
1 ) wyrazy 
w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny ?
Dany jest ciąg ( a
) o wyrazie ogólnym 
.
a) Wyrazy 
i a
są odpowiednio pierwszym i drugim wyrazem pewnego
nieskończonego ciągu geometrycznego ( b
) . Wyznacz wszystkie wartości x ,
które spełniają nierówność : 0 < S - b
< 8 , gdzie S jest sumą wszystkich wyrazów
ciągu ( b
).
b) Dla x = 1 zbadaj monotoniczność ciągu ( a
) oraz sprawdź , czy ciąg 
jest ciągiem arytmetycznym .
Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego ( a
) jest równy 8 . Wyznacz iloraz tego ciągu wiedząc , że ciąg ( 8 , 
) jest malejącym ciągiem arytmetycznym .
a) Wyznacz wyrazy ciągu ( a
), które mają wartość większą niż :
.
Dla jakiej wartości n spełnione jest równanie : 
, gdzie S jest sumą wszystkich wyrazów ciągu ( a
) a S
sumą jego czterech początkowych wyrazów ?
39.Dany jest ciąg liczbowy ( a
) określony wzorem ogólnym 
dla n
. Wykaż ,
że ciąg ( a
) jest ciągiem geometrycznym .
a) Dla jakiego n zachodzi związek : S - S
= 2 , gdzie S jest sumą wszystkich
wyrazów , a S
jest sumą n początkowych wyrazów ciągu ( a
) .
Jakie dwie liczby x i y należy wstawić między pierwszy i trzeci wyraz danego ciągu geometrycznego , aby ciąg ( 
) był ciągiem arytmetycznym ?
Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego ( a
) wynosi 124 , a suma wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 125 . Oblicz pierwszy wyraz
i iloraz ciągu geometrycznego ( a
) .
Sprawdź , czy istnieje takie n , dla którego 
.
Jakie dwie liczby x i y należy wstawić pomiędzy pierwszy i trzeci wyraz ciągu (a
), aby ciąg ( a
,x , y , a
)był ciągiem arytmetycznym ?
W ciągu arytmetycznym (a
) wyraz pierwszy jest równy -21 , a różnica r równa się 3 .
Dla jakiej wartości n wyrażenie 
równa się -5 ?
Dla jakiego n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest większa od -75 ?
W ciągu geometrycznym ( b
) o ilorazie q , wyraz pierwszy b
jest równy 3 ?Dla jakich wartości ilorazu q piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy dwunastemu wyrazowi danego ciągu arytmetycznego ?
Ciąg ( a
) określony jest wzorem 
.
a) Wyznacz wartości parametru k , dla których granica ciągu ( a
) jest liczbą
niewiększą niż pierwiastek równania :
.
b) Zbadaj monotoniczność ciągu ( a
) przyjmując za k największą liczbę
całkowitą spośród wyznaczonych wartości parametru k .
c) Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów ciągu ( a
) .
d) Który wyraz ciągu ( a
) jest równy zero ?
43. Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 15 . Liczba środkowa
zmniejszona o 2 tworzy z pozostałymi ciąg geometryczny . Znajdź te liczby .
44.Trzy liczby , których suma jest równa 21 , tworzą ciąg arytmetyczny . Jeżeli od trzeciej
liczby odejmiemy 1 , od drugiej 4 , a do pierwszej 3 , to otrzymane liczby utworzą ciąg
geometryczny . Znajdź te liczby .
45. Skończony ciąg arytmetyczny ma 11 wyrazów . Pierwszy wyraz jest równy 24 . Pierwszy ,
piąty i jedenasty wyraz tego ciągu tworzą ciąg geometryczny . Oblicz sumę ciągu
arytmetycznego .
Trzy liczby , których suma jest równa 35 są pierwszym , drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego . Jeżeli od pierwszej z tych liczb odejmiemy 2 , od drugiej 3 , a od trzeciej 9 , to otrzymamy pierwsze trzy wyrazy ciągu arytmetycznego . Wyznacz te ciągi i dla każdego z nich oblicz S
.
Ciągi arytmetyczny i geometryczny mają równe pierwsze wyrazy wynoszące 3 oraz równe trzecie wyrazy . Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 6 większy od wyrazu ciągu geometrycznego . Znajdź te ciągi .
Dane są cztery liczby . Trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny , trzy ostatnie ciąg arytmetyczny . Suma liczb skrajnych jest równa 14 , natomiast suma liczb środkowych 12 . Znajdź te liczby .
Trzy liczby , których suma jest równa 42 , tworzą ciąg geometryczny . Jednocześnie liczby te są pierwszym , czwartym i szesnastym wyrazem ciągu arytmetycznego . Znajdź te liczby.
Pierwszy , trzeci i trzynasty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego o wyrazach dodatnich , tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny . Piąty wyraz tego ciągu arytmetycznego jest odwrotnością ułamka okresowego 0,(11) . Suma ilu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 36 ?
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny , którego suma równa się mniejszemu pierwiastkowi równania 
. Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio 2 , 7 i 24 , to otrzymamy wyrazy ciągu geometrycznego . Znaleźć te liczby .
Ciąg arytmetyczny składa się z pięciu wyrazów , których suma równa się pierwiastkowi równania 
, a ostatni wyraz jest równy sumie nieskończonego ciągu geometrycznego 
. Wyznacz ten ciąg .
Następujące liczby przedstaw w postaci ułamków zwykłych :
0,(6)
2,(15)
4,(3) - 0,(14) + 0,(12)
Wyznacz wartości x , dla których ciąg geometryczny nieskończony 
jest zbieżny i jego suma jest równa 1 + x .
Rozwiąż równania :
a) 
.
b) 
.
c) 
.
Rozwiąż nierówność : 
, gdzie lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego do zera .
Rozwiąż nierówność : 
, gdzie x 
.
35