720154746

Rozdział 3

Twierdzenia o homomorflzmach pierścieni

Obserwacja 3.0.8. Niech f: P —* R będzie homomorfizmem pierścieni.

(i)    Ker / jest ideałem w P.

(ii)    Im / jest podpierścieniem w R (¹).

Twierdzenie 3.0.2 (twierdzenie o przenoszeniu ideałów przez homomorfizm). Niech P, R - pierścienie, f : P —* R - epimorfizm pierścieni. Wtedy odwzorowanie $ : {I — ideał w P, Ker / C 1} 9 I ■—♦ /(/) G {J, ideał w i?} jest bijekcją.

Dowód. Podobnie jak w dowodzie twierdzenia o przenoszeniu podgrup zauważamy, że odwzorowanie odwrotne do $ to <&(«/) = /^-1(J). Wystarczy jedynie sprawdzić, że przeciwobraz ideału jest ideałem co jest prostym ćwiczeniem.    □

Twierdzenie 3.0.3 (twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni). Niech f:P—*R będzie homomorfizmem pierścieni. Wtedy Pj Ker / = Im / czyli pierścienie te są izomorficzne.

Dowód. Ponieważ (P, +) jest grupą zaś jądro jej podgrupą normalną, więc wiemy z teorii grup iż odwzorowanie: F : Pj Ker / 9 a + Ker /—> f(a) G Im / zadaje izomorfizm grup. Wystarczy więc jedynie sprawdzić, że jest to też homomorfizm pierścieni. Ale oczywiście:

F((a + Ker/)-(6+Ker/)) = F (ab+Ker f) = f(ab) — f(a)f(b) = F(a + Ker f)F(b+Ker /)

□

(¹)Im/ może nie być ideałem w R.

12