Wprowadzenie

9

Dla skutecznej realizacji celów gospodarczych

przedsiębiorstwa istotna jest odpowiedź na pytanie,

przy jakim poziomie sprzedaży (zarówno w ujęciu

ilościowym jak i wartościowym) przedsiębiorstwo

zacznie generować zyski

.

9

Na to pytanie odpowiedź pomaga znaleźć

analiza

progu rentowności

(określana również skrótem z j.

angielskiego jako BEP – break even point).

Co wpływa na zysk ?

9

Ogólnie można określić, że czynniki wpływające

na osiągany przez firmę zysk to:

- wielkość produkcji i sprzedaży,
- wielkość kosztów i ich struktura z podziałem na

koszty

stałe i zmienne

,

- cena sprzedaży produktów (usług).

Koszty stałe

9

Koszty stałe

– koszty, które nie zależą od wielkości

produkcji, a ich ogólny poziom jest stały w krótkim

lub średnim okresie. Do kosztów stałych

przykładowo można zaliczyć: amortyzację, podatek

od nieruchomości, opłaty leasingowe, koszty

wynajmu.

9

Przy wzrastającej produkcji zmniejszają się koszty

stałe przypadające na jednostkę produkcji

Sprzedaż a koszty

Przy założeniu liniowych zależności między przychodami

ze sprzedaży (S), a liczbą sprzedanych jednostek (x), oraz

między kosztami ogółem (C) a liczbą wyprodukowanych

jednostek (x) możemy określić następujący układ równań:

S = p * x
C = F + x * v

Gdzie :

S - przychody ze sprzedaży (sprzedaż wartościowo),
p – cena jednostkowa,
x – liczba wyprodukowanych i sprzedanych jednostek (sztuk)
C – koszty ogółem
F – koszty stałe
v – jednostkowe koszty zmienne.

Próg rentowności - wzór

Próg rentowności znajduje się w punkcie, w którym

przychody ze sprzedaży równają

się

całkowitym

operacyjnym kosztom własnym, czyli w punkcie gdzie:

S = C

W postaci rozwiniętej można to zapisać w następującej

postaci:

p*x = F + v*x czyli x(p-v)=F

Dzięki przekształceniom matematycznym powyższego

równania, możemy wyznaczyć przy jakiej wielkości

produkcji x

0

zysk operacyjny będzie równy zeru:

v

p

F

x

−

=

0

Próg rentowności - wykres

Próg rentowności - ilościowy

Obliczony w ten sposób próg rentowności (x

0

) przedstawia

wielkość produkcji, równą wielkości sprzedaży (wyrażoną
ilościowo), dla której przychody ze sprzedaży zrównują się
z poniesionymi kosztami operacyjnymi.

Tak wyrażony próg rentowności jest

ilościowym punktem

krytycznym

, ponieważ wyraża on liczbę wyrobów, jaką

przedsiębiorstwo powinno sprzedać, aby mogło pokryć
poniesione koszty stałe i koszty zmienne.

Jednostkowa marża brutto

v

p

F

x

−

=

0

9

Ujęte w mianowniku ułamka wyrażenie (p – v) jest

nadwyżką brutto jednostkową, zwaną często

jednostkową

marżą brutto

.

9

Jednostkowa marża brutto jest różnicą pomiędzy ceną

sprzedaży wyrobu gotowego a jednostkowym kosztem

zmiennym.

9

Marża brutto służy więc pokryciu kosztów stałych i

osiągnięciu zysku. Stąd często marża brutto jest określana

mianem

marży na pokrycie

(marża pokrycia).

Próg rentowności wartościowy

9

Oprócz progu rentowności ilościowego często

posługujemy się

progiem rentowności w ujęciu

wartościowym

, który oznacza wielkość przychodów ze

sprzedaży pokrywających całkowite koszty operacyjne.

