3545337087

I. DWUWYMIAROWE TRANSFORMACJE GEOMETRYCZNE

1.1. Wprowadzenie

Reprezentacja obiektu graficznego na ekranie sprowadza się najczęściej do określenia wyróżnionych punktów tego obiektu i ich odpowiednim połączeniu. Na przykład, w celu narysowania prostokąta należy określić jego wierzchołki i połączyćje odcinkami. Układ współrzędnych prostokątnych, w którym rysujemy obiekt na ekranie, niekoniecznie musi przy tym pokrywać się z układem współrzędnych, w którym określone są wspomniane wyróżnione punkty obiektu. Ponadto układ odniesienia obiektu może nie być układem prostokątnym - obiekt może być określony np. w układzie biegunowym. Obie sytuacje powodująkonieczność przekształcenia obiektu (ściślej: punktów obiektu) z jednego układu współrzędnych do drugiego, co sprowadza się do umiejętności opisywania obiektu w różnych układach współrzędnych.

Innym zagadnieniem jest przekształcenie samego obiektu względem ustalonego układu współrzędnych. Przekształcenia takie służąm. in. do symulacji ruchu obiektu i mogąbyć opisane za pomocąprzesunięcia, obrotu, skalowania i (lub) symetrii (odbicia) względem punktu i względem prostej. Zwracamy uwagę, że transformacje opisane w tym rozdziale dotyczą pojedynczych punktów obiektu, a nie np. równań algebraicznych definiujących krzywe.

Układ współrzędnych ekranu (okna) graficznego w większości współczesnych języków programowania jest układem prostokątnym, w którym oś odciętych (ośx) jest skierowana w prawo, a oś rzędnych (oś^y) - w dół. Jest to więc układ zorientowany inaczej niż ten, do którego jesteśmy na ogół przyzwyczajeni, tj. do układu z osią rzędnych skierowaną w górę (zob. rys. 1). Kierunki osi układu współrzędnych oraz kierunek określania kątów są istotne m. in. przy wykonywaniu obrotów - zarówno przy obrocie samego układu, jak i przy obrocie obiektu w ustalonym układzie współrzędnych. Z tego powodu w opisie tych przekształceń będziemy dokładnie określać, jakiego układu one dotyczą. Dla rozróżnienia obu układów, pierwszy układ (o osi y skierowanej w dół) będziemy dalej nazywać układem prawoskrętnym, a drugi - lewoskrętnym (pojęcie układu prawo- i lewoskrętnego odnosi się na ogół do kartezjańskiego układu współrzędnych prostokątnych w przestrzeni - zob. p. 3.1). Założymy ponadto, że jeśli informacja o zorientowaniu układu jest przemilczana, oznacza to, że odpowiednie wzory dotyczą zarówno układu lewo-, jak i prawoskrętnego.