426907367

10

Wykład 2

Lemat 2.1 Zagadnienie Cauchy’ego (2.3) ma rozwiązanie x(t) różniczkowalne na odcinku [fo,ti) lub [to, ti] wtedy i tylko wtedy, gdy równanie całkowe:

x(t) = x₀+ I F(s,x(s))ds    (2.4)

Jto

ma rozwiązanie ciągłe

Uwaga: Jeśli (2.4) ma rozwiązania ciągle, to z ciągłości F rozwiązania te są automatycznie klasy C^l, jako lewa strona równania (2.Ą).

Dowód lematu

Przypuśćmy, że funkcja x(t) spełnia warunek (2.3). Całkując obie strony równania i(s) = F(s,x) w granicach od t₀ do t i korzystając z x(t₀) = Xq otrzymujemy:

x(t)

— x(t₀) = / F(s,x(s))ds,

Jto

czyli

x(f)=Xo+ f F(s,x(s))ds.

Jt₀

Aby udowodnić drugą implikację wystarczy zróżniczkować stronami równość (2.4).

Uwaga

Ma sens pytanie o istnienie rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego jeśli F nie jest ciągłe, wśród funkcji x(t), bezwzględnie ciągłych, tzn. spełniających

Ve>o3<S>oVt₁<t'₁<t_2<t'₂<„.<t_n<tj_t ^ ]tj — t{ < Ó ^ ’ |z(tj) ^— z(fj)| < £■ i=l    i=l

Dla takich funkcji x istnieje bowiem prawie wszędzie oraz J_to x = x(t) — x(to) (całka w sensie Lebesgue’a), można więc w szczególności przejść do równania (2.4).

Dowód twierdzenia Peano

Dla dowolnej liczby naturalnej n definiujemy na przedziale [to, to + ^] funkcję x„(t), kolejno na odcinkach [f₀ + £a, t₀ + ^a], k = 0,1,... ,n — 1, według wzoru:

Z„(f₀) = X₀,

x_n(t) = x„(t₀ + ^a) + F(to + x_n(to + ~^a)) ‘ (* ^— (^o + ~^a))>    (2-5)

dla t G (to + to + ^^a)- Ta definicja ma sens jeśli ||x_n(to + |a) — Zoll < b. Sprawdzimy tę własność poniżej:

Przypuśćmy, że istnieje liczba t\ : to < ti < to+o taka, że ||x_n(fi) — xo|| = b i dla to < t < t\ mamy ||x„(ti) — xo|| < b; w szczególności definicja wzorem (2.5) ma sens dla t <t\.