‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ ZADANIA

CIGI LICZBOWE

1. Obliczy¢ granice ci¡gów:

a) a

n

=

3+

√

n

1−3n

,

b) b

n

=

√

n + 2 −

√

n,

c) c

n

=

1

√

4n

2

+3n−2n

,

d) d

n

=

√

n

2

+4

3n−2

,

e) e

n

=

q

3n−2
n+10

,

f ) f

n

=

√

1+2n

2

−

√

1+4n

2

n

, g) g

n

=

√

n

2

− 1 − n,

h) h

n

=

√

n

2

+5−n

√

n

2

+5+n

,

i) i

n

=

√

n

2

+ n − n,

j) j

n

=

(3−

√

n)

2

5+4n

,

k) k

n

=

√

2n − 1 −

√

n + 7, l) l

n

=

1

√

n

2

+6−n

,

m) m

n

=

√

9n

2

+ 1 − 3n, n) n

n

=

√

3n

2

+5−n

3n+1

,

o) o

n

=

√

4n

2

+9

2n+1

,

p) p

n

=

2+

√

n

1−2n

.

2. Obliczy¢ granice ci¡gów:

a) a

n

=

4

n−1

+5

2

2n

−7

, b) b

n

=

3
2

n

·

2

n+1

−1

3

n+1

−1

, c) c

n

=

5·3

2n

−1

4·9

n

+7

,

d) d

n

=

4·3

n+2

+2·4

n

5·2

n

+4

n+2

,

e) e

n

=

4−6

n

8

n

−16

n

,

f ) f

n

=

2

n

+(−2)

n

2

2n

,

g) g

n

=

1−7·3

2n

4·9

n

+7

, h) h

n

=

3

n

+5

n

6

n

−2

n

.

3. Obliczy¢ granice ci¡gów:

a) a

n

=

1 +

1

n

−2n

,

b) b

n

=

n

2

+6

n

2

n

2

,

c) c

n

=

n+5

2n+1

3n+2

,

d) d

n

=

1 +

2

n

n

,

e) e

n

=

1 −

1

n

n

,

f ) f

n

=

1 +

1

n

2

n

, g) g

n

=

n+2

n

n

,

h) h

n

=

1 −

1

n

2

n

,

i) i

n

=

1 −

4

n

−n+4

, j) j

n

=

n

2

+2

2n

2

+1

n

2

,

k) k

n

=

2n+5
3n+7

3n−4

,

l) l

n

=

n

2

+3

n

2

+1

2n

2

+5

,

m) m

n

=

n

n−6

2n

,

n) n

n

=

n−1
n+2

n

,

o) o

n

=

1 +

4

n

2

+3

2n

2

−4

, p) p

n

=

3n+2
3n+1

n

.

4. Obliczy¢ granice ci¡gów:

a) a

n

=

n

pπ

n

+ 3

n

+ (3, 14)

n

, b) b

n

=

n

√

5 · 7

7

+ 7 · 5

n

,

c) c

n

=

n

q

1
3

n

+ n,

d) d

n

=

n

√

2 · 3

n

+ 4 · 7

n

,

e) e

n

=

n

√

3n + sin n,

f ) f

n

=

n

q

1
2

n

+ 2n,

g) g

n

=

n

√

e

n

+ 3

n

,

h) h

n

=

n

√

2n + n

2

,

i) i

n

=

n

√

n

2

+ 5n − 10,

j) j

n

=

n

√

10

n

+ 9

n

+ 8

n

,

k) k

n

=

n

q

1
2

n

+

2
3

n

+

3
5

n

, l) l

n

=

n

p2

n

+ (−1)

n

.

5. Obliczy¢ granice ci¡gów:

1)

10000n

n

2

+1

;

2)

5n

2

+n−3

15n

2

−7

;

3)

√

n + 2 −

√

n;

4)

√

3n

2

+ 2n − 5 − n

√

3;

5)

√

n

2

+1+

√

n

n−

3

√

n

2

+8

;

6)

3

q

n+1

3n+2

;

7)

3

√

n

3

+ 5n − n;

8)

√

n(

√

n + 2 −

√

n);

9) (

3n+2
10+n

)

4

;

10)

(−1)

n

2n−1

;

11)

sin n

n

;

12)

3

√

n sin(n!)

n

;

13) (−1)

n+1

(

2
3

)

n

;

14) (−

3
5

)

n

;

15) (−

5
3

)

n

;

16)

3

n+1

+2

n+1

3

n

+2

n

;

17)

2

n

+(−1)

n

2

n

+1

;

18)

3·2

2n+2

−10

5·4

n+4

+3

;

19) (

3
2

)

n

·

2

n+1

−1

3

n+1

−1

;

20)

(−2)

n

+3

n

(−2)

n+1

+3

n+1

;

21)

2

n

+2n!

3

n

+5

;

22)

(n+1)!+(n+2)!

n!+(n+3)!

.

