3329133216

Numeryczne algorytmy tomografii rezystancji siatek rezystorów

bezpośrednio z wymiaru wektorów Fi, oraz 4- Wymiar wektora Fi, wynosi N\> -1, gdyż zawsze przyjmuje się jeden z węzłów brzegowych, jako węzeł odniesienia o zerowym potencjale. Potencjały pozostałych węzłów określane są względem węzła odniesienia. Wymiar wektora 4 również wynosi Nb -1. Jeżeli wymusimy prądy we węzłach brzegowych poza jednym, to wartość prądu w tym ostatnim węźle wynika z prądowego prawa Kirchhoffa. Dla przykładu z rys. 2.1 macierze A oraz A” składają się z 17² = 289 elementów.

W pracach [9, 10] udowodniono, że problem rekonstrukcji ma jednoznaczne rozwiązanie, tzn. że odwzorowania Dirichlet-Neumann oraz Neumann-Dirichlet w sposób jednoznaczny określają wartości wszystkich elementów siatki rezystancyjnej. Ponadto wykazano, że problem ten ma charakter ciągły, tzn. że jeżeli wartości pomiarów na brzegach siatki są do siebie zbliżone, to siatki, dla których uzyskano te wyniki są zbudowane z elementów o zbliżonych wartościach konduktancji.

Elementy macierzy A lub A^-1 można wyznaczyć na podstawie skończonej liczby pomiarów. Przykładowo, możliwe jest wyznaczenie wszystkich współ czynników macierzy A na podstawie Nb-l zestawów pomiarowych. W każdym kroku rozpływ prądów w siatce jest wymuszony wektorem potencjałów brzegowych Fi,, w którym tylko jeden element jest różny od zera, tzn. przykładamy napięcie E= IV do jednego z węzłów brzegowych, pozostałe Nb~l węzłów uziemiamy i dokonujemy pomiaru prądów brzegowych, zapisując je w wektorze 4- W ten sposób w /'-tym kroku tak opisanego algorytmu wyznaczane są wartości współczynników /-tej kolumny macierzy A. Po Nb~\ krokach znane więc są wartości wszystkich elementów macierzy odwzorowania Dirichlet-Neumann A.

Współczynniki macierzy odwzorowania Neumann-Dirichlet A^-1 można wyznaczyć w podobny sposób. W kolejnych krokach należy wymuszać rozpływ prądów w obwodzie wektorami 4, w których występuje tylko jeden niezerowy element. W wybranym węźle brzegowym jest wymuszany prąd o wartości J = 1A, podczas gdy w pozostałych węzłach brzegowych, poza węzłem odniesienia, prąd wynosi zero. Procedura wymaga wykonania M,-l pomiarów, przy czym przy każdym pomiarze niezerowy prąd jest wymuszany w innym węźle brzegowym. Wyznaczenie węzła odniesienia gwarantuje spełnienie prądowego prawa Kirchhoffa przy wymuszaniu rozpływu prądów w siatce opisanymi powyżej wektorami 4-

Ponadto warto zauważyć, że zgodnie z wzorami (2.3) i (2.4) macierz odwzorowania Neumann-Dirichlet A^-1 jest macierzą odwrotną macierzy odwzorowania Dirichlet-Neumann A.

Postawiony w pracy problem można przedstawić jako zagadnienie wyznaczenia wartości konduktancji wszystkich elementów siatki rezystancyjnej na podstawie