3803952802

Rozdział 3

Aproksymacja średnimi

Metody zaprezentowane w tym rozdziale stosowane samodzielnie mają bardzo ograniczone zastosowanie w przewidywaniu preferencji. Zostały one jednak umieszczone w tej pracy, gdyż stanowią podstawowy, bardzo istotny element wstępnego przetwarzania danych. Przy okazji ich wprowadzania pojawia się także kilka idei wykorzystywanych później (np. regularyzacja).

3.1. Globalna średnia

Najprostszym możliwym modelem sposobu ludzkiego oceniania, który można zastosować w odniesieniu do konkursu Netflix jest:

fij = c,    (3.1)

gdzie c jest pewną stałą wspólną dla wszystkich ocen.

Chcąc dobrać parametry naszego modelu tak, aby zminimalizować wartość RMSE na zbiorze A łatwo pokazać, że należy przyjąć:

^{c =} 777 Y, ^ry    (3-2)

¹¹ (M)eA

Dowód. Zauważmy, że chcąc znaleźć minimum RMSE wystarczy znaleźć minimum sumy: E (ń/-^r«)²=    (3.3)

(iJ)eA

= E (c-nj)²=    (3.4)

(*d)&A

= Y C² - 2er„ + rj =    (3.5)

⁼ c2    Y    ¹~^2c Y ^rd+ Y ^rij    (³-⁶)

(*j)gA    (ij)eA (ij)ed

Jest to funkcja kwadratowa, a jej minimum jest oczywiście równe wskazanej w równaniu 3.1 wartości.

Powyższy fakt wydaje się być bardzo intuicyjny, jednak warto zauważyć, że np. zastosowanie normy |xr| zamiast x² powoduje, że nie jest to już optymalna wartość (w tym przypadku należałoby przyjąć jako c dowolną medianę wszystkich ocen).