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rćellc et qui ne reflótent pas moins s» finesse d’analystc oni ńtń deatinńs au volutne 2 do ces Oeurre* choitie* (Thłorie de* Ensemble* et *e* Application*), si Yftgue que paraisse la limite entre ce chapitre des mathńmatiqucs (oil la thćorie des enaemblea joue un rólc prńpondńrant) et Panalyse tra-ditionnelle.

Knfin, pour »e faire une idće des mńrites dp Wacław Sierpiński dans les recherches d’analyse il fant tenir eonipte de son livre Analiza [4]„qui abonde d’idńos originelles et qui comprend do nombreux de rćsultats contenus dans ses travaux antńricurs.

Ix? travaU [09] impressionne par la techniąue que 1’Auteur a utilisóe pour obtenir une fonction eontinue sana dńrivće finie ou infinie en partant d’une equation fonctionnelle. Ce mńmoire appartient certainement aux recherehes „contre-intuitm**", celles qu’ont eondamnćes si dćcisiveinent Poincare et Hermite et qui ont tent influcncń les dócouvertes <lu dńbut du siacie. Son rćsultat. fut amńliorń par A. 8. Besicoviteh qui a trouvć une fonction eontinue sans dńrivńe unilatćrale, finie ou infinie, k gauchc ou & droite et en n’importe quel point (cf. [XI |).

Les autres travaux d’analyse qu’on trouve ici dćrivent plutót d’une tendence comparatire eherchant a examiner les rap port s entre certaines importantes rćjrularitćs. Ainsi, par ezemple, le trarail [573] prtfeise lc rapport entre la conYergenee absolue, la oonvergence uniforme et la eonvcrgenoe commutative des sńries de fonctions. La dńinonstration du thńor^me principał repose sur un lemme arithmńtique qui aurait merita d’£tre publiń pour lui-meme. Dans les travaux [27] et [33] le thćorf-rue famę u x do Riemann sur la permutation des termes d’une sćrie se trouve amćliorń. Ce sujet est restń vivant jusqu'& nos jours grace au thtertme de Steinitz qui Pa tran&fćrń dans le domaine complexe (1913) et k plusieurs rćsultats ultćrieurs (cf. [II] ou [IV], par exemple).

L'exemple d’une sńrie enttere qui converge exactement en un point de son cercie de convergence (voir [57]), construit par Sierpiński a 1’aide d’un rósultat de Lusin, a M- reproduit par Landau dans sa revue des nouveaux rćsultats dans la thńoric des fonctions analytiques [V]. Au-jounPhui on en sait davantage. Par exemple, J. Staniszewska [XII] est parvenuo k caractńriser coinpletcincnt les ensembles des ]>oints de divergencc pour |sj ■■ 1 des sćries cntifcres des fonctions holomorphes k Pintćrieur du cercie unitń et continues pour |*j < 1. Tout ensemble a un point satisfait a ces conditions caractlristiques. Dans le travail [113] se manifcste le don de Sierpiński de proucer les thńorćmes d’ć&onoć ńlć-mentaire par des raoyens ćlćmentaircs — tendance qu’il a cultirće pendant toute sa vie et qui a marquć surtout ses rechercbes dans la thńorie des nombres.

Le sujet do [77] ne se rattache visiblement a aucun autre trarail de 1’Auteur. Le resultat n’en est pas moins remarquable: Ilarna«'k a prouvć en 1884 que si /"(x,) existe, alors

,_:m/^+2»-2/(«.+ _t)+/W __fw .

k~+    A*

Sierpiński a trouvń que Pezistence de oette limite n’entralne non seule-ment pas celle de /"(x,), ce qu’on navait djjk) mais non plus la eontinuitń de / pour I/ezemple de Sierpiński est une fonction non bornie. Pour une fonction bornie la seule condition

lim (/(x+2A)-2/(*+A)+/(x)) = 0

h-co

ent minę dćjśt la continuitć de / en point x„.

I/Auteur pose le probienie, si un rćsultat analogue subsiste encore pour la troisifcme diffńrcnce. La rćponse nńgative a trouYće par S. Mazurkiewicz [VI] qui a d’ailleurs r&olu le probtóme pour la n-i£me diffćrence ([VTI], voir aussi [Viri)).

A la thforie des nombres, ne fńt-ce que par son aspect gćnńral, se rattache bien le travail [2] qui gćnńralise certaines formule* classiques. Plusieurs autres travauz ont pour objet des dńveloppement* d’une validite gćnńrale des nombres rik*ls ou des nombres irrationnels en s^rics ou en pro-duits infinis ([13], [32], [44]). Dans [32], par ezcmple, Sierpiński dńmontre, en suivant une idóe de Cantor, que tout x irrationnel de(0, 1) s’ńcrit d’une faęon unique sous la formę

CO

^^,(-ł)"^łX‘ avec    > «.<«.+l).

n-l

La thńorie de la repr&entatfon des rćels par des „chiffres gćnćralisós” d<*rivant d’un procńdć algorithmique, ńtudióe par Sierpiński dans ces travaux et ailleurs, est encore en Tigucur dans les recherches contem-poraines (cf. les fractions continucs). Le travail [23] semble le plus signi-ficatif pour oette tendence. L’Auteur y ezaminc les dćvcloppemcnts des rńels en fractions „habit uelles” mais dont la base fi est arbitraire pourvu quc fi>l. On est rovenu a ce sujet apr^s 1950. Ainsi, Rćnyi [X] et Parry [IX] Pont traitń du point de vue des proprićtćs ergodiques. Le rfeultat bien connu qu’est la construction d'un nombre „absolument normal” (voir [95]) se trouve ooromentń dans Particie pr&ćdent.

Une ezposition simultanńe des rćsultats de [32] et [23] se trouve dans [44]. Ce travail contient en outre une ćtudc des sńries du type