4736387701

5.    Niech A będzie m x n-macierzą o współczynnikach w R, b 6 R^m oraz X = {a; € Rⁿ | Ax < b}. Oznaczmy przez ai, a₂,..., a_m wiersze macierzy A. Udowodnić, że punkt x E X jest punktem ekstremalnym zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy wśród wektorów a* o własnościach a*x = jest n wektorów liniowo niezależnych.

6.    Uzasadnić, że zbiór {a: £ Rⁿ | Ax < b} nie ma punktów ekstremalnych, gdy A jest m x n-macierzą o współczynnikach w R, b € R^m oraz m < n.

3. Metoda sympleksowa

1.    Pewne przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby A oraz B w oparciu o trzy rodzaje surowców X, Y i Z. Przedsiębiorstwo to zamierza wytwarzać powyższe produkty wyłącznie przy użyciu posiadanych już zasobów materiałów. Surowca X jest 1000 kg, surowca Y jest 2400 kg, a surowca Z jest 600 kg. Do wytworzenia jednostki wyrobu A potrzeba:

2    kg surowca X, 3 kg surowca Y oraz 1,5 kg surowca Z. Natomiast aby wytworzyć jedną sztukę produktu B zużywa się: 1 kg surowca X oraz

3    kg surowca Y. Jaką strukturę produkcji powinno przyjąć to przedsiębiorstwo, aby osiągnąć maksymalny przychód ze sprzedaży, jeśli cena wyrobu A wynosi 30 zł, a cena wyrobu B wynosi 20 zł za sztukę?

2.    Stosując algorytm sympleks rozwiązać następujące zadania programowania liniowego:

(a) —x\ — 2x2 min, przy warunkach

4xi + 4x₂ < 12,

xi < 2,

x₂ < 2, x_1}x₂ > 0,

(b) X\ — X2 —► min, przy warunkach

I

-2xi + 2x2    8,

\x\ + X2 < 16,

2xi + X2 < 10,

Xi,X2 > 0,

(c) —4xi — 3x2 + 4x3 ~^ ^miⁿ) P^rzy warunkach

!

2xi + X2 — 2x3 < 18, xi + x₂ - x₃ < 13, xi — 2x3 < 13,

Xi,X2,X₃ > 0,

4