130859380

Scriptiones Geometrica Yolumen I (2014), No. 5A, 1-17.

Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie 05A

E. Koźniewski

Zakład, Informacji Przestrzennej

1. O krzywych i powierzchniach

Dotychczas zajmowaliśmy się głównie odwzorowaniem prostej i płaszczyzny oraz obiektami, które dajaą się złożyć z figur zawartych w płaszczyźnie, mających łamaną jako brzeg. Opisywaliśmy je także analitycznie. Rozważaliśmy również znane ze szkoły powierzchnie: stożek, walec i sferę. Obecnie zajmiemy się krzywymi i powierzchniami w ogólniejszym sensie. Analitycznie krzywą zapisuje się za pomocą układu równań parametrycznych:

(1)

x = x(t),y - y(t),z = z(t),

gdzie parametr t G< t\, > a funkcje x — x(t),y — y(t),z — z(t) są ciągle we wspólnym

przedziale określoności. Podobnie powierzchnie opisuje się za pomocą układu funkcji ciągłych, tym razem dwu zmiennych (parametrów):

(2)

x = x(w, u), y = y(u, v), z = z(u, v),

o parametrach u G< «i,«2 >, v €< V\,V2 >■ Ogólny opis powierzchni jest przedmiotem dyscypliny matematycznej zwanej topologią, bardziej szczegółowy ale i zawężony opis należy do geometrii różniczkowej. W geometrii i grafice inżynierskiej mówi się o krzywych i powierzchniach, które mają zastosowanie w technice, w szczególności w budownictwie i architekturze.

2. Niektóre sposoby tworzenia powierzchni

Powierzchnie często otrzymuje się przez tzw. zakreślanie przestrzeni, czyli przez przemieszczanie krzywej wzdłuż pewnej trajektorii¹.

2.1. Zakreślanie przez obrót - powierzchnie obrotowe

Załóżmy, że dana jest oś obrotu (ang. axis of reuolution) oraz krzywa definiująca (ang. path curue). Na rysunku 5A-01 jako krzywą definiującą przyjęto prostą skośną do osi obrotu i otrzymano powierzchnię zwaną hiperboliodą jednopowlokową (obrotową).