1. Definicja wektora w ukùadzie wspóùrzêdnych

Niech





A

A

A

z

,

y

,

x

A

,





B

B

B

z

,

y

,

x

B

b

êd¹ punktami w prostok¹tnym ukùadzie

wsp

óùrzêdnych

.

Wektorem zaczepionym





 AB

u

nazywamy uporz

¹dkowan¹ pa

r

ê punktów

B

,

A

.

Tr

ójkê liczb





z

y

x

u

,

u

,

u

gdzie

A

B

x

x

x

u





,

A

B

y

y

y

u





,

A

B

z

z

z

u





nazywamy

wspóùrzêdnymi wektora



u

.

Wektor w uk

ùadzie

OXYZ

Wektorem swobodnym wyznaczonym przez wektor zaczepiony



u

nazywamy

zbi

ór wszys

tkich wektor

ów posiadaj¹cych te

same wsp

óùrzêdne

co wektor



u .

Wektor



u

nazywamy

reprezentantem wektora swobodnego.

Cz

êsto uto¿samiamy



u

i odpowiedni wektor swobodny. Piszemy





z

y

x

u

,

u

,

u

u 



.

wektory swobodne

Wektory zapisujemy ma

ùymi literami

np.



u

,



v

,



a

lub du

¿ymi jeœli mamy ustalony

pocz

¹tek i koniec wektora np.



AB

- to wektor o pocz

¹tku w punkcie A

i ko

ñcu w

punkcie

B

;



BA

- to wektor o pocz

¹tku w punkcie B

i ko

ñcu w punkcie

A

.

wektor
zaczepiony

wsp

óùrzêdne

wektora





















wektor swobodny


reprezentant
wektora
swobodnego

X

Y

Z



u

X

Y

Z

)

z

,

y

,

x

(

A

A

A

A

)

z

,

y

,

x

(

B

B

B

B

id3698312 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

..........................................................................................

PRZYK£AD

Dane s

¹ punkty





3

1

2



 ,

,

A

,





5

2

3 



,

,

B

.

Wyznaczy

ã wspóùrzêdne wektorów



AB

,



BA

.

Rozwi

¹zanie

Obliczamy kolejne wsp

óùrzêdne wektora





 AB

u

odejmuj

¹c od wspóùrzêdnych

ko

ñca wektora (punkt B

) odpowiednie wsp

óùrzêdne pocz¹tku wektora (punkt A)

:

5

2

3















A

B

x

x

x

u





3

1

2













A

B

y

y

y

u





2

3

5

















A

B

z

z

z

u

Ostatecznie





2

3

5 







,

,

AB

.

Analogicznie obliczamy kolejne wsp

óùrzêdne wektora





 BA

v





5

3

2













B

A

x

x

x

v

3

2

1















B

A

y

y

y

v





2

5

3















B

A

z

z

z

v

Ostatecznie





2

3

5

,

,

BA







.

............................................................................................

Wektor





0

0

0

0

,

,





nazywamy

wektorem zerowym.

Wektor





z

y

x

u

,

u

,

u

u













nazywamy

wektorem przeciwnym

do wektora





z

y

x

u

,

u

,

u

u 



.

Wektor



AB

jest wektorami przeciwnym do wektora



BA

i na odwr

ót.

...........................................................................................

PRZYK£AD

Wektor przeciwny do wektora





0

4

2

,

,

, to wektor





0

4

2 ,

,



.

...........................................................................................

Wektory





z

y

x

u

,

u

,

u

u 



i





z

y

x

v

,

v

,

v

v 



s¹ równe

wtedy i tylko wtedy je

œli ich

sk

ùadowe s¹

r

ówne, czyli

v

u

x

x 

,

v

u

y

y 

,

v

u

z

z 

.

Dùugoœã wektora





z

y

x

u

,

u

,

u

u 



okre

œlona jest wzorem

2

2

2

z

y

x

u

u

u

u









.

wektor zerowy


wektor przeciwny


















r

ównoœã

wektor

ów

d

ùugoœã

UWAGA.



0

0 













u

u

.

............................................................................................

PRZYK£AD

Wyznaczy

ã dùugoœã wektor





1

3

2 







,

,

v

.

Rozwi

¹zanie

Zgodnie

ze

wzorem

na

d

ùugoœã

mamy





 





14

1

3

2

2

2

2















v

.

............................................................................................

Wektor jednostkowy

(wersor) to wektor o d

ùugoœci jeden.

Aby otrzyma

ã wektor jednostkowy równolegùy do danego wektora





z

y

x

u

,

u

,

u

u 



nale

¿y wspóùrzêdne

tego wektora podzieli

ã przez jego dùugoœã, tzn.













u

u

,

u

u

,

u

u

z

y

x







.

Przyk

ùadowymi wektorami jednostkowymi s¹ werso

ry osi OX , OY , OZ , kt

óre

oznaczamy odpowiednio



i

,



j

,



k

, gdzie





0

0

1 ,

,

i 



,





0

1

0 ,

,

j 



,





1

0

0 ,

,

k 



.

............................................................................................

PRZYK£AD

Znale

êã wektor jednostkowy równolegùy do wektora





2

1

2 





,

,

v

.

Rozwi

¹zanie

Zgodnie ze wzorem na d

ùugoœã mamy

 

 





3

9

2

1

2

2

2

2















v

.

wektora

wektor
jednostkowy

X

Y

Z



i



j



k

Szukany wektor to



















3

2

3

1

3

2

,

,

w

lub























3

2

3

1

3

2

,

,

w

.

............................................................................................

Niech





A

A

A

z

,

y

,

x

A

,





B

B

B

z

,

y

,

x

B

.

Wsp

óùrzêdne punktu





S

S

S

z

,

y

,

x

S

b

êd¹cego œrodkiem

odcinka

AB

mo

¿emy

wyliczy

ã ze wzoru































2

2

2

B

A

S

B

A

S

B

A

S

z

z

z

y

y

y

x

x

x

.

............................................................................................

PRZYK£AD

Znale

êã œrodek

odcinka

AB

je

œli





2

6

5

,

,

A



,





4

8

3 ,

,

B 

.

Rozwi

¹zanie

Wyznaczamy kolejne wsp

óùrzêdne œrodka





1

2

3

5

2













B

A

S

x

x

x

2

2

8

6

2













B

A

S

y

y

y

3

2

4

2

2











B

A

S

z

z

z

Ostatecznie





3

2

1 ,

,

S

.

..........................................................................................

K

¹ty, jakie two

rzy wektor



u

z osiami uk

ùadu wspóùrzêdnych okreœlaj¹ nastêpuj¹ce

wzory

œrodek odcinka

X

Y

Z

u









u

u

cos

x







-



k

¹t miêdzy wektorem a osi¹ OX,

u

u

cos

y







-



k

¹t miêdzy wektorem a osi¹ OY,

u

u

cos

z







-



k

¹t miêdzy wektorem a osi¹ OZ,

Poniewa

¿ cosinusy te opisuj¹

kierunek wektora w przestrzeni nazywamy je

cosinusami kierunkowymi

.

Cosinusy te spe

ùniaj¹ warunek

1

2

2

2













cos

cos

cos

.

..........................................................................................

PRZYK£AD

Obliczy

ã cosinus kierunkowe wektora





1

1

2 





,

,

u

.

Rozwi

¹zanie

Najpierw wyznaczamy d

ùugoœã wektora

 





2

1

1

2

2

2

2













u

. Mo

¿emy teraz

wyliczy

ã cosinusy kierunkowe

o

x

u

u

cos

45

2

2















o

y

u

u

cos

60

2

1















o

z

u

u

cos

120

2

1

















..........................................................................................

cosinusy
kierunkowe