3329133215

Numeryczne algorytmy tomografii rezystancji siatek rezystorów

2.2. Sformułowanie problemu

W analizie teoretycznej obwodów elektrycznych mamy z reguły do czynienia z problemami postawionymi wprost, tzn. przedmiotem analizy jest wyznaczenie odpowiedzi układu o znanej topologii i znanych wartościach elementów na zadane wymuszenie. Zagadnienie opisane w niniejszej pracy zalicza się do grupy tzw. problemów odwrotnych (ang. inverse problem). Istotą tego typu zagadnień jest wyznaczenie parametrów elementów układu (w przypadku układów dyskretnych) lub własności fizycznych obiektu (w przypadku układów ciągłych) na podstawie odpowiedzi układu na pewne wymuszenie lub zestaw wymuszeń.

Postawiony w niniejszej pracy problem odwrotny polega na wyznaczeniu wartości konduktancji wszystkich elementów prostokątnej siatki rezystancyjnej na podstawie pomiarów brzegowych. Zakłada się, że istnieje fizyczny dostęp jedynie do węzłów należących do brzegu siatki dQ_(l. Można sobie wyobrazić dwie metody uzyskania informacji na temat konduktancji elementów siatki rezystancyjnej. W pierwszej wersji, wymuszeniem jest wektor potencjałów węzłów brzegowych. Odpowiedzią układu na to wymuszenie jest wektor prądów w elementach brzegowych. Elementem brzegowym nazywamy element łączący węzeł brzegowy z sąsiadującym z nim węzłem wewnętrznym. W drugiej wersji mamy do czynienia z sytuacją odwrotną. Wektor potencjałów w węzłach brzegowych jest odpowiedzią układu na wymuszenie w postaci wektora prądów w elementach brzegowych. W literaturze wektor prądów brzegowych siatki rezystancyjnej zwany jest zestawem danych Neumanna, podczas gdy wektor potencjałów węzłów brzegowych zwany jest zestawem danych Dirichleta.

Dla każdej prostokątnej siatki rezystancyjnej można wyznaczyć współczynniki macierzy A będącej odwzorowaniem Dirichlet-Neumann, czyli wyznaczającej odpowiedź prądową układu Ą na wymuszenie w postaci wektora potencjałów brzegowych Fb, tj.:

Ib = A* Pb    (2.3)

Analogicznie, dla każdej siatki można zapisać macierz A~‘ będącą odwzorowaniem Neumann-Dirichlet, dzięki której można wyznaczyć odpowiedź Fi, układu na wymuszenie wektorem prądów brzegowych Ą.

F_b=A(2.4)

Siatka rezystancyjna o N\ kolumnach, Ni wierszach węzłów i kształcie przestawionym na rys. 2.1 ma Nb = 2{N\+Ni-A) węzłów brzegowych. Macierze A oraz A^-1 są rozmiaru (M,-l)x(Aj,-l), czyli składają się z (Ab-1)² elementów. Wymiar macierzy A oraz A^-1 jest o jeden mniejszy od liczby węzłów brzegowych. Wynika to

12