•

Wektor – definicja, właściwości, przykłady.
Definicja: wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów, z których jeden jest początkiem, a drugi
końcem wektora. Odległość między tymi punktami to długość wektora. Wektor, którego początkiem i
końcem jest ten sam punkt, nazywamy wektorem zerowym.
Właściwości: kierunek – prosta, na której położony jest wektor; zwrot – strona w którą zwrócony jest
wektor, graficznie określony jest grotem strzałki; wartość, punkt przyłożenia;
Przykład: np. wektor siły, określający wartość i kierunek przykładowej siły przyłożonej do układu

•

Tensor – definicja, właściwości, przykłady.

Definicja: tensor jest to uogólnienie pojęcia wektora, wielkość której własności pozostają identyczne
niezależnie od wybranego układu współrzędnych. Skalar jest wektorem zerowego rzędu. Wektor jest
tensorem pierwszego rzędu, tensorem drugiego rzędu (reprezentacja macierzowa) jest np. związek

między wektorem indukcji elektrycznej

i wektorem natężenia pola elektrycznego

:

Tensor drugiego rzędu ustala zależności między wektorami.

Tensor trzeciego rzędu to np. tensor modułów piezoelektrycznych

:

gdzie:

jest tensorem (pierwszego rzędu) odkształceń.

•

Iloczyn skalarny – definicja, właściwości, przykład.
Definicja: iloczynem skalarnym dwóch wektorów, np. i jest liczba równa iloczynowi długości obu
tych wektorów i cosinusa kąta jaki tworzą.
uv cos(
Właściwości: przemienność: , prostopadłość dwóch niezerowych wektorów określona warunkiem 0

Zastosowania: prawo cosinusów, jeśli

to:

, oraz

cosinusy kierunkowe

Przykład:

Moc

P

jako

prędkość

wykonywanej

pracy

W

przy

stałej

sile

F:

•

Iloczyn wektorowy – definicja, właściwości, przykład.
Definicja: iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest to wektor, którego moduł równy jest iloczynowi
modułów wektorów składowych i sinusa kąta zawartego pomiędzy nimi.

Wektor otrzymany w wyniku iloczynuy wektorowego dwóch wektorów jest zawsze

prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory składowe, a jego zwrot określa sie przy
zastosowaniu reguły śruby prawoskrętnej.

Właściwości: antyprzemienność, iloczyn wektorowy nie jest przemienny

; jeśli

wektory są równoległe to iloczyn wektorowy równa się zeru

(bo sin(180

o

=0)

Przykład: moment pędu punktu materialnego (

) jest iloczynem wektorowym wektora łączącego

punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała (

) oraz wektora pędu punktu

materialnego (

):

•

Układy współrzędnych (kartezjański, biegunowy, sferyczny, walcowy) – opis.
Układ współrzędnych: funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb
rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
Rodzaje układów współrzędnych:
kartezjański- zwany również prostokątnym układem współrzędnych, w którym zadane są: punkt
zwany środkiem lub początkiem układu, którego wszystkie współrzędne są równe zeru; zestaw n-osi
liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych, z których każde dwie są do siebie prostopadłe i
których zera znajdują się w wybranym początku układu.
biegunowy- układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany
biegunem, oraz półprostą OS o początku w punkcie O, zwaną osią biegunową. Każdemu punktowi P
płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe: promień wodzący punktu P do jego odległość
|OP| od bieguna, amplituda punktu P to wartość kąta pomiędzy półprostą OS a wektorem
sferyczny- układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni
walcowy- układ wspólrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni, w którym położenie punktu w
przestrzeni określa się za pomocą: odległości rzutu punktu na płaszczyzmę OXY od osi OZ, kąta
pomiędzy dodatnią osią OX oraz odcinkiem łączącym rzut punktu z początkiem układu współrzędnych,
oraz odległośći rzutu punktu p na oś OZ od początku układu współrzędnych.

•

Klasyfikacja ruchów w kinematyce.
Kinematyka – zajmuje się związkami między położeniem, prędkością i przyspieszeniem badanej
cząstki.
Klasyfikacja ruchów: ze względu na tor ruchu (tor jest to linia wyznaczona przez chwilowe położenie
ciała podczas ruchu) – ruch prostoliniowy (tor jest linią prostą) oraz ruch krzywoliniowy (tor jest linią
krzywą w tym okrąg); ze względu na zależność położenia od czasu – jednostajny, jednostajnie
przyspieszony, pozostałe
Ruch jednostajny prostoliniowy: ruch odbywa się po torze prostoliniowym, a jego charakterystyką jest
jednostajność, czyli liniowa zależność położenia od czasu oraz stała prędkość:

- położenie początkowe ciała w chwili

t=0

- wektor prędkości początkowej (tutaj stała w czasie

całego ruchu)

Ruch jednostajnie przyspieszony: ruch odbywa się po torze prostoliniowym, a jego charakterystyką jest
jednostajne przyspieszenie, czyli stałość przyspieszenia od czasu. Prędkość w tym ruchu jest liniową
funkcją czasu.

