Budownictwo

Lista nr 3 – matematyka

Zad 1. Wypisa kilka pocz tkowych wyrazów ci gu (a

n

), którego wyraz ogólny okre lony jest wzorem:

.

2

1

1

)

;

2

1

2

1

1

)

;

)

2

(

)

;

1

)

;

1

)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

e

a

d

a

c

n

n

a

b

n

a

a

+

=

−

+

+

=

−

=

+

=

=

Zad 2. Na podstawie znajomo ci kilku pocz tkowych wyrazów podanych ci gów znale wzory ogólne tych ci gów:

a) (a

n

)=(1,4,9,16,25,36,...); b) (a

n

)=(

,

25

1

,

16

1

,

9

1

,

4

1

,

1

...); c) (a

n

)=(

,

9

1

,

7

1

,

5

1

,

3

1

,

1

−

−

...);

d) (a

n

)=(0,2,0,2,0,2,...);

e) (a

n

)=(2,1,0,-1,-2,-3,...); f) (a

n

)=(-1,1,3,5,7,9,...).

Zad 3. Zbada monotoniczno nast puj cych ci gów o wyrazie ogólnym:

.

!

2

)

;

ln

)

;

2

)

;

!

1

)

;

1

2

)

;

)

1

(

1

2

)

;

)

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

g

n

a

f

a

e

n

n

a

d

a

c

n

n

n

a

b

n

a

a

⋅

=

=

=

+

=

−

=

+

+

=

=

Zad 4. Zbada czy podane ci gi s ograniczone z dołu, z góry, s ograniczone:

.

!

)

;

1

2

)

;

ln

)

;

2

)

;

2

3

3

)

;

1

)

n

n

a

f

n

a

e

n

a

d

n

a

c

a

b

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

=

−

=

=

+

=

+

=

=

Zad 5. Oblicz granic ci gu (a

n

) o wyrazie ogólnym:

(

)

.

1

1

5

)

;

1

3

)

;

10

2

3

)

;

10

3

)

;

)

5

1

(

)

1

4

(

)

1

2

(

)

;

1

3

3

2

)

;

1

1

)

;

3

1

)

;

1

2

2

6

4

)

;

3

6

1

4

2

)

;

5

6

3

4

)

;

1

)

2

2

4

2

2

3

2

2

3

2

2

3

3

3

2

3

+

−

+

−

=

+

+

=

+

−

=

−

=

−

−

−

=

+

−

=

+

+

+

=

−

−

=

+

+

−

+

−

=

−

+

−

−

=

−

−

=

+

=

n

n

n

n

a

l

n

n

a

k

n

n

a

j

n

n

a

i

n

n

n

a

h

n

n

a

g

n

n

n

a

f

n

n

a

e

n

n

n

n

n

a

d

n

n

n

n

n

a

c

n

n

a

b

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Zad 6. Obliczy granic ci gu (a

n

) o wyrazie ogólnym:

.

1

1

1

)

;

4

)

;

5

1

1

)

;

2

...

4

2

)

1

2

(

...

3

1

)

;

1

1

1

)

;

3

5

2

3

)

;

)

3

2

3

3

2

3

3

2

3

2

2

3

5

3

2

2

+

−

−

+

+

=

−

+

=

+

−

+

+

=

+

+

+

−

+

+

+

=

+

+

+

=

−

−

+

=

−

+

=

n

n

n

n

a

f

n

n

n

a

e

n

n

n

a

d

n

n

a

d

n

n

a

c

n

n

n

a

b

n

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n

n

Zad 7. Obliczy granic ci gu (a

n

) o wyrazie ogólnym:

.

3

3

2

)

;

2

9

5

7

3

4

)

;

3

4

2

3

)

2

2

1

2

+

−

+

−

=

+

⋅

−

⋅

=

−

−

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

c

a

b

a

a

Zad 8. Korzystaj c z twierdzenia o trzech ci gach obliczy granic ci gu (a

n

) o wyrazie ogólnym:

.

4

3

3

1

)

;

3

cos

5

)

;

2

)

;

6

2

14

)

;

1

2

)

;

1

3

4

sin

)

;

3

1

2

1

4

3

)

;

3

4

5

)

1

2

2

2

4

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

h

n

a

g

e

a

f

n

n

a

e

n

n

a

d

n

n

n

a

c

a

b

a

a

+

=

+

+

=

+

+

=

+

−

=

+

+

=

−

+

=

+

+

=

+

+

=

π

Zad 9. Obliczy granic ci gu (a

n

) o wyrazie ogólnym:

.

1

3

2

3

)

;

1

2

1

2

)

;

3

2

1

1

)

;

6

)

;

1

1

)

;

4

1

)

;

5

)

;

2

1

)

2

2

6

2

2

2

3

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

h

n

n

a

g

n

a

f

n

n

a

e

n

a

d

n

a

c

n

n

a

b

n

a

a

+

−

=

+

−

=

+

+

=

+

=

−

=

−

=

+

=

+

=

+

−

Zad 10. Obliczy granic ci gu (a

n

) o wyrazie ogólnym:

(

)

.

1

1

...

3

2

1

2

1

1

)

;

...

3

2

1

)

;

log

log

)

;

4

9

)

;

)

1

(

log

)

1

(

log

)

2

8

5

2

log

log

3

2

2

3

+

+

+

⋅

+

⋅

+

+

+

+

=

=

=

+

+

=

n

n

e

n

n

a

d

n

n

a

c

a

b

n

n

a

a

n

n

n

n

n

n