ZWIĄZEK MIĘDZY RÓWNANIEM STANU, RÓWNANIEM WYJŚCIA A
MACIERZĄ TRANSMITANCJI.
Punktem wyjścia niech będzie układ dynamiczny:



liniowy,



stacjonarny,



wielowymiarowy.

Układ taki opisują równania układu: równanie stanu i równanie wyjścia:

gdzie wektory U(t), X(t) i Y(t) są określone następująco:

U(t) - wektor sygnałów

wejściowych,

U(t)=

X(t) - wektor stanu,

X(t)=

Y(t) - wektor sygnałów wyjściowych,

Y(t)=

ZASTOSOWANIE MACIERZY TRANSMITANCJI:



analiza, rozwiązywanie zadań sterowania i badanie stabilności układów o
wielu wejściach i wyjściach oraz układów wielopoziomowych,



wyznaczanie zmiennych stanu i macierzy A, B i C równań układu,



w przypadku transmitancji skalarnej G(s) dokonując zestawienia
poznanych wyrażeń na tę transmitancję, mamy: wielomian

charakterystyczny układu i wielomian charakterystyczny macierzy A.
Miejsca zerowe, czyli pierwiastki charakterystyczne to wartości dla
których transmitancja jest nieokreślona.
Zatem macierz A i wielomian charakterystyczny pozwalają na ocenę
własności dynamicznych układu.

2. ZASADY DOBORU ZMIENNYCH STANU.
a)wyboru zmiennych stanu można dokonać na podstawie:
-analizy zjawisk zachodzących w obiekcie (układzie, procesie)
-macierzy transmitancji
b)na podstawie analizy zjawisk obiektu (układu, procesu) formułuje się równania opisujące
dynamikę układu, należy dążyć aby zmiennym stanu przyporządkować sygnały
występujące w obiekcie,
c)w przypadku, gdy znana jest macierz transmitancji G(s), szuka się macierzy A, B i C
spełniających równania:
G(s) = C (sI - A)

-1

B oraz

należy jednak uwzględniać, że:
macierz transmitancji nie dostarcza informacji o ilości zmiennych stanu,
ten sam układ może być opisany innymi zmiennymi stanu,
d)w ogólnym przypadku, dobór zmiennych stanu powinien uwzględniać:
-minimalizację liczby zmiennych stanu, czyli minimalny rozmiar macierzy stanu A,
-wybrane zmienne stanu muszą spełniać warunek niezależności liniowej,
-jeśli wybrano więcej niż jeden zestaw zmiennych stanu to przejście od jednych
współrzędnych do innych musi być wzajemnie jednoznaczne,
RODZAJE ZMIENNYCH STANU:

fizykalne, fazowe, kanoniczne (nie będą omawiane),
zmienne fizykalne:
-wybiera się minimalną liczbę n -liniowo niezależnych wielkości reprezentujących sygnały
fizyczne,
-na podstawie relacji określających dynamikę zmian tych wielkości układa się równania
stanu,
zmienne fazowe: dobór zmiennych fazowych następuje przy następujących założeniach
dotyczących układu dynamicznego, układ dynamiczny jest:
liniowy,stacjonarny,ciągły,jednowymiarowy,
WŁASNOŚCI FIZYKALNYCH I FAZOWYCH ZMIENNYCH STANU:

fizykalne

fazowe

1.

model matematyczny staje
się modelem fizycznym,

2.

możliwość

pomiaru

wielkości fizycznych,

3.

można narysować schemat
blokowy układu,

4.

możliwość syntezy układu
sterowania w przypadku
sprzężenie

zwrotnego

uzależnionego od wektora
stanu.

1.

zmienne

fazowe

mogą

mieć znaczenie fizykalne,

2.

ułatwiają analizę dynamiki
układów,

3.

ułatwiają analizę układów
w stanach przejściowych
(nieustalonych),

4.

ułatwiają

modelowanie

analogowe,

ponieważ

przez

wprowadzenie

elementów całkujących i
proporcjonalnych.

UKŁAD JEST STEROWALNY
(całkowicie), gdy: ograniczone przedziałami ciągłe sterowanie U(t) przeprowadza układ z
dowolnego stanu początkowego X(t

0

) w chwili t=t

0

do dowolnego stanu końcowego X(t

k

)

w chwili t=t

k

w skończonym przedziale czasu t

k

-t

0

=0.

STEROWALNOŚĆ
oznacza możliwość osiągnięcia dowolnego stanu układu w skończonym czasie za pomocą
dopuszczalnego sterowania.
UKŁADY NIESTEROWALNE
to układy, które są niecałkowicie sterowalne. Układ niecałkowicie sterowalny to układ,
który przy określonym doborze zmiennych stanu zawiera takie zmienne stanu, których nie
można za pomocą ograniczonego przedziałami ciągłego sterowania przeprowadzić z
dowolnej wartości początkowej X

i

(t

0

) do X

i

(t

k

).