- droga początkowa ciała,

- prędkość początkowa ciała. t – czas trwania ruchu. a- wartość

przyszpieszenia
Ruch jednostajnie opóźniony: ruch, w którym wektor przyspieszenia jest przeciwnie skierowany aniżeli
wektor prędkości ciała, prędkość jest liniową funkcją czasu i maleje wraz z jego upływem a
przyspieszenie jest stałe.

Ruch krzywoliniowy: ruch, który odbywa się po torze krzywoliniowym (tor jest linią krzywą), a o jego
rodzaju decydują dwie składowe przyspieszenia całkowitego:

przyspieszenie styczne

- jest to składowa przyspieszenia całkowitego, która charakteryzuje

szybkość zmiany wartości liczbowej prędkości ruchu:

gdy

to ruch nazywamy jednostajnym

gdy

to ruch jest jednostajnie zmienny

przyspieszenie normalne

- składowa przyspieszenia całkowitego, charakteryzuje szybkość

zmiany kierunku prędkości ruchu.

w ruchu prostoliniowym

, R- promień krzywizny

przyspieszenie całkowite :

•

Wielkości kinematyczne (ogólne) – podstawowe definicje.
Prędkość: wielkość wektorowa, która określa zarówno szybkość ruchu, jak i jego kierunek w danej
chwili.

Prędkość chwilowa:

Przyspieszenie: wielkość wektorowa, która określa zmiany wektora prędkości w czasie (zarówno
wartości, jak i kierunku).

Przyspieszenie chwilowe:

•

Wielkości kinematyczne w ruchu po okręgu – definicje.

W ruchu po okręgu: przyspieszenie normalne

nazywamy dośrodkowym

, zawsze jest

spełniony warunek:

. W ruchu tym,

i

„Kątowe” wielkości kinematyczne: prędkość kątowa – stosunek zmiany kąta wyrażonego w

rachunkach do czasu w jakim został zatoczony przez ciało

oraz przyspieszenie kątowe –

jest to stosunek zmiany prędkości kątowej do czasu w jakim ta zmiana nastąpiła

Parametry ruchu: okres ruchu – czas jednego, pełnego obiegu ciała po okręgu

oraz

częstotliwość obiegu

•

Rzut ukośny - definicja, równania ruchu, równanie trajektorii.
Zasada niezależności ruchów (superpozycji) – jeśli jakiś punkt bierze udział jednocześnie w kilku
ruchach, to wypadkowe przesunięcie punktu równe jest sumie wektorowej przesunięć wykonanych
przez ten punkt w tym samym czasie w każdym z tych ruchów oddzielnie.

Ruch ukośny: to ruch ciała w polu grawitacyjnym (ruch w dwóch wymiarach), który jest złożeniem
dwóch ruchów – w kierunku osi „x” oraz w kierunku osi „y”. Zgodnie z zasadą superpozycji, ruch ten
można opisać jako dwa niezależne ruchy.

ruch w kierunku „x” – ruch jednostajny z prędkością

ruch w kierunku „y” – ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową

i

przyspieszeniem g

trajektoria ruchu: (parabola)

parametry lotu:

zasięg L:

oraz maksymalna wysokość wzniesienia H:

•

Zasady dynamiki Newtona.
Dynamika to dział mechaniki, w którym bada się związki między wzajemnymi oddziaływaniami ciał i
zmianami ich ruchu. Dynamika zajmuje się siłami działającymi na ciała i źródłami tych sił.


I zasada dynamiki Newtona: (inaczej nazywana zasadą bezwładności) jeżeli na ciało nie działa żadna
siła lub wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru (siły zewnętrzne działające na ciało równoważą
się) to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym (po torze
prostym, ze stałą prędkością)

II zasada dynamiki Newtona: tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to

ciało

dla ciał o stałej masie:

, a stąd

Jeżeli na ciało działa stała, niezrównoważona siłą wypadkowa

, to ciało to porusza się ruchem

jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do tej siły a odwrotnie
proporcjonalnym do masy – miary bezwładności tego ciała.

