Liczby
zespolone

Liczby zespolone – narzędzie (ale tylko narzędzie)
wykorzystywane w analizie sygnałów.

Mechanika kwantowa – rozwiązanie równania
Schroedingera (czyli tzw. funkcja falowa) jest
zwykle funkcją zespoloną, dlatego też sens fizyczny
przypisywany jest kwadratowi jej modułu (gęstość
prawdopodobieństwa)

Przykład elektrochemiczny – ANALIZA
IMPEDANCYJNA

Impedancja

Pojęcie uogólniające opór elektryczny:



100

R

W tym przypadku impedancja ( Z ) równa jest
oporowi omowemu czyli rezystancji ( R ). W
przypadku kondensatora jest nieco gorzej:

Kondensator nie przewodzi prądu stałego,
przewodzi jednakże prąd zmienny.

Kondensator zasilany napięciem przemiennym
stawia opór elektryczny zależny od częstotliwości
dodatkowo wprowadzając przesunięcie fazowe
między napięciem a prądem.

dt

t

dU

C

t

I

)

(

)

( 

Jeśli U(t) (napięcie) ma postać:

)

2

sin(

)

(

0

ft

U

t

U





to prąd I(t) będzie wynosił:

)

2

cos(

2

)

(

0

ft

fCU

t

I







amplituda prądu

Wprowadzając nową wielkość (impedancję
kondensatora) możemy ominąć zabawę z równaniami
różniczkowymi, zastępując je równaniami
algebraicznymi

)

(

)

(

)

(

f

Z

f

U

f

I



fCj

f

Z



2

1

)

(



to jest właśnie
IMPEDANCJA

Dla kondensatora impedancja równa jest:

dt

t

dU

C

t

I

)

(

)

( 

)

(

)

(

)

(

f

Z

f

U

f

I



operator
różniczkowy

operator
algebraiczny

Kondensator jest układem przetwarzającym „wejście”
U(t) na „wyjście” I(t). Zwykle łatwiej jest operować na
układach opisywanych równaniami algebraicznymi niż
różniczkowymi

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

2

z

y

x

t

C

D

t

z

y

x

t

C









II prawo Ficka łatwiej je rozwiązywać w dziedzinie
zespolonej tzw. dziedzinie operatorowej, bo znikają
dziwne trójkąty (operatory Laplace’a) i pochodne
cząstkowe

Niekiedy równanie nie posiada rozwiązania w
dziedzinie liczb rzeczywistych:

Liczby
zespolone

0

1

2





x

wprowadźmy jednak pewną liczbę (liczbę urojoną „i”)
dla której:

1

2





i

wtedy:

ii

ix

ix

x

i

x

i

x













2

)

)(

(

i równanie ma (nawet dwa) rozwiązania

Na liczbach zespolonych zdefiniowane są podstawowe
działania:

di

c

Z

bi

a

Z









2

1

i

d

b

c

a

di

c

bi

a

Z

Z

)

(

)

(

)

(

2

1



















)

(

)

)(

(

2

1

bc

ad

i

bd

ac

iibd

bci

adi

ac

di

c

bi

a

Z

Z























2

1

2

1

1

Z

Z

Z

Z



Implementacja

Reprezentacja graficzna

Postać kanoniczna (kartezjańska)

bi

a

Z





i (w elektrotechnice
„j”, żeby nie myliło
się z prądem)
jednostka urojona

1

2





i

oś rzeczywista

o

ś

u

ro

jo

n

a

oś rzeczywista

o

ś

u

ro

jo

n

a

Postać trygonometryczna



|

|Z

a

b

2

2

|

|

b

a

Z





|

|

)

sin(

Z

b





|

|

)

cos(

Z

a









)

sin(

)

cos(

|

|





i

Z

Z





moduł liczby

faza

o

ś

u

ro

jo

n

a



|

|Z

b

oś rzeczywista

Postać wykładnicza

)

exp(

|

|



j

Z

Z 

Takie sobie ciekawostki:

j

Z 

Niech liczba zespolona:

1

1

1









j

jj

j

j

Z

 





j

jx

jx

jx

jx

j

jx

jx

dx

d

x

dx

d

2

)

exp(

)

exp(

2

))

exp(

)

(exp(

2

)

exp(

)

exp(

cos





























to jest sinus(x)

Niech |Z|=1 będzie stałą a  będzie zmienną niezależną

(0,2) określmy sobie funkcję zespoloną Z=|Z|exp(j )

Re

Im

1



 

)

exp(

|

|

1

1





j

Z

Z



1

2



 

)

exp(

|

|

2

2





j

Z

Z



Im



 

)

exp(

|

|

1





j

Z

Z



1





Zażądajmy aby nasza funkcja Z() przyjmowała jedynie

wartości rzeczywiste (czyli leżące na osi „Re”)

Re

 

)

exp(

|

|

2





j

Z

Z







 

)]

exp(

)

[exp(

|

|







j

j

Z

Z







Rozpatrzmy parę wartości funkcji Z():

 

2

]

1

1

[

|

|

0

0









Z

Z



0

]

[

|

|

2

2





















i

i

Z

Z







 

2

]

1

1

[

|

|













Z

Z







0

]

[

|

|

2

3

2

3























i

i

Z

Z







 

2

]

1

1

[

|

|

2

2









Z

Z







Uzyskane wartości po podzieleniu przez dwa są podobne
do wartości funkcji cos():

 

1

)

0

cos(

2

0





Z

0

2

cos

0

2

































Z

 

1

)

cos(

2













Z

0

2

3

cos

0

2

3

































Z

)

cos(

|

|

)]

exp(

)

[exp(

|

|

5

,

0







Z

j

j

Z







Sygnał o czasie ciągłym

jakaś chwila t1 dla
której kąt=1

w chwili t2 kąt
zwiększył

się

do

wielkości 2

Zakładamy że każdemu przyrostowi czasu t odpowiada

stały przyrost kąta  . Wobec tego możemy użyć

prostego „krzyżakowego” rozumowania:

2 - T (okres)

  - t

zatem:

t

T











2

0

2

)

(











t

T

t

0

2

)

(











t

T

t

Pamiętamy że 1/T to częstotliwość. Częstotliwość
określa zatem jak szybko zmienia się kąt . Czyli jak

szybko punkt krąży po okręgu.

częstotliwoś
ć

f

1

f

2

f

3

sygnał
zespolony:

> szybsze wirowanie >



0

określa punkt

startowy

Krążenie punktu po okręgu określone jest przez liczby
zespolone. Jednakże sygnały które mierzymy są
rzeczywiste. Są one punktu „Z” na oś rzeczywistą
(konwencja):

Rzutowanie z matematycznego
punktu widzenia:

Powrót Jedi

(wzór Eulera)

ft

t





2

)

( 

ft

t





2

)

(





Dodajemy

geometrycznie

drugi

wektor wodzący dla którego kąt jest
równy co do wielkości i przeciwny co
do znaku





jft

Z



2

exp



Z





jft

Z



2

exp





liczba
sprzężona

Z

częstotliwoś
ć

wirowanie

z

częstotliwością f w
kierunku
dodatnim

wirowanie

z

częstotliwością f w
kierunku
ujemnym

Powstawanie ujemnych prążków

widma nie jest efektem

cyfrowym

f

1

f

2

f

3

częstotliwość

Wektory wirują razem. Zatem sygnał jest sumą
wektorów elementarnych.

f

1

f

2

f

3

częstotliwoś
ć

Inne częstotliwości i

amplitudy...

A

1

f

1

A

2

f

2

A

3

f

3

Przekształcenie Fouriera

umożliwia rozdzielenie

poszczególnych zsumowanych

wektorów elementarnych