9

Próg rentowności wartościowy najprościej można

otrzymać

przez pomnożenie progu rentowności

ilościowego przez cenę wyrobu:

9

S

0

= x

0

* p

Czyli

1

=

0

p

v

F

S

−

p

v

p

F

S

*

=

0

−

Planowana wielkość zysku

Możemy obliczyć wielkość produkcji, która zapewni

planowaną wielkość zysku ze sprzedaży.

S-C=Z (sprzedaż – koszty= zysk)
p*x-( F+v*x)=Z czyli p*x- F-v*x=Z
x(p-v)=F+Z więc

9

Wielkość produkcji dla planowanego zysku

:

gdzie:

9

F – całkowite koszty stałe

9

Z – planowany zysk ze sprzedaży

9

p – cena sprzedaży

9

v – jednostkowe koszty zmienne

v

p

Z

F

x

−

+

=

Margines bezpieczeństwa (1)

9

Margines bezpieczeństwa

jest różnicą

pomiędzy

przychodem uzyskanym z faktycznej sprzedaży (można

również przyjąć planowane przychody ze sprzedaży) a

przychodem ustalonym w progu rentowności.

Można to zapisać następująco:

9

MB = S – S

0

gdzie:

MB – margines bezpieczeństwa
S– faktyczny/planowany przychód ze sprzedaży
S

0

– przychód ze sprzedaży w progu rentowności

Margines bezpieczeństwa (2)

9

Margines bezpieczeństwa możemy również wyrazić w

ujęciu ilościowym:

9

MB = x – x

0

gdzie:

MB – margines bezpieczeństwa
x– faktyczna/planowana wielkość sprzedaży
x

0

– wielkość sprzedaży w progu rentowności

9

Margines bezpieczeństwa wskazuje, o ile może obniżyć

się sprzedaż (ilościowo lub wartościowo), aby działalność

przedsiębiorstwa nie zaczęła przynosić straty.

Przykład 1a

Przedsiębiorstwo przewiduje uruchomienie produkcji

nowego wyrobu. Planowane koszty stałe związane z tym

projektem wyniosą F= 400 000 zł. Dzięki temu możliwa

będzie produkcja na maksymalnym rocznym poziomie 80

000 szt. nowego produktu. Planowane jednostkowe koszty

zmienne wyniosą v = 7 zł, a cena sprzedaży p=15 zł.

9

a) Po przekroczeniu jakiego poziomu sprzedanej

produkcji (w ujęciu ilościowym i wartościowym) firma

zacznie generować zyski operacyjne?

9

Zastosowanie wzorów:

v

p

F

x

−

=

0

1

=

0

p

v

F

S

−

Przykład 1b

b) Jaki będzie maksymalny poziom zysku operacyjnego

przy wykorzystaniu pełnych zdolności wytwórczych ?

Wyprowadzenie wzoru:
Z = S – C
Z – planowany zysk operacyjny
S – wielkość sprzedaży
C – koszty ogółem
Zgodnie z wcześniejszymi wzorami i oznaczeniami
S = p * x

C = F + x * v

więc Z = p*x – (F+v*x)
lub Z = x* (p-v) -F

Przykład 1c

c) Ile sztuk wyrobów musi sprzedać firma aby

osiągnąć zysk operacyjny na poziomie

Z= 200 000 zł ?
Zastosowanie wzoru :

v

p

Z

F

x

−

+

=

Przykład 1d

d) Jaka powinna być nowa cena wyrobu,

gwarantująca zysk operacyjny na poziomie

Z= 200 000 zł przy sprzedaży 60 000 sztuk?

