id3698312 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 1. Definicja wektora w ukùadzie wspóùrzêdnych
Niech
A x , y , z
, B x , y ,z bêd¹ punktami w prostok¹tnym ukùadzie B
B
B
A
A
A
wspóùrzêdnych.
wektor
Wektorem zaczepionym u AB nazywamy uporz¹dkowan¹ parê punktów A, B .
zaczepiony
Tr
ójkê liczb u ,u ,u gdzie u x x , u y y , u z z nazywamy x
y
z
x
B
A
y
B
A
z
B
A
wspóùrzêdne
wektora
wspóùrzêdnymi wektora u .
Wektor w ukùadzie OXYZ
Z
(
B x , y , z )
B
B
B
(
A x , y ,z )
A
A
A
Y
X
Wektorem swobodnym wyznaczonym przez wektor zaczepiony u nazywamy wektor swobodny
zbi
ór wszystkich wektorów posiadaj¹cych te same wspóùrzêdne co wektor u .
reprezentant
wektora
Wektor u nazywamy reprezentantem wektora swobodnego.
swobodnego
Cz
êsto uto¿samiamy u i odpowiedni wektor swobodny. Piszemy u u ,u ,u .
x
y
z
Z
u
Y
X
wektory swobodne
Wektory zapisujemy maùymi literami np. u , v , a lub du¿ymi jeœli mamy ustalony
pocz
¹tek i koniec wektora np. AB - to wektor o pocz¹tku w punkcie A i koñcu w
punkcie B ; BA- to wektor o pocz¹tku w punkcie B i koñcu w punkcie A .
..........................................................................................
PRZYK£AD
Dane s¹ punkty
A 2
, 1
,
3 , B 3 2
,
, 5 .
Wyznaczyã wspóùrzêdne wektorów AB , BA .
Rozwi
¹zanie
Obliczamy kolejne wspóùrzêdne wektora u AB odejmuj¹c od wspóùrzêdnych koñca wektora (punkt B) odpowiednie wspóùrzêdne pocz¹tku wektora (punkt A): u x x
3
2 5
x
B
A
u y y
2
y
B
A
1 3
u z z 5
z
B
A
3 2
Ostatecznie AB 5 3
, , 2
.
Analogicznie obliczamy kolejne wsp óùrzêdne wektora v BA v x x
2
x
A
B
3 5
v y y
1 2
3
y
A
B
v z z
3
z
A
B
5 2
Ostatecznie
BA 5 3
, 2
, .
............................................................................................
Wektor
0 0 0
, ,
0 nazywamy wektorem zerowym.
wektor zerowy
Wektor u u , u , u nazywamy wektorem przeciwnym do wektora x
y
z
wektor przeciwny
u u ,u ,u .
x
y
z
Wektor
AB jest wektorami przeciwnym do wektora BA i na odwrót.
...........................................................................................
PRZYK£AD
Wektor przeciwny do wektora 2 , 4 ,
0 , to wektor 2 4
, ,
0 .
...........................................................................................
Wektory u u ,u ,u i v v ,v ,v s¹ równe wtedy i tylko wtedy jeœli ich r x
y
z
x
y
z
ównoœã
wektorów
skùadowe s¹ równe, czyli x x , y y , z z .
u
v
u
v
u
v
2
2
2
Dùugoœã wektora u u ,u ,u okreœlona jest wzorem u
u u u .
x
y
z
x
y
z
dùugoœã
wektora
0 0
u u .
............................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczyã dùugoœã wektor v 2 3
,
,
1 .
Rozwi¹zanie
Zgodnie
ze
wzorem
na
d
2
2
ùugoœã
mamy
v
2
2
3
1
14 .
............................................................................................
Wektor jednostkowy (wersor) to wektor o dùugoœci jeden.
wektor
Aby otrzyma
jednostkowy
ã wektor jednostkowy równolegùy do danego wektora u u ,u ,u x
y
z
u
u
nale
y
u
¿y wspóùrzêdne tego wektora podzieliã przez jego dùugoœã, tzn.
x
z
,
,
.
u
u
u
Przykùadowymi wektorami jednostkowymi s¹ wersory osi OX , OY , OZ , które
oznaczamy odpowiednio
i , j , k , gdzie i 1 0
, ,
0 , j 01
, ,
0 , k 0 0
, ,
1 .
Z
k
Y
i
j
X
............................................................................................
PRZYK£AD
Znaleêã wektor jednostkowy równolegùy do wektora v 2 1
,
, 2.
Rozwi¹zanie
Zgodnie ze wzorem na d
2
2
ùugoœã mamy v
2
2
1
2
9 3 .
2 1
2
2
1 2
Szukany wektor to
w
,
,
lub w
,
,
.
3 3
3
3
3 3
............................................................................................
Niech
A x , y , z
, B x , y ,z .
B
B
B
A
A
A
Wsp
œrodek odcinka
óùrzêdne punktu S x , y ,z bêd¹cego œrodkiem odcinka AB mo¿emy S
S
S
x x
x
A
B
S
2
wyliczy
y y
ã ze wzoru
A
B .
y
S
2
z z
z A
B
S
2
............................................................................................
PRZYK£AD
Znale
êã œrodek odcinka AB jeœli
A 5 , 6 2
, , B 3 8
, 4
, .
Rozwi
¹zanie
Wyznaczamy kolejne wsp
óùrzêdne œrodka
x x
5
A
3
x
B
1
S
2
2
y y
6 8
y A
B
2
S
2
2
z z
2 4
z
A
B
3
S
2
2
Ostatecznie S1 2
, ,
3 .
..........................................................................................
Z
u
Y
X
K¹ty, jakie tworzy wektor u z osiami ukùadu wspóùrzêdnych okreœlaj¹ nastêpuj¹ce wzory
cos
x
- k¹t miêdzy wektorem a osi¹ OX,
u
u
y
cos
- k¹t miêdzy wektorem a osi¹ OY,
u
u
cos
z
- k¹t miêdzy wektorem a osi¹ OZ,
u
Poniewa¿ cosinusy te opisuj¹ kierunek wektora w przestrzeni nazywamy je cosinusy kierunkowe
cosinusami kierunkowymi.
Cosinusy te spe
2
2
2
ùniaj¹ warunek cos cos cos 1 .
..........................................................................................
PRZYK£AD
Obliczyã cosinus kierunkowe wektora u 2 1 ,
,
1 .
Rozwi¹zanie
2
Najpierw wyznaczamy d
2
2
ùugoœã wektora u
2 1
1
2 . Mo¿emy teraz
wyliczyã cosinusy kierunkowe
u
2
x
o
cos
45
u
2
u
1
y
o
cos
60
u
2
1
uz
o
cos
120
u
2
..........................................................................................