9414912691

1.3. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

17

Przykład 1.18. Zbadać zbieżność szeregu

V—.

^ 2 n

Rozwiązanie. Mamy

°ⁿ ~ On    ^0,71+1 ~

3ⁿ⁺¹

2(n+l)

3 n

°n+i    2n

um -= lim —-— —— = lim -- — «.

n—>oo a_n    n—>00 2(n + 1) 3ⁿ n->oo n + 1

Z kryterium d’Alamberta wynika zatem, że szereg jest rozbieżny. Przykład 1.19. Zbadać zbieżność szeregu

En!

nⁿ ’

Rozwiązanie. Mamy

n!(n

li_m °ⁿ⁺¹ = \[_m    (ⁿ⁺¹)^! nlx ___

n-*oo a_n n->oo (n + l)ⁿ⁺¹ n! n->oo (n + l)ⁿ(n + 1) n!

= lim -———— = lim —r-r— — lim -^— = - <

n->oo (n + l)ⁿ n->oo (^w+^)    n->oo (1 + I)™ e

Z kryterium d’Alamberta wynika zatem, że szereg jest zbieżny.

Kryterium Cauchy’ego (pierwiastkowe)

Rozpatrzmy szereg X]^Li «n ł O oraz obliczmy granicę lim \fa_n = g

wówczas

(g>i

gdy l g = 1

U < ¹

to szereg jest rozbieżny

to kryterium nie rozstrzyga o zbieżności szeregu to szereg jest zbieżny

Przykład 1.20. Zbadać zbieżność szeregu

t

2 n³ ~3"~'