1

6. Obliczy¢ granice ci¡gów:

1)

n

√

2

n

+ 3

n

;

2)

n

√

4

n

+ 6

n

;

3)

n

q

3

n

+ (

1
2

)

n

+ 9

n

;

4)

n sin 2

n

n

2

+1

;

5)

2n

√

n

2

+sin n+n

;

6)

n+sin n

n

;

7)

1

√

n

2

+1

+

1

√

n

2

+2

+

1

√

n

2

+3

+ . . . +

1

√

n

2

+n

; 8)

1 +

5

n

n

;

9)

n+9

n

n

;

10)

1 −

1

n

n

; 11)

1 −

3

n

2

n

;

12)

n

n+1

n

;

13)

n

2

+2

2n

2

+1

n

; 14)

ln(1+

6

n

)

1

n

;

15) n(ln(n + 1) − ln n).

7. Znale¹¢ punkty skupienia ci¡gu, wskaza¢ granic¦ górn¡ i doln¡:

1) 1 −

1

n

;

2) (−1)

n−1

(2 +

3

n

);

3) 1 +

n

n+1

cos

nπ

2

;

4) 1 + 2(−1)

n+1

+ 3(−1)

n(n−1)

2

; 5) {

1
2

,

1
2

,

1
4

,

3
4

,

1
8

,

7
8

, . . . ,

1

2

n

,

2

n

−1

2

n

, . . .}.

8. Korzystaj¡c z denicji granicy ci¡gu wykaza¢, »e:

a. lim

n→∞

n

n+1

= 1

b. ci¡g a

n

= {0, 1, 0, 1, . . .}

nie ma granicy

c. ci¡g a

n

= {(−2)

n

}

nie ma granicy

d. lim

n→∞

(

√

n

2

+ 1 − n) = 0

e. ci¡g a

n

= {(−1)

n

+

(−1)

n+1

n

}

nie ma granicy

f. lim

n→∞

(

2n

n

3

+1

) = 0

g. lim

n→∞

(−1)

n

n

= 0

h. lim

n→∞

x

n

= a

to lim

n→∞

|x

n

| = |a|

. Czy implikacja przeciwna jest prawdziwa?

9. Ci¡gi {a

n

}

, {b

n

}

okre±lamy nast¦puj¡co: a

1

= a

, b

1

= b

, a

n+1

=

a

n

+b

n

2

, b

n+1

=

a

n+1

+b

n

2

.

Pokaza¢, »e je±li oba ci¡gi s¡ zbie»ne, to lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

b

n

.

10. Wykaza¢, »e je±li {a

n

}

jest ci¡giem zbie»nym, to lim

n→∞

(a

n+1

− a

n

) = 0

. Czy twierdzenie

odwrotne jest prawdziwe?

11. Czy mozliwe jest, »e:

•

prawie wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ mniejsze od 3 i jest niesko«czenie wiele wyrazów

ciagu wi¦kszych od 4

•

prawie wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ ujemne i jest 1000 wyrazów ci¡gu dodatnich

•

jest niesko«czenie wiele wyrazów ci¡gu nieparzystych i niesko«czenie wiele wyrazów

ciagu podzielnych przez 4

•

jest niesko«czenie wiele wyrazów ci¡gu, które s¡ liczbami wymiernymi i prawie

wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ postaci n

√

2

, gdzie n jest liczb¡ naturaln¡?

2

12. Pokaza¢, »e:

1) lim

n→∞

n

√

n = 1

;

2) lim

n→∞

1

n

√

n!

= 0

;

3) lim

n→∞

a

n

n!

= 0

.

13. Pokaza¢, »e podane ci¡gi s¡ zbie»ne:

1) a

n

= (1 +

1

n

);

2) (1 +

1
2

)(1 +

1
4

) . . . (1 +

1

2

n

); 3)

q

2 +

p

2 + . . . +

√

2;

4)

sin 1

2

+

sin 2

2

2

+ . . . +

sin n

2

n

; 5)

cos 1!

1·2

+

cos 2!

2·3

+ . . . +

cos n!

n(n+1)

; 6) 1 +

1

2

2

+

1

3

2

+ . . . +

1

n

2

.

14. Korzystaj¡c z warunku Cauchy'ego pokaza¢, »e nast¦puj¡ce ci¡gi nie s¡ zbie»ne:

1) x

k

= 1 +

1
2

+ . . . +

1
k

;

2) x

n

= 1 +

1

ln 2

+

1

ln 3

+ . . . +

1

ln n

.

15. Pokaza¢, »e je±li a

n

→ 0

oraz ci¡g {b

n

}

jest ograniczony, to a

n

b

n

→ 0

.

16. Skonstruowa¢ przykªad ci¡gu, który:

a) nie ma punktów skupienia;
b) ma dokªadnie jeden punkt skupienia, ale nie jest zbie»ny;
c) ma niesko«czenie wiele punktów skupienia;
d) ma jako punkty skupienia wszystkie liczby wymierne (rzeczywiste).

17. Wykaza¢ zbie»no±¢ i obliczy¢ granic¦ nast¦puj¡cych ci¡gów okre±lonych rekurencyjnie:

a) a

1

=

√

c

, a

n+1

=

√

c + a

n

;

b) b

1

= 0

, b

2

= 1

, b

n

=

1
2

(b

n−1

+ b

n−2

)

.

3