Funkcje jak cegły
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Dotychczasowe rozważania ograniczały się
do pojedynczej
sinusoidy.
Ponieważ
większość
sygnałów
ma
kształt
niesinusoidalny należy w jakiś sposób powiązać je z przebiegami
trygonometrycznymi. Przekonamy się, że sinus i kosinus mogą
stanowić cegły, z których można budować inne funkcje.
Sygnały ciągłe
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przyjmujemy, że obecność prążka na osi częstotliwości oznaczać
będzie obecność fali sinusoidalnej o określonej długości. Ponieważ
prążek na stronie ujemnej jest symetryczny dla uproszczenia nie
rysujemy go. Omawiamy sygnały ciągłe więc nie martwimy się o
powielenia. Wysokość prążka odpowiada amplitudzie fali.
…
…
częstotliwość
częstotliwość
…
…
Superpozycja fal
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rozsądnie jest przyjąć, że dwa prążki oznaczają obecność dwóch
fal które dodają się do siebie.
częstotliwość
…
…
…
…
+
…
…
Otrzymaliśmy przebieg nie będący sinusoidą ale
zachowujący periodyczność.
…
…
Okresowość
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Częstotliwość szybszej fali jest 1,5 razy większa od częstotliwości
wolniejszej. Poniżej fala o częstotliwości większej razy. Jeżeli
stosunek częstotliwości każdej pary składowych jest wymierny to
otrzymamy sygnał okresowy.
częstotliwość
f
f
5
,
1
2
częstotliwość
f
f
2
Sygnał prawie okresowy
Szereg trygonometryczny
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ciągły przebieg periodyczny przedstawiać
będziemy jako superpozycję fal sinusoidalnych.
Jean Baptiste
Joseph Fourier
1768 - 1830
częstotliwość
częstotliwość
Dotychczasowy
sposób
opisu
fal
składowych
jest
niewystarczający. Dwa powyższe przebiegi posiadają identyczny
układ prążków a wyglądają inaczej.
Brakująca informacja
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Porównanie wyglądu „cegieł” tworzących superpozycję pozwala
stwierdzić, że czynnikiem różniącym je jest wzajemne położenie
gór i dolin na osi odciętych czyli
faza sygnału. Obraz w dziedzinie
częstotliwości powinien zostać uzupełniony o wykres fazy sinusoid.
fa
z
a
/
s
to
p
n
ie
°
90
°
0
Prążki i matematyka
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Każdy
prążek
to
sposób
zakodowania
jednej
fali
sinusoidalnej.
częstotliwość
f
f
2
f
3
f
4
a
m
p
lit
u
d
a
fa
z
a
A
ϕ
(
)
1
1
2
sin
ϕ
π
+
f
A
(
)
2
2
2
2
sin
ϕ
π
+
⋅ f
A
(
)
3
3
3
2
sin
ϕ
π
+
⋅ f
A
(
)
4
4
4
2
sin
ϕ
π
+
⋅ f
A
Sinusoidalne cegły wraz z
zaprawą
w postaci zasady
superpozycji stanowią budulec
dla przebiegów w postaci
nieskończonego szeregu:
(
)
∑
∞
=
+
1
2
sin
n
n
n
f
n
A
ϕ
π
Prążki i matematyka
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Aby całą konstrukcję można było przesuwać w górę i w dół dodajemy jeszcze wyraz
stały
Α
0
.
0
0
=
A
0
0
>
A
Dzięki zastosowaniu tożsamości trygonometrycznej
(
)
( )
( )
( ) ( )
β
α
β
α
β
α
sin
cos
cos
sin
sin
+
=
+
szereg można zapisywać inaczej:
(
)
(
)
[
]
∑
∞
=
+
0
2
cos
2
sin
n
n
n
nft
a
nft
b
π
π
Sumowanie rozpoczyna się
od zera. Ponieważ sinus
zera wynosi zero a kosinus
1 stała Α
0
staje się teraz
zerowym współczynnikiem
kosinusowym.
Z kolei wykorzystanie zależności Eulera pozwala zapisać formę
wykładniczą szeregu Fouriera:
(
)
∑
∞
=0
2
exp
n
n
ntf
j
c
π
Warto zauważyć, że współczynniki c
n
to niekoniecznie liczby rzeczywiste.
Budowa
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Oprócz cegieł i zaprawy przydatny jest jeszcze projekt
mówiący w jaki sposób połączyć ze sobą funkcje
sinusoidalne.
(
)
(
)
(
)
+
+
+
...
5
sin
5
1
3
sin
3
1
sin
4
0
0
0
t
t
t
U
ω
ω
ω
π
Projekt opisuje jakie powinny być częstotliwości, amplitudy i fazy kolejnych
wyrazów szeregu. Przykładowy szereg, który chcemy skonstruować ma
postać:
W oparciu o powyższy zapis wykonamy sumowanie kolejnych wyrazów
szeregu. Ponieważ jest to szereg nieskończony w pewnym momencie trzeba
będzie się zatrzymać. Stan budowy sygnału w momencie wstrzymania prac
jest powiązany ze zbieżnością szeregu czyli wielkością mówiącą ile wyrazów
trzeba zsumować dla uzyskania przyzwoitej aproksymacji sygnału.
U
Wielkość
U występująca we wzorze
zapewne będzie amplitudą powstającego
przebiegu. Niech U=3.
Kolejne etapy
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zakładamy, że częstotliwość
pierwszej fali wynosi 1 Hz,
okres
to
1s.
Jest
to
częstotliwość
podstawowa.
Kolejne
składowe
to
harmoniczne.
Superpozycja 3 pierwszych wyrazów.
Fala jest periodyczna i wygląda jak
sinusoida
podstawowa
ze
zniekształconymi wierzchołkami.
7 wyrazów wierzchołki fali stają się
coraz bardziej płaskie. Rośnie liczba
zafalowań ale są one sukcesywnie
coraz mniejsze. Wzrasta skok w
sąsiedztwie zmiany znaku fali.
Produkt finalny
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Szereg trygonometryczny zbudowany ze 100 wyrazów. Okres fali równy
jest okresowi fali podstawowej. Amplituda równa jest 3 zgodnie z
założeniem. Na granicach kolejnych fal widoczny jest skok. Jest to tak
zwany
efekt Gibbsa, który nie znika nawet w granicznym przypadku
szeregu nieskończonego. Wynika on z próby aproksymacji nieciągłego
sygnału komponentami ciągłymi (sinusoidalnymi).
Wyjściowy
Finalny
1 2 3 4 5 6
…
1
3
/
1
5
/
1
Przykłady szeregów
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
trójkątny bipolarny
(
)
(
)
(
)
−
+
−
...
5
sin
5
1
3
sin
3
1
sin
8
0
2
0
2
0
2
t
t
t
U
ω
ω
ω
π
piłokształtny bipolarny
(
)
(
)
(
)
−
+
−
...
3
sin
3
1
2
sin
2
1
sin
2
0
0
0
t
t
t
U
ω
ω
ω
π
impulsowy
(
)
(
)
t
n
T
n
T
n
T
A
T
A
n
0
1
cos
/
/
sin
2
ω
τ
π
τ
π
τ
τ
∑
∞
=
+
τ
T
prostownik dwupołówkowy
(
)
t
n
n
A
A
n
0
1
2
2
cos
1
4
1
4
2
ω
π
π
∑
∞
=
−
−
Symetria
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zapis szeregu za pomocą sinusów i kosinusów pozwala zauważyć,
ż
e przebiegi nieparzyste konstruowane są tylko ze składowych
nieparzystych (sinusów) natomiast przebiegi parzyste tylko z
parzystych (kosinusów).
(
)
(
)
(
)
+
+
+
...
5
sin
5
1
3
sin
3
1
sin
4
0
0
0
t
t
t
U
ω
ω
ω
π
(
)
(
)
(
)
−
+
−
...
5
cos
5
1
3
cos
3
1
cos
4
0
0
0
t
t
t
U
ω
ω
ω
π
Kształtowanie sygnału
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rozpoczynamy od przebiegu prostokątnego wytwarzanego przykładowo
przez generator kwarcowy. Za pomocą filtra możliwe jest stłumienie
intensywności wybranych prążków w reprezentacji częstotliwościowej
szeregu (niebieska linia).
Jakość fali
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Im więcej składowych harmonicznych tym
gorsza sinusoida. Ilościową miarą jest
współczynnik zawartości harmonicznej
(THD) określający procentowy stosunek
prążków
harmonicznych
do
podstawowego.
W zależności od rodzaju zastosowanego filtra kształt wyekstrahowanej
podstawowej składowej mniej lub bardziej przypomina sinusoidę.
THD 3,7 %
THD 16,9 %
Wyższe harmoniczne
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zastosowanie
filtra
pasmowoprzepustowego
umożliwia
ekstrakcję wyższych składowych harmonicznych.
Wynik filtracji jest zbliżony do
sinusoidy, jego amplituda jest
obniżona a częstotliwość jest 3 razy
większa
od
częstotliwości
fali
prostokątnej.
Stosowanie
filtra
wprowadza
zniekształcenie
początku sygnału.
Problem odwrotny
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przedstawione przykłady pokazują istnienie zależności pomiędzy prążkami
w dziedzinie częstotliwości a sygnałami w dziedzinie czasu. Wzory
opisujące poszczególne szeregi podane zostały na wiarę. Czy istnieje
sposób na obliczenie współczynników szeregu Fouriera?
Najłatwiej zacząć
od współczynnika stałego. Jeśli ma opisywać
przesunięcie całej ciągłej okresowej funkcji s(t) to stanowi on jej wartość
ś
rednią:
( )
∫
=
T
o
dt
t
s
T
A
1
0
Przyjmując zapis sygnału s(t) w postaci szeregu:
(
)
(
)
[
]
∑
∞
=
+
+
=
1
0
0
0
cos
sin
)
(
n
n
n
t
n
a
t
n
b
A
t
s
ω
ω
( ) (
)
∫
=
T
o
n
dt
t
n
t
s
T
b
0
sin
2
ω
( )
(
)
∫
=
T
o
n
dt
t
n
t
s
T
a
0
cos
2
ω
Następne zagadnienie
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przedstawione w końcowej części wzory kryją w sobie ważną
własność funkcji trygonometrycznych oraz wykładniczych. Z tego
powodu kolejny wykład stanowić będzie próbę uzasadnienia ich
postaci i pokazania istoty w sposób analityczny. W przypadku
ciągłym podejście analityczne jest trochę nużące ale pozwala
zauważyć kwestię dającą się w prosty sposób uzasadnić graficznie
w przypadku przebiegów o charakterze dyskretnym.
Podsumowanie
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
•Periodyczne przebiegi ciągłe (nie wszystkie) można przedstawiać
jako nieskończone szeregi trygonometryczne (szeregi Fouriera).
•Rozkład prążków opisujących amplitudy częstotliwości i fazy
wyrazów
szeregu
w
dziedzinie
częstotliwości
jest
charakterystyczny dla danego przebiegu w dziedzinie czasu.
•Istnieją zależności pozwalające wyznaczyć opis widmowy (rozkład
prążków) sygnału.