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de 1'egalite de puissance qui ne subsistent que pour une classe Kj plus etroite, a savoir, composee de relations R de la classe K qui, en outre, sont completement additives, c-a-d. rem-plissent la condition:

(7) Si Ton a: C_k R D_k pour tout k naturel, {C*} et {D_k) etant

OO    03

des suites d'ensembles disioints, alors on a: - C,. R X D..

k=o    Ar=0

Donc, le th. 5 du § precedent peut etre, conformement au lemme 1, etendu a toutes les relations de la classe K,, mais non pas a toutes les relations de la classe K, comme l’a observe M. T a r s k i.

Afin de pouvoir generaliser d’une maniere analogue les theoremes arithmetiques sur les nombres cardinaux, il faut, d’apres une remarque de M. Tarski, proceder comme il suit. La relation arbitraire R de la classe K (resp. K,) etant symetrique et transitive, on peut diviser tous les ensembles entre lesquels cette relation subsiste en classes disjointes, en rangeant dans une meme classe deux ensembles X et Y dans ce cas et seulement dans ce cas quand on a: X R Y. Les classes ainsi obtenues sont dites typ es de la relation R; relativement a ces types, on definit: les notions de somme, de produit par un nombre fini (resp. N₀), la relation etc., comme on le fait d’ordinaire dans Parithmetique des nombres cardinaux. On peut transporter dans ,,1’arithmeti-que des types“ ainsi construite une foule de theoremes de celle-la, tels que p. ex. les lois elementaires de Taddition et de la com-parabilite, le theoreme de Schroder-Bern stein, les theoremes 13_f 18, et, a 1’aide de l’axiome du choix, 39—41 du § precedent. En outre, dans la theorie des types correspon-dant aux relations de la classe K,, les theoremes suivants conser-vent encore leur validite: le th. 6 avec toutes ses consequences (7, 8, 18—20, 29, 30 et 38), ensuite — dans ce cas sans avoir recours a Taxiome du choix — les theoremes 39—41, et quel-ques theoremes de MM. Bernstein et Zermelo.

§ 3. THeorie des types ordina\ix ^]).

Les recherches de M. Lindenbaum (1926) dans le domaine de la theorie des types ordinaux, tres peu developpee jusqu'a present, portent avant tout sur les problemes de naturę

’) Les resultats de ce § ont ete presentes par M. Lindenbaum a la Seance du 23.IV. 1926 de la Soc. Pol. de Math. (Section du Varsovie). Cf. Ann. Soc. Pol. Math. V, 1926.