Drgania swobodne

Punkt materialny o masie

m

m

wykonuje drgania pod działaniem siły

sprężystości

F

F

s

s

= −

= −

kx

kx

x

a

2

ω

ω

ω

ω

−−−−

====

a

a

dla punktu

drgającego:

2

2

2

2

2

2

dt

x

d

m

x

m

dt

x

d

m

ma

oraz

x

m

ma

====

ω

ω

ω

ω

−−−−

→

→

→

→

====

ω

ω

ω

ω

−−−−

====

0

x

m

dt

x

d

m

2

2

2

====

ω

ω

ω

ω

++++

m

k

====

ω

ω

ω

ω

To jest równanie różniczkowe drgań swobodnych

F

s

=−kx

oraz

F

s

=ma −kx = ma

2

2

dt

x

d

m

kx

====

−−−−

0

kx

dt

x

d

m

2

2

====

++++

ω

ω

- częstotliwość drgań swobodnych

ciał nazywamy częstotliwością własną

p

o

ró

w

n

u

je

m

y

ró

w

n

a

n

ia

2

m

k

ω

ω

ω

ω

====

Rozwiązaniem równania różniczkowego drgań swobodnych

jest

x =Acos(

ω

ω

ω

ω

t+

ϕϕϕϕ

)

lub

x =Asin(

ω

ω

ω

ω

t+

ϕϕϕϕ

1

)

Rozwiązaniem równania różniczkowego drgań swobodnych

jest

x =Acos(

ω

ω

ω

ω

t+

ϕϕϕϕ

)

lub

x =Asin(

ω

ω

ω

ω

t+

ϕϕϕϕ

1

)

Energia kinetyczna E

k

drgającego harmonicznie punktu materialnego:

)

t

(

sin

mA

2

1

mv

2

1

E

2

2

2

2

k

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

====

Energia potencjalna E

p

drgającego harmonicznie punktu materialnego:

)

t

(

cos

kA

2

1

kx

2

1

E

2

2

2

p

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

====

====

)

t

sin(

A

v

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−−−−

====

)

t

cos(

A

x

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

====

Całkowita energia mechaniczna drgającego harmonicznie

punktu materialnego

W ruchu harmonicznym energia potencjalna i kinetyczna
oscylatora harmonicznego zmieniają się w taki sposób, że
ich suma pozostaje stała (zasada zachowania energii)

W ruchu harmonicznym energia potencjalna i kinetyczna
oscylatora harmonicznego zmieniają się w taki sposób, że
ich suma pozostaje stała (zasada zachowania energii)

)]

t

(

cos

)

t

(

[sin

k

A

2

1

)]

t

(

cos

k

)

t

(

sin

m

[

A

2

1

E

2

2

2

2

2

2

2

c

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

++++

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

====

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

++++

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

k

m

m

k

2

====

ω

ω

ω

ω

→

→

→

→

====

ω

ω

ω

ω

Całkowita energia mechaniczna E

c

:

)

t

(

cos

kA

2

1

)

t

(

sin

mA

2

1

E

E

E

2

2

2

2

2

p

k

c

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

++++

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

++++

====

=1

2

c

kA

2

1

E

====

0

kx

dt

x

d

m

2

2

====

++++

0

kx

dt

dx

b

dt

x

d

m

2

2

====

++++

++++

)

t

cos(

e

A

x

1

t

0

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

====

ββββ

−−−−

)

t

cos(

A

x

ϕϕϕϕ

++++

ω

ω

ω

ω

====

Porównanie drgań tłumionych z drganiami swobodnymi

Drgania swobodne

Drgania tłumione

Wskutek działania siły tłumiącej:

•

amplituda drgań maleje z upływem

czasu wg:

•

pulsacja drgań jest mniejsza niż dla

drgań swobodnych:

t

0

e

A

A

ββββ

−−−−

====

ω

ω

ω

ω

<<<<

ββββ

−−−−

ω

ω

ω

ω

====

ω

ω

ω

ω

2

2

1

Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ

charakteryzuje drgania

tłumione – jest to log naturalny stosunku 2 amplitud w chwilach

t i t+T:

m

2

b

====

ββββ

gdzie β –współczynnik tłumienia:

T

T

2

T

1

>>>>

→

→

→

→

ω

ω

ω

ω

ππππ

====

T

e

ln

e

e

A

e

A

ln

e

A

e

A

ln

T

T

t

0

t

0

)

T

t

(

0

t

0

ββββ

====

====

⋅⋅⋅⋅

====

====

Λ

Λ

Λ

Λ

ββββ

ββββ

−−−−

ββββ

−−−−

ββββ

−−−−

++++

ββββ

−−−−

ββββ

−−−−

Drgania wymuszone

Aby opory ośrodka nie tłumiły drgań, to należy działać odpowiednio
zmienną siłą F

w

t

cos

F

F

0

w

Ω

Ω

Ω

Ω

====

ma

F

F

F

w

t

s

====

++++

++++

t

cos

F

kx

dt

dx

b

dt

x

d

m

0

2

2

Ω

Ω

Ω

Ω

====

++++

++++

F

w

–siła wymuszająca

W przypadku drgań wymuszonych mamy:

czyli

równanie różniczkowe drgań
wymuszonych

)

t

cos(

A

x

Φ

Φ

Φ

Φ

++++

Ω

Ω

Ω

Ω

====

Rozwiązaniem tego równania jest: gdzie:

2

2

2

2

)

2

(

)

(

A

Ω

Ω

Ω

Ω

ββββ

++++

Ω

Ω

Ω

Ω

−−−−

ω

ω

ω

ω

γγγγ

====

m

F

0

====

γγγγ













Ω

Ω

Ω

Ω

−−−−

ω

ω

ω

ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ββββ

−−−−

====

Φ

Φ

Φ

Φ

2

2

2

arctg

oraz

oznaczenie:

W wyniku działania

siły wymuszającej F

w

punkt materialny wykonuje drgania
harmoniczne z pulsacją

Ω

Ω

Ω

Ω

- taką, z jaką

zmienia się siła wymuszająca

Gdy

F

F

w

w

działa na drgające ciało z częstością

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

=

=

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

r

r

, to amplituda drgań tego ciała może

osiągnąć bardzo dużą wielkość -

rezonans

2

2

r

2

ββββ

−−−−

ω

ω

ω

ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω