Rzut ukośny - definicja, równania ruchu, równanie trajektorii.

Zasada niezależności ruchów (superpozycji) – jeśli jakiś punkt bierze udział jednocześnie w kilku ruchach, to wypadkowe przesunięcie punktu równe jest sumie wektorowej przesunięć wykonanych przez ten punkt w tym samym czasie w każdym z tych ruchów oddzielnie.

Ruch ukośny: to ruch ciała w polu grawitacyjnym (ruch w dwóch wymiarach), który jest złożeniem dwóch ruchów – w kierunku osi „x” oraz w kierunku osi „y”. Zgodnie z zasadą superpozycji, ruch ten można opisać jako dwa niezależne ruchy.

ruch w kierunku „x” – ruch jednostajny z prędkością

ruch w kierunku „y” – ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową i przyspieszeniem g

trajektoria ruchu: (parabola)

parametry lotu:

zasięg L: oraz maksymalna wysokość wzniesienia H:

Pęd i zasada zachowania pędu.

Pęd jest to iloczyn masy ciała i jego prędkości wektorowej.

Zasada zachowania pędu: pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu. (zamknięty układ ciał jest to układ, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w obrębie samego układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu)). Wynika z drugiej zasady dynamiki Newtona.

,

Przykład zastosowania: zderzenia sprężyste i niesprężyste, odrzut.

Nieinercjalne układy odniesienia: siła Coriolisa.

Nieinercjalny układ odniesienia – układ który porusza się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek układu inercjalnego (czyli takiego w którym spełniona jest I zasada dynamiki Newtona).

Siła Coriolisa- jest siłą bezwładności występującą w nieinercjalnym układzie odniesienia, związana jest ona z ruchem postępowym ciał w układzie obracającym się. Jest ona skierowana prostopadle do płaszczyzny wyznaczonej przez iloczyn wektorowy wektorów prędkości kątowej i prędkości.

Siła ta opisana jest wzorem:

Przykład: Ziemia jako obracający się, nieinercjalny układ odniesienia (ruch dobowy z zachodu na wschód, z okresem 24 godziny) Podczas swobodnego spadku ciała np. z wieży następuje odchylenie miejsca upadku względem pionu, wyznaczonego przez siły grawitacji o pewną wielkość , najwiekszą na równiku, zerową na biegunie.

Praca i energia mechaniczna: praca, energia (kinetyczna i potencjalna), moc.

Energia jest miarą różnych rodzajów ruchu i miarą zdolności ciała do wykonywania pracy (w tym ruchu);

Praca wykonywana przez siłę jest wielkością skalarną, liczbowo równą iloczynowi składowej siły w kierunku wykonywanego ruchu przez drogę, przebytą w tym ruchu

Dla stałej siły:

Dla zmiennej siły o dowolnym kierunku względem przesunięcia i dowolnej trajektorii ruchu między punktami A i B, możemy uogólnić powyższy wzór:

Energia mechaniczna: jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej.

Energia kinetyczna: to energia każdego poruszającego się ciała mierzona pracą, jaką trzeba wykonać przy jego hamowaniu do całkowitego zatrzymania. Jest ona tzw. funkcją stanu ruchu ciała, tzn. zależy tylko od wartości początkowych i końcowych.

Energia potencjalna: jest to energia zmagazynowana przez ciało do użycia w przyszłości. Podaje się ją w postaci względnej zmiany a konkretna jej postać zależy od typu siły, z którą jest związana. Jeżeli ciało znajduje się pod działaniem pewnej siły F, to zmianę jego energii potencjalnej ∆U obliczamy jako pracę, którą trzeba wykonać, aby przesunąć to ciało w obecności tej siły

Moc: Jest to tempo przekazywania energii, z jednego ciała do drugiego P=dE/dt. Gdy ciało porusza się z prędkością v pod wpływem siły F, to można moc obliczyć ze wzoru P=vF(obie wielkośći wektory).

Zasada zachowania energii (mechanicznej).

Siły zachowawcze: to takie siły, dla których praca nie zależy od drogi, po której jest wykonywana. (czyli praca po drodze zamkniętej jest równa zeru).

Zamknięty układ zachowawczy: to układ ciał, które działają na siebie wzajemnie siłami zachowawczymi.

Zasada zachowania energii w mechanice: energia mechaniczna zamkniętego układu zachowawczego nie zmienia się podczas ruchu układu: (suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała)

Prawo powszechnego ciążenia.

Zostało sformułowana przez Newtona, na podstawie obserwacji empirycznych. Mówi, że między każdymi dwoma punktami materialnymi we wszechświecie działa siła wzajemnego przyciągania, wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów (m₁ i m₂), a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r między nimi.

G jest to stała grawitacyjna, ustalona doświadczalnie przez Cavendisha.

Tak więc w pobliżu Ziemi siła ciążenia (ciężar) będzie proporcjonalna do masy ciała jako miary liczebności materii oraz przyspieszenia ziemskiego. Ta masa ciała to masa grawitacyjna

P=mg m-masa grawitacyjna ciała g-przyspieszenie ziemskie

Prawa Keplera.

Prawa Keplera opisują ruch planet w układzie słonecznym.

I prawo Keplera: Każda planeta Układu Słonecznego krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy. Elipsy w astronomii zapisuje się za pomocą ich półosi wielkich, oraz mimośrodów określających stopień spłaszczenia elipsy (im bliżej zera, tym mniej spłaszczona elipsa). W układzie słonecznym mimośrody orbit planet są niewielkie (Merkury niewiele ponad 0.2, reszta planet ponizej 0.1, Ziemia - 0.0167)

II prawo Keplera (prawo równych pól): Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu. (im bliżej punktu wokół którego krąży tym szybciej się porusza)

Prędkość polowa planet jest stała.

III prawo Keplera: Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek dwóch planet mają się tak do siebie, jak kwadraty ich okresów obiegu:

Wynika to z zasady zachowania momentu pędu, ponieważ, moment pędu ciała po elipsie jest zachowany względem środka pola

Środek masy i środek ciężkości układu.

Środek masy jest to punkt, który porusza się jak punkt materialny, w którym skupiona jest cała masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych przyłożonych do układu.

Środek masy (środek bezwładności) układu punktów materialnych, to punkt którego położenie dane jest wzorem: gdzie:

Środek ciężkości ciała to punkt przyłożenia wypadkowej sił ciężkości („ciężarów”) wszystkich punktów materialnych ciała. Gdy wielkość (przyspieszenie grawitacyjne) jest jednakowa dla wszystkich punktów układu, mamy:

Ciało jest to układ n-punktów materialnych, których suma mas równa jest całkowitej masie M ciała.

Moment bezwładności – definicja, sens fizyczny, pojęcie tensora momentu bezwładności.

Moment bezwładności ciała jest to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym (jest analogiem masy jako miary bezwładności w ruchu postępowym)

Moment bezwładności ciała jako układu n-punktów materialnych o różnych masach, oblicza się względem osi „z”, sumując momenty bezwładności wszystkich punktów względem obranej osi obrotu. Wyrażany jest wzorem:

Dla ciała rozciągłego, czyli takiego, które charakteryzuje ciągły rozkład masy:

A więc im ciało ma większą masę, tym trudniej jest to ciało wprawić w ruch obrotowy. Istotne znaczenie ma również rozkład masy – im bardziej masa oddalona jest od osi obrotu, tym trudniej wprawić ją w ruch.

Tensor momentu bezwładności, to tensor drugiego stopnia, który można przedstawić jako macierz przedstawiająca momenty bezwładności ciała, względem różnych osi obrotu. Tensor ten jest symetryczny, a wyrazy przekątne na danej osi można nazwać momentami bezwładności względem tej osi.

Twierdzenie Steinera. (twierdzenie o osiach równoległych)

Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała względem pewnej osi obrotu, ale ciało obraca się względem innej osi, równoległej do niej:

Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi równa się momentowi bezwładności tego ciała względem innej, równoległej do niej osi , powiększonemu o iloczyn

masy tego ciała przez kwadrat odległości między tymi osiami:

Moment pędu i zasada zachowania momentu pędu.

Moment pędu (kręt)- punktu materialnego jest to wielkość fizyczna opisująca ruch obrotowy tego punktu. Moment pędu punktu materialnego względem zadanego punktu określony jest zależnością składowych:

– moment pędu punktu materialnego,

– wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała,

– pęd punktu materialnego,

Zasada zachowania momentu pędu: jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu ciała równa się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się w czasie

jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.

Hydrostatyka płynów: prawa Pascala i Archimedesa.

Hydrostatyka- zajmuje się prawami, opisującymi statyczne zależności między ciśnieniami w cieczach.

Płyn- ciecze i gazy, substancja zdolna do przepływu, umieszczona w zbiorniku przyjmuje jego kształt, ściśliwe

Prawo Pascala: ciśnienie, wywierane na część powierzchni płynu rozchodzi się jednakowo na wszystkie części powierzchni ograniczającej płyn p=p0+(ro)gh

Praktycznym zastosowaniem tego prawa jest budowa barometrów, urządzeń służących do pomiaru ciśnienia, oraz prasy hydrauliczne.

Prawo Archimedesa: mówi, że na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu, skierowana przeciwnie do siły ciężkości, równa liczbowo ciężarowi wypartej cieczy.

Napięcie powierzchniowe.zjawisko występujące na granicy faz (ciało stałe, ciecz, gaz) jako efekt różnic w wielkościach sił oddziaływań międzycząsteczkowych dla poszczególnych faz. Miarą napięcia powierzchniowego jest praca jaką trzeba wykonać, aby zwiększyć powierzchnię cieczy o jednostkę η=dW/dS=dF/dl

W termodynamice napięcie fazowe definiuje wzór: η=(dG/dS)pT

G- entalpia swobodna (funkcja Gibbsa)

Kapilary i włoskowatość, menisk.

Hydrodynamika: przepływ płynu, prawa: ciągłości, Bernoullego.

Hydrodynamika- dział mechaniki płynów, zajmujący się prawami stanu równowagi i ruchu cieczy oraz mechanicznym oddziaływaniem cieczy na ciała stałe.

Przepływ płynu, prawa: ciągłości, Bernoulliego
- przepływ ustalony (laminarny): gdy prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu, przeciwieństwem jest przepływ nieustalony – turbulentny.
- przepływ nieściśliwy: gęstość płynu jest stała
- przepływ nielepki: (lepkość – tarcie wewnętrzne między warstwami płynu)
- przepływ bezwirowy: żaden z fr. Płynu nie porusza się wokół osi przechodzącej przez swój środek masy.
Do badania przepływu służą tunele aerodynamiczne.

Prawo ciągłości: prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów strugi

V1/V2=S1/S2

Prawo Bernoulliego: w czasie przepływu cieczy, suma ciśnienia statycznego i dynamicznego jest stała wzdłuż każdej linii przepływu
p+(ρV²)/2+ρgy=const

Termodynamika fenomenologiczna: wielkości w opisie makroskopowym.

Termodynamika fenomenologiczna (klasyczna): zajmuje się makroskopowymi, równowagowymi zjawiskami termodynamicznymi w oparciu o pewne aksjomaty poparte doświadczeniami.

Podstawowymi pojęciami na których jest oparta termodynamika fenomenologiczna są temperatura, ciśnienie oraz objętość, termodynamika zajmuje się badaniem związków między tymi wielkościami.Temperatura definiowana w ramach termodynamiki klasycznej (makroskopowej), to parametr opisujący stan równowagi termodynamicznej układu. Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły, jaką gaz (ciecz) wywiera na ściankę naczynia, w którym się znajduje, do powierzchni tej ścianki objętość jest miarą „ilości” materii w określonej przestrzeni.

Zasady termodynamiki i ich wybrane zastosowania: 0, 1, 2.

Równowaga termodynamiczna- stan makroskopowy układu, który jest niezmienny w czasie. Układ izolowany, niezależnie od swojego stanu początkowego, po dostatecznie długim czasie (czas relaksacji) dochodzi do stanu równowagi termodynamicznej.

Energia wewnętrzna- (zagadnienie 27)

Układ termodynamiczny- jest to ciało lub zespół ciał wyodrębniony z otoczenia, może być izolowany lub oddziaływać z otoczeniem, cechą charakterystyczną układu jest stan termodynamiczny układu, opisywany przez parametry stanu (ciśnienie, gęstość, temperatura)

Entropia-jest miarą nieuporządkowania układu cząsteczek. Im większy jest stan nieporządku położeń i prędkości w układzie tym większe prawdopodobieństwo, że układ będzie w tym stanie.

S=k ln(w) k-stała Boltzmanna, w-prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie

Zerowa zasada termodynamiki: Jeśli dwa układy A i B są w równowadze termodynamicznej z trzecim układem C, to są one w równowadze termodynamicznej ze sobą.