III zasada dynamiki Newtona: działania na siebie dwóch ciał są zawsze równe. lecz przeciwnie
skierowane. Gdy dwa ciała oddziaływują na siebie wzajemnie, to siła wywierana przez ciało B na ciało
A jest równa co do wartości i przeciwnie skierowana do siły z jaką ciało A działa na ciało B.

Wszystkie zasady dynamiki Newtona są spełnione tylko wtedy, gdy rozpatruje się je w inercjalnych
układach odniesienia, (czyli takich w których każde ciało porusza się ruchem jednostajnie
prostoliniowym lub spoczywa gdy nie działa na nie żadna siła – spełniona jest I zasada dynamiki
Newtona).

•

Pęd i zasada zachowania pędu.

Pęd jest to iloczyn masy ciała i jego prędkości wektorowej.

Zasada zachowania pędu: pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu. (zamknięty
układ ciał jest to układ, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w
obrębie samego układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu)). Wynika z drugiej zasady
dynamiki Newtona.

,

Przykład zastosowania: zderzenia sprężyste i niesprężyste, odrzut.

•

Nieinercjalne układy odniesienia: siła Coriolisa.
Nieinercjalny układ odniesienia – układ który porusza się ruchem niejednostajnym względem
jakiegokolwiek układu inercjalnego (czyli takiego w którym spełniona jest I zasada dynamiki
Newtona).
Siła Coriolisa- jest siłą bezwładności występującą w nieinercjalnym układzie odniesienia, związana jest
ona z ruchem postępowym ciał w układzie obracającym się. Jest ona skierowana prostopadle do

płaszczyzny wyznaczonej przez iloczyn wektorowy wektorów prędkości kątowej

i prędkości

.

Siła ta opisana jest wzorem:

Przykład: Ziemia jako obracający się, nieinercjalny układ odniesienia (ruch dobowy z zachodu na
wschód, z okresem 24 godziny) Podczas swobodnego spadku ciała np. z wieży następuje odchylenie
miejsca upadku względem pionu, wyznaczonego przez siły grawitacji o pewną wielkość , najwiekszą na
równiku, zerową na biegunie.

•

Praca i energia mechaniczna: praca, energia (kinetyczna i potencjalna), moc.
Energia jest miarą różnych rodzajów ruchu i miarą zdolności ciała do wykonywania pracy (w tym
ruchu);
Praca wykonywana przez siłę jest wielkością skalarną, liczbowo równą iloczynowi składowej siły w
kierunku wykonywanego ruchu przez drogę, przebytą w tym ruchu

Dla stałej siły:

Dla zmiennej siły o dowolnym kierunku względem przesunięcia i dowolnej trajektorii ruchu między
punktami A i B, możemy uogólnić powyższy wzór:

Energia mechaniczna: jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej.
Energia kinetyczna: to energia każdego poruszającego się ciała mierzona pracą, jaką trzeba wykonać
przy jego hamowaniu do całkowitego zatrzymania. Jest ona tzw. funkcją stanu ruchu ciała, tzn. zależy
tylko od wartości początkowych i końcowych.

Energia potencjalna: jest to energia zmagazynowana przez ciało do użycia w przyszłości. Podaje się ją
w postaci względnej zmiany a konkretna jej postać zależy od typu siły, z którą jest związana. Jeżeli
ciało znajduje się pod działaniem pewnej siły F, to zmianę jego energii potencjalnej ∆U obliczamy jako
pracę, którą trzeba wykonać, aby przesunąć to ciało w obecności tej siły

Moc: Jest to tempo przekazywania energii, z jednego ciała do drugiego P=dE/dt. Gdy ciało porusza się
z prędkością v pod wpływem siły F, to można moc obliczyć ze wzoru P=vF(obie wielkośći wektory).

•

Zasada zachowania energii (mechanicznej).
Siły zachowawcze: to takie siły, dla których praca nie zależy od drogi, po której jest wykonywana.
(czyli praca po drodze zamkniętej jest równa zeru).

Zamknięty układ zachowawczy: to układ ciał, które działają na siebie wzajemnie siłami
zachowawczymi.
Zasada zachowania energii w mechanice: energia mechaniczna zamkniętego układu zachowawczego

nie zmienia się podczas ruchu układu:

(suma energii kinetycznej i potencjalnej

jest stała)

•

Prawo powszechnego ciążenia.
Zostało sformułowana przez Newtona, na podstawie obserwacji empirycznych. Mówi, że między
każdymi dwoma punktami materialnymi we wszechświecie działa siła wzajemnego przyciągania,
wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów (m

1

i m

2

), a odwrotnie proporcjonalna do

kwadratu odległości r między nimi.