Na podstawie definicji sterowalności całkowitej i niecałkowitej wprowadza się także
odpowiednie pojęcia sterowalności ze względu na wyjście, które określają zmiany wektora
sygnałów wyjściowych w chwilach t

0

i t

k

.

UKŁAD JEST OBSERWOWALNY
(całkowicie), jeśli przy danym dowolnym sterowaniu U(t), istnieje skończona chwila t

k

, po

której, na podstawie znajomości wektora sygnałów wyjściowych Y(t) i wektora sterowania
U(t) w przedziale od t

0

do t

k

można wyznaczyć stan układu X(t

0

) w dowolnej chwili

początkowej t

0

.

OBSERWOWALNOŚĆ

oznacza, że na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego w skończonym przedziale czasu,
można określić stan układu w dowolnej chwili tego przedziału.
WŁASNOŚCI UKŁADÓW STEROWALNYCH I OBSERWOWALNYCH:
Układ sterowalny:
-to układ w którym wektor sygnałów wejściowych oddziaływuje na wszystkie zmienne
stanu, czyli zapewnia skuteczne sterowanie,
-zmiana wektora wejść wywołuje różne zmiany każdej współrzędnej stanu.
Układ obserwowalny:
-to układ w którym istnieją relacje między wszystkimi sygnałami wektora wyjściowego a
sygnałami wektora stanu, czyli na podstawie przeprowadzonej w skończonym czasie
obserwacji (analizy) sygnałów wyjściowych i sterujących można jednoznacznie określić
wektor stanu początkowego,
-zmiana wektora stanu wywołuje różne zmiany wyjścia czyli musi zachodzić odróżnienie
wpływu każdej zmiennej stanu na zmianę obserwowanego wektora wyjść.
Układ niesterowalny:
-to układ w którym wektor wejść U(t) nie ma wpływu na wszystkie zmienne stanu.
Układzie nieobserwowalny:
-to układ w którym między dowolnym wektorem wyjść Y(t) nie zachodzą relacje między
wszystkimi zmiennymi stanu X(t).
OCENA STEROWALNOŚCI I OBSERWOWALNOŚCI
może być przeprowadzona na podstawie analizy:
-postaci kanonicznej równania stanu i równania wyjścia,
-bezpośredniej analizy schematu blokowego.
WARUNEK STEROWALNOŚCI:
Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) sterowalności jest, aby macierz

o n -

wierszach i m - kolumnach miała rząd n, czyli n - liniowo niezależnych kolumn.
WARUNEK

OBSERWOWALNOŚCI:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) obserwowalności jest, aby
macierz:

o wymiarach m x n miała rząd n, czyli zawierała n - liniowo

niezależnych

wierszy.

Dla ułatwienia analizy macierzy O, wprowadza się macierz W, która jest transpozycją
macierzy O. Warunek obserwowalności odnoszący się do macierzy W formułuje się
następująco: układ jest całkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

jest równy n.

UKŁAD STEROWANIA MOŻE WIĘC ZAWIERAĆ CZĘŚCI:

SO - sterowalne i obserwowalne,
S NO - sterowalne lecz nieobserwowalne,
O NS - obserwowalne lecz niesterowalne,
NS NO - niesterowalne i nieobserwowalne.

Części te można wydzielić na podstawie:



schematów blokowych,



przekształceń równań stanu i równania wyjścia.

WYZNACZYĆ TRANSMITANCJĘ ZASTĘPCZĄ OBIEKTU A NASTĘPNIE
WYZNACZ RÓWNANIE
CHARAKTE

RYSTYCZNE, RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE I RÓWNANIE

MACIERZOWE.
Dana jest struktura regulatora o określonych transmitancjach, jak na rysunku. Dokonać
syntezę układu i wyprowadzić równania stanu i wyjścia.

1.

Obliczenie transmitancji wypadkowej.

a.

transmitancja dwóch elementów połączonych
szeregowo:

b.

transmitancja wypadkowa po uwzględnieniu sprzężenia
zwrotnego i wartości podstawień: T=1, k

1

=1, k

2

=1:

c.

po uwzględnieniu definicji transmitancji tj.

, transmitancja wypadkowa

wyraża się następująco:

,

na podstawie powyższego wyrażenia można utworzyć
równania stanu i wyjścia obiektu dynamicznego.

2.

Wyprowadzenie równań obiektu dynamicznego i macierzy.

a.

Wymnażając stronami równanie p.1c otrzymujemy:

a po przejściu do dziedziny czasu otrzymujemy:

,

b.