Pierwsza zasada termodynamiki: W izolowanym układzie termodynamicznym istnieje funkcja stanu U, zwana energią wewnętrzną. Zmiana energii wewnętrznej ∆U układu termodynamicznego jest równa: ∆U=Q-W, gdzie W jest pracą wykonaną przez układ i Q jest ciepłem dostarczonym układowi.

Q= ∆U+W, dostarczone układowi termodynamicznemu ciepło w ilości Q jest równe sumie pracy W wykonanej przez układ i zmianie ∆U jego energii wewnęrznej.
Druga zasada termodynamiki: niemożliwy jest proces, którego jedynym rezultatem jest bezstratna zamiana ciepła na pracę oraz równoważnie, nie istnieje taki proces fizyczny, który pozwalałby na przekazanie ciepła, ze zbiornika o niższej temp do zbiornika o wyższej temp.

Równanie stanu gazu doskonałego i rzeczywistego.

Gaz doskonały: gaz, który spełnia następujące warunki: objętość cząsteczek jest o wiele mniejsza niż objętość, zajmowana przez gaz, oraz zasięg sił, działających między dwiema cząsteczkami, jest o wiele mniejszy, niż średnia odległość między nimi.

W termodynamice podstawowym prawem, rządzącym zachowaniem gazu doskonałego jest równanie stanu gazów doskonałych (prawo Clapeyrona)

p jest ciśnieniem, V - objętością gazu, T - jego temperaturą, N- liczbą cząsteczek gazu w jednostce objętości, k – stałą Boltzmanna, n – liczbą moli gazu, R – uniwersalną stałą gazową.

Gaz rzeczywisty: nie zachowuje się ściśle zgodnie z prawami ustalonymi dla gazu doskonałego. Stanu gazów rzeczywistych opisany jest równaniem Van der Waalsa:

p- ciśnienie; V- objętość; a,b- stałe charakterystyczne dla danego gazu, wyznaczane doświadczalnie; T- temperatura bezwzględna; R- uniwersalna stała gazowa

Pojęcia: energia wewnętrzna, entropia (interpretacja makro- i mikroskopowa).

Energia wewnętrzna: energia wewnętrzna układu termodynamicznego jest to całkowita energia układu (jego cząsteczek oraz ich wzajemnego oddziaływania: czyli energie kinetyczne oraz potencjalne wszystkich cząsteczek), którą posiada on w warunkach równowagi termodynamicznej.
Entropia jest miarą nieuporządkowania układu cząstek. Im większy jest stan nieporządku położeń i prędkości w układzie, tym większe prawdopodobieństwo, że układ będzie w tym stanie.
Statystycznie: prawdopodobieństwo wystąpienia danej konfiguracji cząstek to liczba mikrostanów odpowiadających takiej konfiguracji podzielona przez całkowitą liczbę możliwych stanów = wszystkie mikrostany są jednakowo prawdopodobne.
Definicja entropii: S=k lnω
k to stała Boltzmanna, ω to prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów) ΔS≥0

Przemiany gazu doskonałego: praca w różnych przemianach.

Przemiana izochoryczna: w której V=const. Równanie tej przemiany (prawo Charlesa) ma postać:

praca = 0

Przemiana izobaryczna: w której p=const, opisywana prawie Gay-Lussaca

praca = pole figury pod wykresem przemiany

Przemiana izotermiczna: w której T=const, opisana przez prawo Boyle’a-Mariotte’a, które ma postać:

praca = pole figury pod wykresem przemiany

Przamiana adiabatyczna: której podlega gaz doskonały, całkowicie izolowany cieplnie od otoczenia. Równanie adiabaty ma postać

pV^k=const

Gdzie k>1 jest stałym bezwymiarowym parametrem, zależnym od rodzaju gazu, zwanym wykładnikiem adiabaty.

Silniki cieplne.

Silnik cieplny- to urządzenie, które ze swego otoczenia pobiera energie w postaci ciepła i wykonuje użyteczną pracę. Substancją roboczą w silnikach może być woda (w postaci pary i cieczy), benzyna i inne.

Silnik idealny: wszystkie procesy są odwracalne i nie ma strat energii związanych z tarciem bądź turbulencjami

Sprawność silnika cieplnego:

Dla silnika doskonałego sprawność

Zjawiska termoelektryczne.