G jest to stała grawitacyjna, ustalona doświadczalnie przez Cavendisha.
Tak więc w pobliżu Ziemi siła ciążenia (ciężar) będzie proporcjonalna do masy ciała jako miary
liczebności materii oraz przyspieszenia ziemskiego. Ta masa ciała to masa grawitacyjna

P=mg m-masa grawitacyjna ciała

g-przyspieszenie ziemskie

•

Prawa Keplera.
Prawa Keplera opisują ruch planet w układzie słonecznym.
I prawo Keplera: Każda planeta Układu Słonecznego krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w
jednym z ognisk tej elipsy. Elipsy w astronomii zapisuje się za pomocą ich półosi wielkich, oraz
mimośrodów określających stopień spłaszczenia elipsy (im bliżej zera, tym mniej spłaszczona elipsa).
W układzie słonecznym mimośrody orbit planet są niewielkie (Merkury niewiele ponad 0.2, reszta
planet ponizej 0.1, Ziemia - 0.0167)
II prawo Keplera (prawo równych pól): Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych
odstępach czasu. (im bliżej punktu wokół którego krąży tym szybciej się porusza)
Prędkość polowa planet jest stała.

III prawo Keplera: Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek dwóch planet mają się tak do siebie,

jak kwadraty ich okresów obiegu:

Wynika to z zasady zachowania momentu pędu, ponieważ, moment pędu ciała po elipsie jest
zachowany względem środka pola

•

Środek masy i środek ciężkości układu.
Środek masy jest to punkt, który porusza się jak punkt materialny, w którym skupiona jest cała masa
układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych przyłożonych do układu.
Środek masy (środek bezwładności) układu punktów materialnych, to punkt którego położenie dane jest

wzorem:

gdzie:

Środek ciężkości

ciała to punkt przyłożenia wypadkowej sił ciężkości („ciężarów”) wszystkich

punktów materialnych ciała. Gdy wielkość

(przyspieszenie grawitacyjne) jest jednakowa dla

wszystkich punktów układu, mamy:

Ciało jest to układ n-punktów materialnych, których suma mas równa jest całkowitej masie M ciała.

•

Moment bezwładności – definicja, sens fizyczny, pojęcie tensora momentu bezwładności.
Moment bezwładności ciała jest to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym (jest analogiem masy
jako miary bezwładności w ruchu postępowym)
Moment bezwładności ciała jako układu n-punktów materialnych o różnych masach, oblicza się
względem osi „z”, sumując momenty bezwładności wszystkich punktów względem obranej osi obrotu.

Wyrażany jest wzorem:

Dla ciała rozciągłego, czyli takiego, które charakteryzuje ciągły rozkład masy:

A więc im ciało ma większą masę, tym trudniej jest to ciało wprawić w ruch obrotowy. Istotne
znaczenie ma również rozkład masy – im bardziej masa oddalona jest od osi obrotu, tym trudniej
wprawić ją w ruch.

Tensor momentu bezwładności, to tensor drugiego stopnia, który można przedstawić jako macierz
przedstawiająca momenty bezwładności ciała, względem różnych osi obrotu. Tensor ten jest
symetryczny, a wyrazy przekątne na danej osi można nazwać momentami bezwładności względem tej
osi.

•

Twierdzenie Steinera. (twierdzenie o osiach równoległych)
Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała względem pewnej osi obrotu, ale ciało obraca się
względem innej osi, równoległej do niej:

Moment bezwładności ciała

względem dowolnej osi

równa się momentowi bezwładności

tego ciała względem innej, równoległej do niej osi

, powiększonemu o iloczyn masy tego ciała przez

kwadrat odległości między tymi osiami:

•

Moment pędu i zasada zachowania momentu pędu.
Moment pędu (kręt)- punktu materialnego jest to wielkość fizyczna opisująca ruch obrotowy tego
punktu. Moment pędu punktu materialnego względem zadanego punktu określony jest zależnością

składowych:

– moment pędu punktu materialnego,
– wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała,

– pęd punktu materialnego,

Zasada zachowania momentu pędu: jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem
nieruchomego punktu ciała równa się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się

w czasie

jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to moment pędu ciała
względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.

•

Hydrostatyka płynów: prawa Pascala i Archimedesa.
Hydrostatyka- zajmuje się prawami, opisującymi statyczne zależności między ciśnieniami w cieczach.
Płyn- ciecze i gazy, substancja zdolna do przepływu, umieszczona w zbiorniku przyjmuje jego kształt,
ściśliwe
Prawo Pascala: ciśnienie, wywierane na część powierzchni płynu rozchodzi się jednakowo na wszystkie
części powierzchni ograniczającej płyn p=p0+(ro)gh
Praktycznym zastosowaniem tego prawa jest budowa barometrów, urządzeń służących do pomiaru
ciśnienia, oraz prasy hydrauliczne.

