Zad. 0. Zdarzenia losowe A,  B są zawarte w Ω. Liczby P(A∩B), P(A), P(B) są w podanej kolejności pierwszym, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego oraz P(A ∪ B)=0,65 i P(B ∖ A)=0,3. Oblicz P(A′∪B).

Zad. 1. Udowodnić, że jeżeli (a_n) i (b_n) są ciągami arytmetycznymi i c_n=a_nb_n i r_n=c_n-1-c_n, to (r_n) jest ciągiem arytmetycznym. Znaleźć różnice tego ciągu.

Zad. 2. Pokazać, że jeżeli liczby a₁, a₂, … a_n tworzą ciąg arytmetyczny, to $\frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}} + \sqrt{a_{n}}} = \frac{n - 1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{n}}}$.

Zad. 3. Obliczyć trzeci wyraz ciągu (2^x₁, 2^x₂,  2^x₃,  …), wiedząc, że jest to ciąg geometryczny i zachodzi x₁+x₂+…+x₁₁=110 oraz x₇=14.

Zad. 4. Czy liczby 11, 12, 13 mogą być wyrazami jednego ciągu geometrycznego? Uzasadnij.

Zad. 5. Długości boków a,  b,  c trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zaś h jest długością wysokości opuszczonej na bok długości b. Dowieść, że h = 3r, gdzie r jest długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zad. 6. Dowieść, że $\sqrt{44,444\ldots} = 6,666\ldots$.

Zad. 7. Dla jakich wartości parametru a równanie $\frac{\cos x}{2} + \frac{\operatorname{}x}{2} + \ldots = a^{2} - 2$ równanie nie ma rozwiązań?

Zad. 8. Dla x należącego do dziedziny funkcji y = f(x) spełniona jest równość 1 + f(x) + [f(x)]² + … = x² − 1. Wyznaczyć wzór i dziedzinę funkcji f(x).

Zad. 9. Dowieść, że jeśli liczby dodatnie a, b, c, d SA kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q≠1, to zachodzi a+d>b+c.

Zad. 10. Rozwiązać równanie $2^{x} + 2^{3x} + 2^{5x} + \ldots = 2\sqrt{3}$.

Zad. 11. Obliczyć sumę tych wszystkich liczb naturalnych nie większych od 200, które nie są podzielne ani przez 4. Ani przez 6.

Zad. 12. W pewnym ciągu arytmetycznym między sumami wyrazów zachodzi równość S_m = S_n,  m ≠ n. Wykaż, że S_m + n = 0.

Zad. 13. W ciągu geometrycznym (1, x, x², … x²ⁿ), gdzie n jest liczbą naturalną, iloczyn wyrazów o numerach nieparzystych jest równy 64, a iloczyn wyrazów pozostałych 32. Wyznacz n, x.

Zad. 14. Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą naturalną nieparzystą i każda z liczb 1, 2, 3, …n jest wyrazem ciągu (a₁,a₂,…,a_n), to liczba (a₁-1)(a₂-2)…(a_n-n) jest parzysta.

Zad. 15. Iloraz ciągu geometrycznego jest równy $q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Wykazać, że każdy (poza pierwszym) wyraz tego ciągu jest równy różnicy wyrazów następnego i poprzedniego.