Zjawiska termoelektryczne- to efekt bezpośredniej transformacji napięcia elektrycznego występującego między dwoma punktami układu ciał na różnicę temperatur między tymi punktami, lub odwrotnie: różnicy temperatur na napięcie elektryczne. W zależności od kierunku transformacji zjawiska termoelektryczne dzieli się na:

zjawisko Seebecka - powstanie siły termoelektrycznej w zamkniętym obwodzie składającym się z dwóch różnych metali, o ile miejsca styku tych metali znajdują się w różnych temperaturach,

zjawisko Peltiera - gdy prąd elektryczny przepływa, przez miejsce złączenia dwóch różnych metali, to zależnie od kierunku przepływu złącze to nagrzewa się lub oziębia,

zjawisko Thomsona - nagrzewanie lub oziębianie pod wpływem przepływu prądu występujące również w jednorodnym przewodniku, którego końce znajdują się w różnych temperaturach

Elementy termodynamiki statystycznej: idee opisu statystycznego, mikroskopowa interpretacja temperatury.

Obiektem zainteresowania termodynamiki statystycznej są – podobnie jak termodynamiki fenomenologicznej – właściwości układów makroskopowych. Jej podstawowym celem jest powiązanie obserwowanych doświadczalnie właściwości makroskopowych, zasad i praw termodynamiki fenomenologicznej, z budową atomową rozpatrywanego układu.

Mikroskopowa definicja temperatury: z teorii kinetycznej wynika, że temperatura jest tym wyższa, im szybciej poruszają się cząsteczki danego ciała. Temperatura jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząsteczek ciała, i opisana jest wzorem:

,

gdzie jest średnią energią kinetyczną przypadającą na 1 cząsteczkę gazu

Funkcja rozkładu Maxwella: co to jest?, założenia, wynik (wykresy).

Rozkład Maxwella otrzymano przy założeniach:

- spełnione są wszystkie zasady zachowania (liczby cząsteczek, energii, pędu, momentu pędu, ładunku)

- wszystkie procesy fizyczne w układzie przebiegają w sposób ciągły w czasie i przestrzeni

- obliczenia statystyczne przeprowadzono przy założeniach rozróżnialności cząstek

- każda cząstka może mieć dowolne wartości współrzędnych i prędkości niezależnie od wartości współrzędnych i prędkości innych cząstek (a więc w szczególności prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w danej objętości przestrzeni jest niezależne od tego, ile innych cząstek tę „komórkę” przestrzeni zajmuje)

Rozkład Maxwella pozwala określić jaka liczba cząstek z całej ilości cząstek gazu doskonałego w jednostce objętości () ma w danej temperaturze prędkości w przedziale od do :

Maksimum krzywej przesuwa sięwraz ze wzrostem temperatury w kierunku większych prędkości – przy ogrzewaniu gazu udział cząsteczek obdarzonych małymi prędkościami zmniejsza się.
Rozkład Maxwella jest prawem statystycznym, otrzymanym za pomocą metod rachunku prawdopodobieństwa – jest tym bardziej zgodny z rzeczywistością, im więcej cząsteczek gazu rozpatrujemy. Rozkład ten nie uwzględnia również działania zewnętrznego pola sił (np. grawitacji)

Zasada ekwipartycji energii: jednym z ważniejszych praw fizyki statystycznej jest prawo równomiernego rozkładu energii między stopnie swobody: na każdy stopień swobody cząsteczki średnio przypada jednakowa energia kinetyczna równa kT/2
- jeżeli cząsteczka jest obdarzona i stopniami swobody, to jej średnia energia kinetyczna: <ek>=i/2 kT

Ruch okresowy: drgania, drgania okresowe, drgania harmoniczne (definicje, definicje podstawowych wielkości opisujących drgania, równanie drgań harmonicznych, przykłady).

Drganie (ruch drgający) – ruch (lub zmiana stanu), który charakteryzuje się powtarzalnością w czasie wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan (np. położenie, prędkość).

Drganie okresowe (periodyczne) – powtarzanie zachodzi zawsze po tym samym czasie , zwanym okresem.

Drganie okresowe harmoniczne – położenie ciała opisuje funkcja sinus (bądź kosinus):

Ruch harmoniczny to taki, dla którego:

Siła jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie do niego skierowana (prawo Hooke’a). (F - siła harmoniczna)

- jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem położenia równowagi);

- to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach);

- to częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę);

- to faza początkowa.