Prawo Archimedesa: mówi, że na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu, skierowana przeciwnie
do siły ciężkości, równa liczbowo ciężarowi wypartej cieczy.

•

Napięcie powierzchniowe.

zjawisko występujące na granicy faz (ciało stałe, ciecz, gaz) jako efekt różnic w wielkościach sił
oddziaływań międzycząsteczkowych dla poszczególnych faz. Miarą napięcia powierzchniowego jest
praca jaką trzeba wykonać, aby zwiększyć powierzchnię cieczy o jednostkę η=dW/dS=dF/dl

W termodynamice napięcie fazowe definiuje wzór: η=(dG/dS)pT

G- entalpia swobodna (funkcja Gibbsa)

* Kapilary i włoskowatość, menisk.

•

Hydrodynamika: przepływ płynu, prawa: ciągłości, Bernoullego.

Hydrodynamika- dział mechaniki płynów, zajmujący się prawami stanu równowagi i ruchu cieczy oraz
mechanicznym oddziaływaniem cieczy na ciała stałe.

Przepływ płynu, prawa: ciągłości, Bernoulliego
- przepływ ustalony (laminarny): gdy prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie
nie zmienia się z upływem czasu, przeciwieństwem jest przepływ nieustalony – turbulentny.
- przepływ nieściśliwy: gęstość płynu jest stała
- przepływ nielepki: (lepkość – tarcie wewnętrzne między warstwami płynu)
- przepływ bezwirowy: żaden z fr. Płynu nie porusza się wokół osi przechodzącej przez swój środek
masy.
Do badania przepływu służą tunele aerodynamiczne.

Prawo ciągłości: przepływ płynu przez ośrodek o zmiennym przekroju; prawo zachowania masy
zapisane dla przepływającego nieściśliwego płynu. Jeśli przez poprzeczny przekrój strugi płynu (rury)
przepływa masa Δm płynu to:
dla przekroju S1 Δm=Δvp=ρS1v1Δt
dla przekroju S2 Δm=Δvp=ρS2v2Δt => S1v1=S2v2=const

Prawo Bernoulliego: w czasie przepływu cieczy, suma ciśnienia statycznego i dynamicznego jest stała
wzdłuż każdej linii przepływu
p+(ρV²)/2+ρgy=const

•

Termodynamika fenomenologiczna: wielkości w opisie makroskopowym.
Termodynamika fenomenologiczna (klasyczna): zajmuje się makroskopowymi, równowagowymi
zjawiskami termodynamicznymi w oparciu o pewne aksjomaty poparte doświadczeniami.
Podstawowymi pojęciami na których jest oparta termodynamika fenomenologiczna są temperatura,
ciśnienie oraz objętość, termodynamika zajmuje się badaniem związków między tymi
wielkościami.Temperatura definiowana w ramach termodynamiki klasycznej (makroskopowej), to
parametr opisujący stan równowagi termodynamicznej układu. Ciśnienie definiujemy jako stosunek
siły, jaką gaz (ciecz) wywiera na ściankę naczynia, w którym się znajduje, do powierzchni tej ścianki

objętość jest miarą „ilości” materii w określonej przestrzeni.

•

Zasady termodynamiki i ich wybrane zastosowania: 0, 1, 2.
Równowaga termodynamiczna- stan makroskopowy układu, który jest niezmienny w czasie. Układ
izolowany, niezależnie od swojego stanu początkowego, po dostatecznie długim czasie (czas relaksacji)
dochodzi do stanu równowagi termodynamicznej.
Energia wewnętrzna- (zagadnienie 27)
Układ termodynamiczny- jest to ciało lub zespół ciał wyodrębniony z otoczenia, może być izolowany
lub oddziaływać z otoczeniem, cechą charakterystyczną układu jest stan termodynamiczny układu,
opisywany przez parametry stanu (ciśnienie, gęstość, temperatura)
Entropia-jest miarą nieuporządkowania układu cząsteczek. Im większy jest stan nieporządku położeń i
prędkości w układzie tym większe prawdopodobieństwo, że układ będzie w tym stanie.
S=k ln(w) k-stała Boltzmanna, w-prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie
Zerowa zasada termodynamiki: Jeśli dwa układy A i B są w równowadze termodynamicznej z trzecim
układem C, to są one w równowadze termodynamicznej ze sobą.
Pierwsza zasada termodynamiki: W izolowanym układzie termodynamicznym istnieje funkcja stanu U,
zwana energią wewnętrzną. Zmiana energii wewnętrznej ∆U układu termodynamicznego jest równa:
∆U=Q-W, gdzie W jest pracą wykonaną przez układ i Q jest ciepłem dostarczonym układowi.
Q= ∆U+W, dostarczone układowi termodynamicznemu ciepło w ilości Q jest równe sumie pracy W
wykonanej

przez

układ

i

zmianie

∆U

jego

energii

wewnęrznej.

Druga zasada termodynamiki: niemożliwy jest proces, którego jedynym rezultatem jest bezstratna
zamiana ciepła na pracę oraz równoważnie, nie istnieje taki proces fizyczny, który pozwalałby na
przekazanie ciepła, ze zbiornika o niższej temp do zbiornika o wyższej temp.

•

Równanie stanu gazu doskonałego i rzeczywistego.
Gaz doskonały: gaz, który spełnia następujące warunki: objętość cząsteczek jest o wiele mniejsza niż
objętość, zajmowana przez gaz, oraz zasięg sił, działających między dwiema cząsteczkami, jest o wiele
mniejszy, niż średnia odległość między nimi.
W termodynamice podstawowym prawem, rządzącym zachowaniem gazu doskonałego jest równanie
stanu gazów doskonałych (prawo Clapeyrona)

p jest ciśnieniem, V - objętością gazu, T - jego temperaturą, N- liczbą

cząsteczek gazu w jednostce objętości, k – stałą Boltzmanna, n – liczbą moli gazu, R – uniwersalną
stałą gazową.
Gaz rzeczywisty: nie zachowuje się ściśle zgodnie z prawami ustalonymi dla gazu doskonałego. Stanu
gazów rzeczywistych opisany jest równaniem Van der Waalsa:

p- ciśnienie;

V- objętość;

a,b- stałe charakterystyczne dla danego gazu, wyznaczane

doświadczalnie;

T- temperatura bezwzględna;

R- uniwersalna stała gazowa

•

Pojęcia: energia wewnętrzna, entropia (interpretacja makro- i mikroskopowa).
Energia wewnętrzna: energia wewnętrzna układu termodynamicznego jest to całkowita energia układu
(jego cząsteczek oraz ich wzajemnego oddziaływania: czyli energie kinetyczne oraz potencjalne
wszystkich cząsteczek), którą posiada on w warunkach równowagi termodynamicznej.
Entropia jest miarą nieuporządkowania układu cząstek. Im większy jest stan nieporządku położeń i
prędkości w układzie, tym większe prawdopodobieństwo, że układ będzie w tym stanie.
Statystycznie: prawdopodobieństwo wystąpienia danej konfiguracji cząstek to liczba mikrostanów
odpowiadających takiej konfiguracji podzielona przez całkowitą liczbę możliwych stanów = wszystkie
mikrostany

są

jednakowo

prawdopodobne.

Definicja

entropii:

S=k

lnω

k to stała Boltzmanna, ω to prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie (w odniesieniu do
wszystkich pozostałych stanów) ΔS≥0

•

Przemiany gazu doskonałego: praca w różnych przemianach.
Przemiana izochoryczna: w której V=const. Równanie tej przemiany (prawo Charlesa) ma postać:

praca = 0







Przemiana izobaryczna: w której p=const, opisywana prawie Gay-Lussaca

praca = pole figury pod wykresem przemiany

Przemiana izotermiczna: w której T=const, opisana przez prawo Boyle’a-Mariotte’a, które ma postać:

praca = pole figury pod wykresem przemiany

Przamiana adiabatyczna: której podlega gaz doskonały, całkowicie izolowany cieplnie od otoczenia.
Równanie adiabaty ma postać

pV^k=const

Gdzie k>1 jest stałym bezwymiarowym parametrem, zależnym od rodzaju gazu, zwanym
wykładnikiem adiabaty.

•

Silniki cieplne.
Silnik cieplny- to urządzenie, które ze swego otoczenia pobiera energie w postaci ciepła i wykonuje
użyteczną pracę. Substancją roboczą w silnikach może być woda (w postaci pary i cieczy), benzyna i
inne.

