Ciągi. Indukcja. Kombinatoryka.

1. Podać i udowodnić wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

2. Udowodnić metodą indukcji matematycznej, że liczba postaci n3 − n, n ∈ N jest podzielna przez 6.

(n + 1)! 2n

3. Uprościć wyrażenie

.

(2n)!

n

n

4. Podać liczby naturalne spełniające nierówność

− n ¬ 14 .

2

n

n

n2 + 1

5. Rozwiązać równanie

+

=

.

n − 2

n − 1

2

6. Ile liczb parzystych 4–cyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3?

7. Proste l1, l2, l3 są równoległe i leżą w jednej płaszczyźnie. Na prostej l1 wzięto 3 punkty, na l2 wzięto 4

punkty, na l3 wzięto 5 punktów. Ile istnieje co najwyżej trójkątów o wierzchołkach w tych punktach?

8. Oblicz (2x − 1)6

9. W rozwinięciu (1 + x)n współczynnik przy x20 jest równy współczynnikowi przy x50 . Obliczyć n .

10. Ile wszystkich podzbiorów ma zbiór n–elementowy?

11. Na okręgu dany jest zbiór złożony z 10 punktów. Ile jest różnych wielokątów o wierzchołkach należących do tego zbioru?

12. Wyznaczyć wszystkie wielokąty wypukłe, w których liczba przekątnych jest 3 razy większa od liczby wierzchołków.

13. Dla jakich x ∈ R ciąg 2 log x, log (x − 1), − log 4 jest ciągiem arytmetycznym?

3

3

3

14. Wykazać, że jeżeli trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, to ich logarytmy tworzą ciąg arytmetyczny.

15. Znajdź ciąg arytmetyczny, dla którego przy dowolnym naturalnym n suma n pierwszych wyrazów o nu-merach parzystych jest równa 2n2.

16. Suma n początkowych wyrazów ciągu (a ) wyraża się wzorem: S = n(n + 2). Uzasadnić, że ciąg (a ) n

n

n

jest ciągiem arytmetycznym. Obliczyć a10 + a11 + · · · + a20.

17. Znaleźć ciąg arytmetyczny, jeżeli suma n pierwszych jego wyrazów równa jest n2 + n dla każdego natu-ralnego n.

18. Obliczyć sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 4 wynosi 1.

19. Suma trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 21, a suma trzech następnych jest równa 168. Który wyraz ciągu jest równy 192?

20. Iloczyn siódmego i trzynastego wyrazu ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich jest równy 100. Znaleźć iloczyn dziewiętnastu początkowych wyrazów tego ciągu.

21. Trzecim wyrazem ciągu geometrycznego jest liczba 2. Obliczyć iloczyn pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu.

22. Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest liczbą naturalną spełniającą równanie n = 10 . Iloraz tego ciągu wynosi 1 . Obliczyć sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

2

2

23. Rozwiązać równanie

x2

x3

x4

x + 1

1

1

1

a) x +

+

+

+ . . . =

,

b)

+

+

+ · · · = 2 .

2

4

8

3

log x

log x2

log x4

1

1

1

24. Rozwiązać nierówność f (x) < x + 2, gdzie f (x) =

−

+

− . . ..

x + 1

(x + 1)2

(x + 1)3

3 − n

25. Dany jest ciąg (a ), gdzie a =

cos nπ dla n ∈ N . Zbadać monotoniczność ciągu (b ), w którym n

n

n

n

b = a

n

2n

1 dla każdego n ∈ N .

−

1

1

1

26. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu (a ) gdzie a =

+

+ · · · +

.

n

n

n + 1

n + 2

2n

KursPG.W G.