3329133214

Numeryczne algorytmy tomografii rezystancji siatek rezystorów

Przyjmując, że węzły siatki są rozmieszczone w N\ kolumnach i iV₂ wierszach, można zauważyć, że siatka taka posiada (N\-2)(Nz~2) węzłów wewnętrznych oraz 2(N\+Nz~4) węzłów brzegowych, co daje całkowitą liczbę N\N?-4 węzłów. Dla przedstawionego przykładu siatki o rozmiarze 8x5 węzłów oznacza to 18 węzłów wewnętrznych oraz 18 węzłów brzegowych.

W pracach [9, 10] przedstawiono matematyczną definicję kwadratowych siatek rezystancyjnych. Na tej podstawie poniżej przedstawiono pełną definicję prostokątnej siatki rezystancyjnej. Prostokątną siatkę rezystancyjną Y można zdefiniować jako zbiór węzłów Q₀, krawędzi łączących węzły Cl, wraz z odwzorowaniem y, tzn.:

r=(Q₀,Q„_r) (2.i)

przy czym:

y.n^R* (2.2)

jest odwzorowaniem przyporządkowującym każdej krawędzi liczbę rzeczywistą dodatnią.

Węzłami siatki nazywamy zbiór punktów Py prostokątnej kratownicy o współrzędnych całkowitych, takich że Pj = (ij), a 1 < i < Ni oraz 1 <j< Nz, z wyłączeniem punktów narożnych (1,1), (N\, 1), (1 ,Nz) oraz (N\,Nz). Zbiór węzłów wewnętrznych siatki, oznaczony intC2₀, zawiera te węzły, dla których 2 < / < N\-l oraz 2 < j <Nt~ 1. Zbiór węzłów brzegowych siatki, oznaczony dQ₀, to zbiór zdefiniowany jako Q₀- int£2₀. Każdy węzeł wewnętrzny ma dokładnie cztery węzły sąsiednie, przy czym odległość danego węzła od dowolnego z węzłów sąsiednich wynosi dokładnie jeden. Każdy węzeł brzegowy ma tylko jeden węzeł sąsiedni i jest to węzeł oddalony od niego dokładnie o jeden należący do wnętrza siatki. Krawędzią PyPu nazywane jest połączenie pary węzłów Py oraz Pu, gdzie \k-i\+\/-j\=l. Zbiór krawędzi siatki rezystancyjnej oznaczony jest symbolem Q,. Z własności węzła brzegowego wynika, że nie istnieją krawędzie łączące węzły brzegowe. Dla każdej krawędzi er e Q, wartość funkcji y(cr) jest nazywana konduktancją elementu, a jej odwrotność - rezystancją. Odwzorowanie y przyporządkowujące konduktancję każdej krawędzi kratownicy nazywane jest konduktywnością.

Należy zwrócić uwagę, że kształt siatki rezystorów przedstawiony na rys. 2.1 nie jest ograniczeniem. W rozważanym przypadku węzły brzegowe nie są połączone ze sobą. Jeżeli przyjąć założenie odwrotne, tzn. siatka zawiera połączenia o niezerowej konduktancji pomiędzy węzłami brzegowymi, można wtedy dołączyć do wszystkich węzłów brzegowych dodatkowe konduktancję o ustalonej wartości. Wtedy siatka uzyska omawiany kształt, a liczby wierszy i kolumn zwiększą się o 2.