Otrzymane równanie jest równaniem różniczkowym II
rzędu, zatem można utworzyć dwa równania
różniczkowe I rzędu, które odpowiadać będą dwóm
równaniom stanu o postaci normalnej. Jako zmienną
stanu obieramy sygnał wyjściowy y(t) a wtedy, zgodnie
z zasadami doboru zmiennych fazowych, można
utworzyć relacje:

Zatem równania obiektu dynamicznego są następujące:

2 równania stanu i równanie wyjścia

Macierze odnoszące się do powyższego układu równań są następujące:

A=

, b=

, c=

,

Analiza obejmuje badanie układów regulacji (regulatorów i obiektów) przy pomocy metod
stosowanych do badania układów dynamicznych. Wynikiem analizy jest identyfikacji
układów regulacji.
Synteza to szereg kolejnych działań niezbędnych dla zaprojektowania układu regulacji.
Działania te obejmują:



opis matematyczny obiektu,



opis zadania sterowania, czyli charakterystyki sygnału zadanego,



opis zakłóceń,



dobór wskaźników jakości regulacji,



założenia dotyczące sygnałów układu regulacji i struktury regulatora.

Wynikiem syntezy jest projekt układu regulacji zawierający opis matematyczny regulatora
spełniający założenia współczynników jakości regulacji.
RODZAJE UKŁADÓW REGULACJI
Można wyróżnić, zależnie od przyjętego kryterium klasyfikacji, następujące rodzaje
układów regulacji:
a)zależnie od liczby regulowanych wielkości:

o

jednowymiarowe (regulacja jednej zmiennej)

o

wielowymiarowe

(regulacja

wielu

sygnałów

wyjściowych).

b)poprzez analogię do układów dynamicznych:

o

ciągłe,

o

impulsowe,

o

liniowe,

o

nieliniowe

c)ze względu na charakter sygnału zadanego y

o

(t), układy regulacji mogą być układami:

o

regulacji

stałowartościowej,

gdy

sygnał

y

o

(t)=y

o

=const.

o

regulacji programowalnej, gdy przebieg sygnału jest

zaprogramowany (przewidziany z góry),

o

regulacji nadążnej, gdy sygnał y

o

(t) ma charakter nie

przewidziany,

o

regulacji ekstremalnej, gdy celem regulacji jest

utrzymanie sygnału wyjściowego lub sygnałów
wyjściowych na poziomie wartości ekstremalnych
(minimalnych lub maksymalnych)

d)ze względu na możliwość zmiany własności regulatora w czasie jego pracy:

o

układy adaptacyjne, gdy dla zmieniających się w

czasie pracy równań obiektu następuje dostosowanie,
czyli adaptacja równań regulatora,

o

układy optymalne, gdy osiąga się możliwie najlepsze

wartości współczynników jakości, niezależnie od
struktury regulatora,

o

układy suboptymalne, gdy przy określonym typie

regulatora uzyskuje się najlepsze współczynniki jakości

UKŁAD STATYCZNY REGULACJI to układ, którego uchyb statyczny w stanie
ustalonym przy wymuszeniu skokowym y

o

(t) lub z(t) jest różny od zera, niezależnie od

amplitudy wymuszenia, tzn., że w układzie statycznym występują różne od zera
proporcjonalne do wartości skokowego lub stałego pobudzenia uchyby ustalone.
UKŁAD ASTATYCZNY REGULACJI to układ w którym uchyb statyczny, czyli uchyb
ustalony przy wymuszeniu skokowym jest równy 0.
DOKŁADNOŚĆ REGULACJI to wielkość różnicy między sygnałem wartości zadanej
y

o

(t) a sygnałem wyjściowym y(t).

W praktyce dąży się do uzyskania tzw. dokładności wystarczającej lub określa się
dopuszczalną bezwzględną wartość uchybu dynamicznego i uchybu ustalonego.

Dokładność dynamiczną osiąga się poprzez dobór parametrów i korekcji regulatora.
Dokładność statyczną ustala się na dopuszczalnym poziomie. Kryterium dokładności
statycznej jest jednoznaczne: albo układ regulacji jest astatyczny i nie ma uchybu albo jest
statyczny i posiada uchyb. Zerowanie uchybu ustalonego osiąga się wprowadzając do
regulatora układy całkujące. Dążenie do zerowania uchybu może powodować utratę
stabilności.
STABILNOŚĆ REGULACJI
1)Doprowadzenie uchybu ustalonego do wartości zerowej osiąga się poprzez
wprowadzenie wymaganego poziomu (stopnia) astatyzmu, czyli liczbę biegunów
transmitancji G

o

(s).

2)Ocena stabilności zamkniętego układu regulacji może zostać dokonana na podstawie
układu otwartego. Mianowniki wyrażeń określających transmitancję układu zamkniętego
zawierają wyrażenie 1+G

o

(s), które można traktować jak równanie charakterystyczne:

i znaleźć wartości s, które spełniają to równanie. Aby układ był stabilny, pierwiastki
równania charakterystycznego powinny znajdować się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej s. W praktyce do oceny stabilności stosuje się metody algebraiczne.