Silnik idealny: wszystkie procesy są odwracalne i nie ma strat energii związanych z tarciem bądź
turbulencjami
Sprawność silnika cieplnego:

Dla silnika doskonałego sprawność

•

Zjawiska termoelektryczne.
Zjawiska termoelektryczne- to efekt bezpośredniej transformacji napięcia elektrycznego występującego
między dwoma punktami układu ciał na różnicę temperatur między tymi punktami, lub odwrotnie:
różnicy temperatur na napięcie elektryczne. W zależności od kierunku transformacji zjawiska
termoelektryczne dzieli się na:

zjawisko Seebecka - powstanie siły termoelektrycznej w zamkniętym obwodzie składającym

się z dwóch różnych metali, o ile miejsca styku tych metali znajdują się w różnych temperaturach,

zjawisko Peltiera - gdy prąd elektryczny przepływa, przez miejsce złączenia dwóch różnych

metali, to zależnie od kierunku przepływu złącze to nagrzewa się lub oziębia,

zjawisko Thomsona - nagrzewanie lub oziębianie pod wpływem przepływu prądu występujące

również w jednorodnym przewodniku, którego końce znajdują się w różnych temperaturach

•

Elementy termodynamiki statystycznej: idee opisu statystycznego, mikroskopowa interpretacja
temperatury.
Obiektem zainteresowania termodynamiki statystycznej są – podobnie jak termodynamiki
fenomenologicznej – właściwości układów makroskopowych. Jej podstawowym celem jest powiązanie
obserwowanych doświadczalnie właściwości makroskopowych, zasad i praw termodynamiki
fenomenologicznej, z budową atomową rozpatrywanego układu.
Mikroskopowa definicja temperatury: z teorii kinetycznej wynika, że temperatura jest tym wyższa, im
szybciej poruszają się cząsteczki danego ciała. Temperatura jest wprost proporcjonalna do średniej
energii kinetycznej cząsteczek ciała, i opisana jest wzorem:

,

gdzie

jest średnią energią kinetyczną przypadającą na 1 cząsteczkę gazu

•

Funkcja rozkładu Maxwella: co to jest?, założenia, wynik (wykresy).
Rozkład Maxwella otrzymano przy założeniach:
- spełnione są wszystkie zasady zachowania (liczby cząsteczek, energii, pędu, momentu pędu, ładunku)
- wszystkie procesy fizyczne w układzie przebiegają w sposób ciągły w czasie i przestrzeni
- obliczenia statystyczne przeprowadzono przy założeniach rozróżnialności cząstek
- każda cząstka może mieć dowolne wartości współrzędnych i prędkości niezależnie od wartości
współrzędnych i prędkości innych cząstek (a więc w szczególności prawdopodobieństwo znalezienia
się cząstki w danej objętości przestrzeni jest niezależne od tego, ile innych cząstek tę „komórkę”
przestrzeni zajmuje)

Rozkład Maxwella pozwala określić jaka liczba cząstek

z całej ilości

cząstek gazu doskonałego

w jednostce objętości (

) ma w danej temperaturze prędkości w przedziale od do

:

Maksimum krzywej przesuwa sięwraz ze wzrostem temperatury w kierunku większych prędkości –
przy ogrzewaniu gazu udział cząsteczek obdarzonych małymi prędkościami zmniejsza się.
Rozkład Maxwella jest prawem statystycznym, otrzymanym za pomocą metod rachunku
prawdopodobieństwa – jest tym bardziej zgodny z rzeczywistością, im więcej cząsteczek gazu
rozpatrujemy. Rozkład ten nie uwzględnia również działania zewnętrznego pola sił (np. grawitacji)

•

Zasada ekwipartycji energii: jednym z ważniejszych praw fizyki statystycznej jest prawo
równomiernego rozkładu energii między stopnie swobody: na każdy stopień swobody cząsteczki
średnio

przypada

jednakowa

energia

kinetyczna

równa

kT/2

- jeżeli cząsteczka jest obdarzona i stopniami swobody, to jej średnia energia kinetyczna: <ek>=i/2 kT

•

Ruch okresowy: drgania, drgania okresowe, drgania harmoniczne (definicje, definicje
podstawowych wielkości opisujących drgania, równanie drgań harmonicznych, przykłady).
Drganie (ruch drgający) – ruch (lub zmiana stanu), który charakteryzuje się powtarzalnością w
czasie wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan (np. położenie, prędkość).

Drganie okresowe (periodyczne) – powtarzanie zachodzi zawsze po tym samym czasie

, zwanym

okresem.
Drganie okresowe harmoniczne – położenie ciała opisuje funkcja sinus (bądź kosinus):

Ruch harmoniczny to taki, dla którego:

Siła jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie do niego skierowana (prawo Hooke’a). (F -
siła harmoniczna)

-

jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem położenia równowagi);

-

to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach);

-

to częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę);

-

to faza początkowa.