Ponieważ Z = p*x – (F+v*x)
Więc

x

v

F

Z

p

x

*

=

+

+

Przykład 1e

e) Jak zmieni się ilościowy próg rentowności jeżeli

koszty stałe F wzrosną o 15%

F1=F*(1+0,15)
czyli F1=400000*1,15
nowe koszty stałe wynoszą F1= 460000
Stosujemy wzór na ilościowy próg rentowności jak

w przykładzie a:

v

p

F

x

−

=

0

Przykład 1 – o

dpowiedzi

Opis

Dane P.1

koszty stałe

F

400 000,00 zł

cena

p

15,00 zł

koszty zmienne jed.

v

7,00 zł

planowany zysk

Z

200 000,00 zł

max zdolności produkcyjne [szt]

x

max

80 000

planowana sprzedaż [szt.]

x1

60 000

zmiana kosztów stałych [%]

15,00%

Odp. P.1

próg ilościowy [szt.]

x0

50 000

próg wartościowy

S0

750 000,00 zł

maksymalny zysk operacyjny

Z

240 000,00 zł

wielkość sprzedaży dla
planowanego zysku [szt.]

x2

75 000

próg il. po zmianie kosztów [szt.]

x0

57 500

próg wart. po zmianie kosztów

S0

862 500,00 zł

nowa cena

p1

17,00 zł

Przykład 2 -

do samodzielnego rozwiązania

W przedsiębiorstwie XYZ koszty stałe wynoszą 1 000 zł/miesiąc,

koszty zmienne przypadające na jednostkę produktu wynoszą 10

zł/szt, a planowana cena sprzedaży wynosi 20 zł/szt. Proszę

policzyć:

a)

Wielkość sprzedaży (w ujęciu ilościowym i wartościowym), dla

której wielkość przychody ze sprzedaży zrównują się z

poniesionymi kosztami operacyjnymi.

b)

Maksymalny zysk operacyjny przy wykorzystaniu maksymalnych

zdolności wytwórczych na poziomie 1000 sztuk miesięcznie

c)

Wielkość sprzedaży w sztukach, która zapewni zysk w wysokości

500 zł/miesiąc

d)

Nową cenę produktu, gwarantującą zysk Z= 500 zł/miesiąc przy

sprzedaży 120 sztuk

e)

Jak zmieni się ilościowy próg rentowności jeżeli koszty stałe F

spadną o 10%

Przykład 2 – o

dpowiedzi

Opis

Dane P.2

koszty stałe

F

1 000,00 zł

cena

p

20,00 zł

koszty zmienne jed.

v

10,00 zł

planowany zysk

Z

500,00 zł

max zdolności produkcyjne [szt]

x

max

1 000

planowana sprzedaż [szt.]

x1

120

zmiana kosztów stałych [%]

-10,00%

Odp. P.2

próg ilościowy [szt.]

x0

100

próg wartościowy

S0

2 000,00 zł

maksymalny zysk operacyjny

Z

9 000,00 zł

wielkość sprzedaży dla
planowanego zysku [szt.]

x2

150

próg il. po zmianie kosztów [szt.]

x0

90

próg wart. po zmianie kosztów

S0

1 800,00 zł

nowa cena

p1

22,50 zł

Przykład 3

Firma rozważa podjęcie dwóch projektów (wzajemnie się

wykluczających), różniących się

poziomem automatyzacji i

pracochłonnością. Projekt A wymaga ponoszenia kosztów stałych na

poziomie 10.000.000 zł rocznie, przy niskich jednostkowych kosztach

zmiennych 2 zł/szt., projekt B wymaga ponoszenia kosztów stałych na

poziomie 6.000.000 zł rocznie przy wyższych jednostkowych kosztach

zmiennych tj. 7 zł/szt. Planowa cena sprzedaży wynosi 22 zł/szt., a

sprzedaż ma wynieść 850.000 sztuk. Porównaj oba projekty.

a)

Zastosowanie wzoru na obliczenie progu rentowności dla obu

projektów

b)

Znalezienie poziomu sprzedaży dla którego zysk generowany

przez oba projekty jest taki sam

c)

Graficzne przedstawienie progu rentowności dla obu projektów

d)

Analiza przedziałami opłacalności obu projektów

e)

Obliczenie marginesu bezpieczeństwa dla obu projektów

f)

Wnioski końcowe.