6. zapas fazy

określa odchylenie charakterystyki fazowej od wartości -180

o

dla

częstotliwości

m

.

7. zapas modułu (amplitudy

) lub wielkość

określa

odchylenie charakterystyki amplitudowej od wartości 0 [dB] dla częstotliwości

a

:

+częstotliwość graniczna fazy i modułu
Wskaźniki regulacji:
Nieczestotliwosciowe:

1.

wskaźnik uchybu ustalonego określa się przez podanie:

1. wartości dopuszczalnej w jednostkach fizycznych,
2. w jednostkach względnych

2.

czas regulacji t

r

przedział czasu od chwili wymuszenie do chwili w której uchyb
przejściowy:

, nie przekroczy 5% wartości

maksymalnej tj.

po

3.

współczynnik przeregulowania

,

iloraz największej wartości uchybu

p1

o znaku przeciwnym do

po

i

maksymalnej wartości uchybu przejściowego (tj.

po

),

=

Częstotliwościowe wskaźniki regulacji:

1.

częstotliwość graniczna modułu L

m

charakterystyki amplitudowej

oznacza częstotliwość

m

. dla której

2.

częstotliwość graniczna fazy (argumentu) (warunek stabilności układu

zamkniętego:

)

oznacza częstotliwość

a

. dla której

3.

zapas fazy

określa odchylenie charakterystyki fazowej od wartości -180

o

dla

częstotliwości

m

.

4.

zapas modułu (amplitudy

) lub wielkość

określa odchylenie charakterystyki amplitudowej od wartości 0 [dB] dla częstotliwości

a

:

Pytania!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
DLA JAKIEJ WARTOŚCI TRANSMITANCJI GO(S) UCHYB STATYCZNY W
STANIE USTALONYM BYŁBY ZEROWY?
UCHYB STATYCZNY (w stanie ustalonym) s, niezależnie od amplitudy
wymuszenia A byłby równy 0,
gdyby granica transmitancji układu otwartego

, gdyż:

JAKIE WŁASNOŚCI TRANSMITANCJI REGULATORA GR(S) ZAPEWNIAJĄ
ASTATYZM UKŁADU REGULACJI?

Układ astatyczny regulacji to układ w którym uchyb statyczny, czyli uchyb
ustalony przy
wymuszeniu skokowym jest równy 0. Uchyb statyczny (w stanie ustalonym) s

,byłby równy 0 jeśli

, co zaszłoby w przypadku gdyby transmitancja regulatora miała działanie

całkujące:

, czyli wystąpiłby biegun dla s=0.

Transmitancja operatorową danego elementu liniowego nazywamy stosunek
transformaty Laplacea sygnału wyjściowego do transformaty Laplacea sygnału

wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych G(S)=Y(S)/U(S)
Macierz transmitancji: Elementami transmitancji macierzowej G(s) są transmitancje
łączące poszczególne wejścia i wyjścia (rys. poniżej):

Zadanko przykłądowe

A =

, b =

, c =

, d =

Sprawdzić, czy powyższy układ jest sterowalny?

1.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym sterowalności jest, aby macierz

była rzędu n (czyli, żeby miała n - liniowo niezależnych kolumn,
wyznacznik takiej macierzy jest różny od zera).

2.

Układ, którego sterowalność będziemy sprawdzać jest układem o jednym

wejściu

, czyli równanie stanu ma

postać:

, a

macierz S nie może być osobliwa.

3.

Układ z jednym wejściem jest sterowalny jeśli:

,

w celu wyznaczenia macierzy S określamy kolejno poszczególne macierze:

Jak widać w macierzy S występują 2 niezależne liniowo kolumny, a
wartość wyznacznika jest -49, czyli wyznacznik jest różny od 0, czyli
układ jest sterowalny.

Sprawdzić, czy powyższy układ jest obserwowalny?
1.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym obserwowalności jest, aby

macierz

była rzędu n (czyli, żeby miała n - liniowo niezależnych kolumn).
2.

Układ, którego obserwowalność będziemy sprawdzać jest układem o

jednym wyjściu

, czyli równanie wyjścia ma postać:

,
czyli warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, aby macierz W nie była osobliwa, jest

aby wartość wyznacznika det W

0.

3.

Obliczenia dot. obserwowalności:

Stała czasowa T – w

układzie automatyki

, miara osiągania

stanu ustalonego

przez sygnał

wyjściowy, związana z czasem trwania

stanu nieustalonego

następującego po zmianie

sygnału wejściowego.
Współczynnik wzmocnienia k – parametr

transmitancji operatorowej

, będący stosunkiem

wartości zmiany sygnału wyjściowego do wartości zmiany sygnału wejściowego.