60891

•    Fakt 1.2.3 (całka lónnuutiu o zmiennych tnzAnclont/chJ

Jeżeli funkcjr p(t) i A({/) są ciągłe, przy czym /»(>) ^ O dla każdego y, to całka równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (S) dtniu jest wzorem

gdzie C jtat dowolną stałą rzeczywisty

*    Definicja 1.4.1 (równanie różniczkowe firnowe/

Równanie różniczkowe, które można zapinać w postaci

(L)    = 4(0.

nazywamy równaniem liniowym pierwszego rzędu Jeżeli ę!0 £ 0, to równanie nazywamy liniowym niejednorodnym. W przeciwnym przypadku uazywamy je równaniem liniowym jednorodnym.

Uwaga. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne jest szczególną postacią równania o zmiennych rozdzielonych y^r = g(t)h(y), w którym przyjęto <j(t) = -p(0.

My)»y-

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci

3)    v +- *(«)/.

gdzie r € X \ {0,1}, nazywamy równaniem Bcmouiliego.

Uwaga. Gdyby dopuścić r 0, to otrzymalibyśmy równanie różniczkowa liniowe niejednorodne postaci y' -ł- p(ł)y — h(f). Natomiast dla r = 1 dostalibyśmy równanie różniczkowa liniowe jednorodne postaci y t p[t)y — 0. gdzie p(f) « p'j) — Znuważmy jeszcze, ze dla r > 0 funkcja y(l) = 0 jest jednym z rozwiązań równania Uernoulbego.

Fakt 1.5.2 (sprowadzanie róumanla Br.moulhcgo do równania łtni&wego)

Równanie różniczkowe liernoullicgo (B) przez zamianę zmiennych

* • y'~^r

sprowadza się do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego pomad s' + (l-r)y(f)a^(l-r>A{t).

Mklkja 1.Ś.1 /rriuWJTUZ rtfrrjK •*<>»< łtryraynr arnj^-fw nyuu,

Równanie

(RB)    »" = /(*-!».✓)

■Uizy .'sinv rOwuanictn różniczkowym z^crejnytn dmgisgo reędu a post.icl aur-

malncg.

Uwaga. Nąjagóliwąjtsą formą równania róża.czkowrKo diugicgo r*ędi* jr*t lówna-

nir- pcrtUci

Pojęcia wstąpre aa równan roziuczkowyen cmt**«go rzętni    Si

lnf>ivąl mówiąc równanie różni czkuv.« dr ugięto rzędu wiąże zmienuą niezaLeżną f.

/.interną a&kóną y i jej ul lic pochodne y'. y"

» Definicja 1.8.2 f'»rwH*w!ie równmiia rcżmcjkoirtęo dmętrąo rz&tt)

Rinkcj? [Al) r używamy nawiązaniem nn prrrrinalr (n, 6) równańin różnindenwefo (KR). jeżeli na tym przedziale jen one dwukrotnie różniczkowalna i zamienia co bananie w UdMiiKdć

✓'(*)■ /(*.»(«>. At».

WrkrSi rozwiązania równania różni orkowego nazywamy jego krzywą całkową.