- Częstotliwość drgań:

(Hz – herc);

Wahadło matematyczne:

Punkt materialny, zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici;

;

Wahadło fizyczne:

Ciało doskonale sztywne, które pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała;

Ruch okresowy: tłumiony, wymuszony. ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze ośrodka proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia)

dla oscylatora mechanicznego: β=r/2m ω̥=(k/m)^½

Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi – nigdy nie powtarzają się największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie ożna nazwać ω częstością kątową – w tym sensie, że wskazuje ona, ile razu w ciągu π sekund drgający układ przechodzi przez położenie równowagi.

Podobnie: T=2 π/ω nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.

Współczynnik tłumienia β=r/2m mówi nam o stosunku kolejnych amplitud drgań gasnących: An/An+1=exp( βT)

Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń, następujących po sobie w odstępie czasu T (umownego okresu) nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia

Drgania wymuszone: oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą – okresową siłą wymuszającą F:

F(t)=F˳cos(ωt)

Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przyjmuje wtedy postać:

jest to równanie różniczkowe niejednorodne.

Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F˳ i odwrotnie proporcjonalna do masy m układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia β

Faza początkowa ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań wymuszonych A i amplitudą siły wymuszającej F˳ (ściślej: ponieważ użyliśmy funkcji „cosinus” do opisu siły wymuszającej i funkcji „sinus” do opisu drgania , to szukaną różnicą faz będzie: )

Pojęcie rezonansu (mechanicznego).

Rezonans to zjawisko gwałtownego wzrostu amplitudy drgań układu mechanicznego zachodzące, gdy częstość drgań wymuszonych zbliża się do częstości drgań własnych. Zjawisko renonansu przebiega tym gwałtowniej, im mniejsze jest tłumienie w układzie. Ma decydujące znaczenie dla procesu wydobywania dźwięku w instrumentach muzycznych. Oddziałowuje niekorzystnie na wiele typów konstrukcji.

Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się (rozchodzące się w przestrzeni) zaburzenie (odkształcenie, drgania)

Drgania: x(t) Fale: y(x,t)

Fale przenoszą energię, ale nie transportują materii. Fale mogą rozchodzić się w ośrodkach materialnych (i związane są wtedy ze zmianą parametrów takiego ośrodka, jak np. Ciśnienie i gęstość w gazach w przypadku fali akustycznej w powietrzu) ale mogą też nie potrzebować ośrodka materialnego do propagacji (fale elektromagnetyczne).

- rodzaje fal: mechaniczne, elektromagnetyczne, materii (cząstki)

Fala poprzeczna – gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali

Fala podłużna – gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali

Równanie falowe:

Przykład: fala biegnąca po strunie, fale akustyczne.

Interferencja: zjawisko powstawania nowego przestrzennego układu fali w wyniku nakładania się (superpozycji) dwóch lub więcej fal.

Fale akustyczne: jest to rodzaj fal sprężystych – rozchodzących się w ciągłym ośrodku materialnym odkształceń objętościowych lub odkształceń postaci (w ciałach stałych).

Fale akustyczne w powietrzu są przykładem fal podłużnych, polegających na rozchodzeniu się zagęszczeń i rozrzedzeń powietrza.

Założenia:
- lokalny ruch cząsteczek powoduje zmianę częstości gazu
- zmiana gęstości jest równoważna zmianie ciśnienia gazu|- nierównomierny rozkład ciśnienia powoduje lokalny ruch cząsteczek gazu

Równanie falowe fali dźwiękowej w powietrzu:

Fale mechaniczne: prędkość fazowa i grupowa; zasada superpozycji; interferencja.

Prędkość grupowa v_g – prędkość rozchodzenia się paczki fal sinusoidalnych o zbliżonych częstościach (prędkość „grzbietu” obwiedni):

Prędkość fazowa v_f - prędkość rozchodzenia się stałej fazy (każdej fali składowej osobno);

Zasada superpozycji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z każdego ruchu.

Fale dźwiękowe to rodzaj fal ciśnienia. Ośrodki, w których mogą się poruszać, to ośrodki sprężyste (ciało stałe, ciecz, gaz). Zaburzenia te polegają na przenoszeniu energii mechanicznej przez drgające cząstki ośrodka (zgęszczenia i rozrzedzenia) bez zmiany ich średniego położenia. Drgania mają kierunek oscylacji zgodny z kierunkiem ruchu fali (są to fale podłużne).