Funkcje jak cegły

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Dotychczasowe rozważania ograniczały się

do pojedynczej

sinusoidy.

Ponieważ

większość

sygnałów

ma

kształt

niesinusoidalny należy w jakiś sposób powiązać je z przebiegami
trygonometrycznymi. Przekonamy się, że sinus i kosinus mogą
stanowić cegły, z których można budować inne funkcje.

Sygnały ciągłe

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Przyjmujemy, że obecność prążka na osi częstotliwości oznaczać
będzie obecność fali sinusoidalnej o określonej długości. Ponieważ
prążek na stronie ujemnej jest symetryczny dla uproszczenia nie
rysujemy go. Omawiamy sygnały ciągłe więc nie martwimy się o
powielenia. Wysokość prążka odpowiada amplitudzie fali.

…

…

częstotliwość

częstotliwość

…

…

Superpozycja fal

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Rozsądnie jest przyjąć, że dwa prążki oznaczają obecność dwóch
fal które dodają się do siebie.

częstotliwość

…

…

…

…

+

…

…

Otrzymaliśmy przebieg nie będący sinusoidą ale
zachowujący periodyczność.

…

…

Okresowość

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Częstotliwość szybszej fali jest 1,5 razy większa od częstotliwości
wolniejszej. Poniżej fala o częstotliwości większej razy. Jeżeli
stosunek częstotliwości każdej pary składowych jest wymierny to
otrzymamy sygnał okresowy.

częstotliwość

f

f

5

,

1

2

częstotliwość

f

f

2

Sygnał prawie okresowy

Szereg trygonometryczny

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ciągły przebieg periodyczny przedstawiać
będziemy jako superpozycję fal sinusoidalnych.

Jean Baptiste

Joseph Fourier

1768 - 1830

częstotliwość

częstotliwość

Dotychczasowy

sposób

opisu

fal

składowych

jest

niewystarczający. Dwa powyższe przebiegi posiadają identyczny
układ prążków a wyglądają inaczej.

Brakująca informacja

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Porównanie wyglądu „cegieł” tworzących superpozycję pozwala
stwierdzić, że czynnikiem różniącym je jest wzajemne położenie
gór i dolin na osi odciętych czyli

faza sygnału. Obraz w dziedzinie

częstotliwości powinien zostać uzupełniony o wykres fazy sinusoid.

fa

z

a

/

s

to

p

n

ie

°

90

°

0

Prążki i matematyka

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Każdy

prążek

to

sposób

zakodowania

jednej

fali

sinusoidalnej.

częstotliwość

f

f

2

f

3

f

4

a

m

p

lit

u

d

a

fa

z

a

A

ϕ

(

)

1

1

2

sin

ϕ

π

+

f

A

(

)

2

2

2

2

sin

ϕ

π

+

⋅ f

A

(

)

3

3

3

2

sin

ϕ

π

+

⋅ f

A

(

)

4

4

4

2

sin

ϕ

π

+

⋅ f

A

Sinusoidalne cegły wraz z
zaprawą

w postaci zasady

superpozycji stanowią budulec
dla przebiegów w postaci
nieskończonego szeregu:

(

)

∑

∞

=

+

1

2

sin

n

n

n

f

n

A

ϕ

π

Prążki i matematyka

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Aby całą konstrukcję można było przesuwać w górę i w dół dodajemy jeszcze wyraz
stały

Α

0

.

0

0

=

A

0

0

>

A

Dzięki zastosowaniu tożsamości trygonometrycznej

(

)

( )

( )

( ) ( )

β

α

β

α

β

α

sin

cos

cos

sin

sin

+

=

+

szereg można zapisywać inaczej:

(

)

(

)

[

]

∑

∞

=

+

0

2

cos

2

sin

n

n

n

nft

a

nft

b

π

π

Sumowanie rozpoczyna się
od zera. Ponieważ sinus
zera wynosi zero a kosinus
1 stała Α

0

staje się teraz

zerowym współczynnikiem
kosinusowym.

Z kolei wykorzystanie zależności Eulera pozwala zapisać formę

wykładniczą szeregu Fouriera:

(

)

∑

∞

=0

2

exp

n

n

ntf

j

c

π

Warto zauważyć, że współczynniki c

n

to niekoniecznie liczby rzeczywiste.

Budowa

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Oprócz cegieł i zaprawy przydatny jest jeszcze projekt
mówiący w jaki sposób połączyć ze sobą funkcje
sinusoidalne.

(

)

(

)

(

)









+

+

+

...

5

sin

5

1

3

sin

3

1

sin

4

0

0

0

t

t

t

U

ω

ω

ω

π

Projekt opisuje jakie powinny być częstotliwości, amplitudy i fazy kolejnych
wyrazów szeregu. Przykładowy szereg, który chcemy skonstruować ma
postać:

W oparciu o powyższy zapis wykonamy sumowanie kolejnych wyrazów
szeregu. Ponieważ jest to szereg nieskończony w pewnym momencie trzeba
będzie się zatrzymać. Stan budowy sygnału w momencie wstrzymania prac
jest powiązany ze zbieżnością szeregu czyli wielkością mówiącą ile wyrazów
trzeba zsumować dla uzyskania przyzwoitej aproksymacji sygnału.

U

Wielkość

U występująca we wzorze

zapewne będzie amplitudą powstającego
przebiegu. Niech U=3.

Kolejne etapy

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Zakładamy, że częstotliwość
pierwszej fali wynosi 1 Hz,
okres

to

1s.

Jest

to

częstotliwość

podstawowa.

Kolejne

składowe

to

harmoniczne.