- Częstotliwość drgań:

(Hz – herc);

Wahadło matematyczne:
Punkt materialny, zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici;

;

;

Wahadło fizyczne:
Ciało doskonale sztywne, które pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej, nie
przechodzącej przez środek ciężkości ciała;

•

Ruch okresowy: tłumiony, wymuszony. ogólne równanie drgań tłumionych

(straty energii na oporze ośrodka proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia)

dla oscylatora mechanicznego: =r/2m ω =(k/m)^½

Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi – nigdy nie powtarzają się największe wartości
wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie ożna nazwać ω częstością kątową – w
tym sensie, że wskazuje ona, ile razu w ciągu π sekund drgający układ przechodzi przez położenie
równowagi.

Podobnie: T=2 π/ω nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.
Współczynnik tłumienia =r/2m mówi nam o stosunku kolejnych amplitud drgań gasnących:
An/An+1=exp( T)

Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń, następujących po sobie w odstępie
czasu T (umownego okresu) nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia

Drgania wymuszone: oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą – okresową
siłą wymuszającą F:
F(t)=F˳cos(ωt)

Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przyjmuje wtedy postać:
jest to równanie różniczkowe niejednorodne.

Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły
wymuszającej F˳ i odwrotnie proporcjonalna do masy m układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem
współczynnika tłumienia

Faza początkowa ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań wymuszonych A i amplitudą siły
wymuszającej F˳ (ściślej: ponieważ użyliśmy funkcji „cosinus” do opisu siły wymuszającej i funkcji
„sinus” do opisu drgania , to szukaną różnicą faz będzie: )

•

Pojęcie rezonansu (mechanicznego).
Rezonans to zjawisko gwałtownego wzrostu amplitudy drgań układu mechanicznego zachodzące, gdy
częstość drgań wymuszonych zbliża się do częstości drgań własnych. Zjawisko renonansu przebiega
tym gwałtowniej, im mniejsze jest tłumienie w układzie. Ma decydujące znaczenie dla procesu
wydobywania dźwięku w instrumentach muzycznych. Oddziałowuje niekorzystnie na wiele typów
konstrukcji.

•

Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się (rozchodzące się w przestrzeni) zaburzenie
(odkształcenie, drgania)

Drgania: x(t) Fale: y(x,t)

Fale przenoszą energię, ale nie transportują materii. Fale mogą rozchodzić się w ośrodkach
materialnych (i związane są wtedy ze zmianą parametrów takiego ośrodka, jak np. Ciśnienie i gęstość w
gazach w przypadku fali akustycznej w powietrzu) ale mogą też nie potrzebować ośrodka materialnego
do propagacji (fale elektromagnetyczne).

- rodzaje fal: mechaniczne, elektromagnetyczne, materii (cząstki)

Fala poprzeczna – gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali

Fala podłużna – gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali

Równanie falowe:
Przykład: fala biegnąca po strunie, fale akustyczne.

•

Interferencja: zjawisko powstawania nowego przestrzennego układu fali w wyniku nakładania się
(superpozycji) dwóch lub więcej fal.

•

Fale akustyczne: jest to rodzaj fal sprężystych – rozchodzących się w ciągłym ośrodku materialnym
odkształceń objętościowych lub odkształceń postaci (w ciałach stałych).

Fale akustyczne w powietrzu są przykładem fal podłużnych, polegających na rozchodzeniu się
zagęszczeń i rozrzedzeń powietrza.
Założenia:
- lokalny ruch cząsteczek powoduje zmianę częstości gazu
- zmiana gęstości jest równoważna zmianie ciśnienia gazu|- nierównomierny rozkład ciśnienia
powoduje lokalny ruch cząsteczek gazu
Równanie falowe fali dźwiękowej w powietrzu:

•

Fale mechaniczne: prędkość fazowa i grupowa; zasada superpozycji; interferencja.
Prędkość grupowa v

g

– prędkość rozchodzenia się paczki fal sinusoidalnych o zbliżonych częstościach

(prędkość „grzbietu” obwiedni):

Prędkość fazowa v

f

- prędkość rozchodzenia się stałej fazy (każdej fali składowej osobno);

Zasada superpozycji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą

wychyleń, wynikających z każdego ruchu.

•

Fale dźwiękowe to rodzaj fal ciśnienia. Ośrodki, w których mogą się poruszać, to ośrodki sprężyste
(ciało stałe, ciecz, gaz). Zaburzenia te polegają na przenoszeniu energii mechanicznej przez drgające
cząstki ośrodka (zgęszczenia i rozrzedzenia) bez zmiany ich średniego położenia. Drgania mają
kierunek oscylacji zgodny z kierunkiem ruchu fali (są to fale podłużne).