Przykład 3 – Rozwiązanie a

a)

Zastosowanie wzoru na obliczenie progu rentowności dla obu projektów

Projekt A generuje zysk po przekroczeniu 500.000 sprzedanych
sztuk, projekt B po przekroczeniu 400.000 sztuk

v

p

F

x

−

=

0

1

=

0

p

v

F

S

−

Opis

Projekt A

Projekt B

próg ilościowy [szt.]

x0

500 000

400 000

próg wartościowy

S0

11 000 000,00 zł

8 800 000,00 zł

Przykład 3 – Rozwiązanie b

b)

Znalezienie poziomu sprzedaży dla którego zysk generowany przez oba

projekty jest taki sam

Ponieważ Z = p*x – (F+v*x)

Z

A

=x*(p-v

A

)-F

A

Z

B

=x*(p-v

B

)-F

B

x*(p-v

A

)-F

A

=x*(p-v

B

)-F

B

x* (p- v

A

– p+v

B

)= F

A

–F

B

x= (F

A

–F

B

)/(v

B

- v

A

)

x= (10000000–6000000 )/(7 - 2)
x= 800000
Na poziomie produkcji wynoszącym 800.000 sztuk, zysk dla projektu A

i zysk dla projektu B jest taki sam

Przykład 3 – Rozwiązanie c

c)

Graficzne przedstawienie progu rentowności

0

5000000

10000000

15000000

20000000

25000000

50 000

15

0 0

00

250

00

0

350 000

45

0 0

00

550 00

0

650 000

75

0 0

00

850

00

0

950 000

Kos zty P rojekt A
Kos zty P rojekt B
S przedaż

Przykład 3 – Rozwiązanie d

d)

Analiza przedziałami opłacalności obu projektów

-

od 0 do 400.000 sztuk oba projekty generują straty

-

dla sprzedaży na poziome 400.000 szt. projekt B osiąga próg

rentowności (zysk=0), projekt A generuje straty,

-

400.000 do 500.000 projekt A generuje straty, projekt B generuje zyski,

-

500.000 szt. Projekt A osiąga próg rentowności (zysk=0), projekt B

generuje zyski

-

od 500.000 do 800.000 oba projekty generują zyski, ale zyski projektu B

są wyższe niż zyski projektu A

-

dla 800.000 szt. oba projekty generują taki sam zysk

-

powyżej 800.000 szt. zysk generowany przez projekt A jest wyższy niż

zysk generowany przez projekt B,

-

dla sprzedaży na poziomie 850.000 szt. projekt A jest lepszy

Przykład 3 – Rozwiązanie e

e)

Obliczenie marginesu bezpieczeństwa dla obu projektów

MB = x – x

0

gdzie:

MB – margines bezpieczeństwa

x – planowana wielkość sprzedaży

x

0

– wielkość sprzedaży dla progu rentowności

MB

A

=850000-500000=350000

MB

B

=850000-400000=450000

Ponieważ margines bezpieczeństwa jest wyższy dla projektu B – projekt

B jest bezpieczniejszy

Przykład 3 – Rozwiązanie f

Wnioski:

-

projekt B ma niższy próg rentowności – szybciej generuje

zyski

-

projekt B ma wyższy margines bezpieczeństwa – jest więc

bezpieczniejszy

-

dla planowanej sprzedaży na poziomie 850.000 szt. zyski

generowane przez projekt A są wyższe niż generowane przez

projekt B – jeżeli pewny jest poziom sprzedaży powyżej

800.000 szt. (gdy zrównują się zyski obu projektów) to należy

wybrać projekt A, jeżeli takiej pewności nie ma należy wybrać

projekt B.

Próg rentowności dla kilku produktów

Do samodzielnego opracowania:
Sytuacja gdy firma produkuje więcej niż jeden produkt

(Określenie sposobu tworzenia produktu umownego dla

którego liczony jest próg rentowności, obliczania marży brutto

i progu rentowności).

Literatura:
A. Rutkowski, Zarządzanie finansami, Polskie

Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2003