Superpozycja 3 pierwszych wyrazów.
Fala jest periodyczna i wygląda jak
sinusoida

podstawowa

ze

zniekształconymi wierzchołkami.

7 wyrazów wierzchołki fali stają się
coraz bardziej płaskie. Rośnie liczba
zafalowań ale są one sukcesywnie
coraz mniejsze. Wzrasta skok w
sąsiedztwie zmiany znaku fali.

Produkt finalny

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szereg trygonometryczny zbudowany ze 100 wyrazów. Okres fali równy
jest okresowi fali podstawowej. Amplituda równa jest 3 zgodnie z
założeniem. Na granicach kolejnych fal widoczny jest skok. Jest to tak
zwany

efekt Gibbsa, który nie znika nawet w granicznym przypadku

szeregu nieskończonego. Wynika on z próby aproksymacji nieciągłego
sygnału komponentami ciągłymi (sinusoidalnymi).

Wyjściowy

Finalny

1 2 3 4 5 6

…

1

3

/

1

5

/

1

Przykłady szeregów

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

trójkątny bipolarny

(

)

(

)

(

)









−

+

−

...

5

sin

5

1

3

sin

3

1

sin

8

0

2

0

2

0

2

t

t

t

U

ω

ω

ω

π

piłokształtny bipolarny

(

)

(

)

(

)









−

+

−

...

3

sin

3

1

2

sin

2

1

sin

2

0

0

0

t

t

t

U

ω

ω

ω

π

impulsowy

(

)

(

)

t

n

T

n

T

n

T

A

T

A

n

0

1

cos

/

/

sin

2

ω

τ

π

τ

π

τ

τ

∑

∞

=

+

τ

T

prostownik dwupołówkowy

(

)

t

n

n

A

A

n

0

1

2

2

cos

1

4

1

4

2

ω

π

π

∑

∞

=

−

−

Symetria

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Zapis szeregu za pomocą sinusów i kosinusów pozwala zauważyć,
ż

e przebiegi nieparzyste konstruowane są tylko ze składowych

nieparzystych (sinusów) natomiast przebiegi parzyste tylko z
parzystych (kosinusów).

(

)

(

)

(

)









+

+

+

...

5

sin

5

1

3

sin

3

1

sin

4

0

0

0

t

t

t

U

ω

ω

ω

π

(

)

(

)

(

)









−

+

−

...

5

cos

5

1

3

cos

3

1

cos

4

0

0

0

t

t

t

U

ω

ω

ω

π

Kształtowanie sygnału

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Rozpoczynamy od przebiegu prostokątnego wytwarzanego przykładowo
przez generator kwarcowy. Za pomocą filtra możliwe jest stłumienie
intensywności wybranych prążków w reprezentacji częstotliwościowej
szeregu (niebieska linia).

Jakość fali

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Im więcej składowych harmonicznych tym
gorsza sinusoida. Ilościową miarą jest
współczynnik zawartości harmonicznej
(THD) określający procentowy stosunek
prążków

harmonicznych

do

podstawowego.

W zależności od rodzaju zastosowanego filtra kształt wyekstrahowanej
podstawowej składowej mniej lub bardziej przypomina sinusoidę.

THD 3,7 %

THD 16,9 %

Wyższe harmoniczne

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Zastosowanie

filtra

pasmowoprzepustowego

umożliwia

ekstrakcję wyższych składowych harmonicznych.

Wynik filtracji jest zbliżony do
sinusoidy, jego amplituda jest
obniżona a częstotliwość jest 3 razy
większa

od

częstotliwości

fali

prostokątnej.

Stosowanie

filtra

wprowadza

zniekształcenie

początku sygnału.

Problem odwrotny

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Przedstawione przykłady pokazują istnienie zależności pomiędzy prążkami
w dziedzinie częstotliwości a sygnałami w dziedzinie czasu. Wzory
opisujące poszczególne szeregi podane zostały na wiarę. Czy istnieje
sposób na obliczenie współczynników szeregu Fouriera?
Najłatwiej zacząć

od współczynnika stałego. Jeśli ma opisywać

przesunięcie całej ciągłej okresowej funkcji s(t) to stanowi on jej wartość
ś

rednią:

( )

∫

=

T

o

dt

t

s

T

A

1

0

Przyjmując zapis sygnału s(t) w postaci szeregu:

(

)

(

)

[

]

∑

∞

=

+

+

=

1

0

0

0

cos

sin

)

(

n

n

n

t

n

a

t

n

b

A

t

s

ω

ω

( ) (

)

∫

=

T

o

n

dt

t

n

t

s

T

b

0

sin

2

ω

( )

(

)

∫

=

T

o

n

dt

t

n

t

s

T

a

0

cos

2

ω

Następne zagadnienie

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Przedstawione w końcowej części wzory kryją w sobie ważną
własność funkcji trygonometrycznych oraz wykładniczych. Z tego
powodu kolejny wykład stanowić będzie próbę uzasadnienia ich
postaci i pokazania istoty w sposób analityczny. W przypadku
ciągłym podejście analityczne jest trochę nużące ale pozwala
zauważyć kwestię dającą się w prosty sposób uzasadnić graficznie
w przypadku przebiegów o charakterze dyskretnym.

Podsumowanie

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

•Periodyczne przebiegi ciągłe (nie wszystkie) można przedstawiać
jako nieskończone szeregi trygonometryczne (szeregi Fouriera).
•Rozkład prążków opisujących amplitudy częstotliwości i fazy
wyrazów

szeregu

w

dziedzinie

częstotliwości

jest

charakterystyczny dla danego przebiegu w dziedzinie czasu.
•Istnieją zależności pozwalające wyznaczyć opis widmowy (rozkład
prążków) sygnału.