Egzamin poprawkowy - teoria

rok 2010/2011

Zadanie 1 :

Podać kryterium Leibnitza. Zbadać zbieżność (oraz określić jej rodzaj) szeregu

∑

n=1

∞

(−

1)

n

3

√

n+1

.

Rozwiązanie:

treść kryterium Leibnitza: Jeżeli w szeregu naprzemiennym ciąg {a

n

} jest ciągiem malejącym, dodatnim i

zbieżnym do 0, to szereg ten (

∑

n=1

∞

(−

1)

n

a

n

) jest zbieżny.

rozwiązanie zadania:

∑

n=1

∞

(−

1)

n

1

3

√

n+1

jest to szereg postaci:

∑

n=1

∞

a

n

(−

1)

n

Badam zbieżność bezwzględną:

∑

n=1

∞

∣

(−

1)

n

3

√

n+1

 ∣

=

∑

n=1

∞

1

3

√

n+1

jest to przeskalowany szereg Dirichleta o α=1/3 co znaczy, że

szereg jest rozbieżny. To jeszcze o niczym nie świadczy, dlatego badamy zbieżność za pomocą kryterium
Leibnitza:

•

a

n

>0, warunek spełniony, bo licznik i mianownik wyrażenia są dodatnie

•

a

n

jest funkcją malejącą, warunek jest spełniony, ponieważ licznik jest stały, a mianownik rośnie

•

lim

n→ ∞

a

n

=

lim

n→ ∞

1

3

√

n +1

= [

1

∞

] = 0

Z kryterium Leibnitza wynika, że szereg

∑

n=1

∞

(−

1)

n

3

√

n+1

jest zbieżny warunkowo.

Odpowiedź:

Na mocy kryterium Leibnitza otrzymujemy, że szereg

∑

n=1

∞

(−

1)

n

3

√

n+1

jest szeregiem zbieżnym

warunkowo.

Zadanie 2 :

Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Napisać rozwinięcie funkcji f’(x) w

szereg Maclaurina jeżeli f(x) =

∑

n=1

∞

2 x

n

.

treść twierdzenia: Jeżeli szereg potęgowy

∑

n=0

∞

a

n

x

n

ma niezerowy promień zbieżności R (0<R≤∞) to jego

suma S(x) jest funkcją różniczkowalną oraz:

S’(x)=

∑

n=0

∞

(

a

n

x

n

)

'=

∑

n =0

∞

a

n

n x

n−1

.

Rozwiązanie:

Dla f(x)=

∑

n=1

∞

2 x

n

mamy f’(x)=(

∑

n=1

∞

2 x

n

)’=

∑

n=1

∞

2( x

n

)

'

=

∑

n=1

∞

2n x

n−1

(

przykład podchwytliwy)

Zadanie 3 :

Podać definicję potencjału wektorowego.

Rozwiązanie:

Pole wektorowe

⃗

F

określone w obszarze DᶜR

3

nazywamy potem potencjalnym, jeżeli

istnieje pole skalarne f określone w D takie, że

⃗

F

= grad (f) = [f

x

, f

y

, f

z

].

Zadanie 4 :

Zmienna losowa X ma rozkład N(-1,3). Za pomocą tablic obliczyć P(-3<X<0).

Rozwiązanie:

P(-3<X<0) /+1

P(-2<X+1<1) /:3

P(

−

2

3

<

X +1

3

<

1

3

)

doprowadziliśmy postać dla

zadanego w zadaniu N(-1,3) by móc odczytać wartości z tabeli, w której N(0,1)
dokonujemy przybliżenia, aby uzyskać wartości z tablic:

•

-2/3 ~-0,66

•

1/3 ~ 0,33

ɸ

(

1
3

)

-

ɸ(−

2
3

)

=

  ɸ

(

1

3

)

-(1-

 ɸ

(

2
3

)

)

=

  ɸ

(

1

3

)

-1+

 ɸ

(

2
3

)

=

  ɸ

(

0,33

)

-1+

  ɸ

(

0,66

)

dla wartości odczytanych z tablic mamy:

ɸ

(

0,33

)

-1+

  ɸ

(

0,66

)

=0,6293-1+0,7454=0,3747

Odpowiedź:

Dla zadanego rozkładu normalnego otrzymujemy prawdopodobieństwo równe 0,3747.

Zadanie 5 :

Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n=12, p=1/3. Obliczyć wartość

oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y=2X-1.

Rozwiązanie:

przydatne wzory:

EX=np
D

2

X=npq

E(Y) = E(2X-1) = 2(EX)-1 = 2(12*

1

3

)-1=2*4-1=8-1=7

po dostosowaniu wzoru dla zmiennej

losowej Y

D

2

(Y) = D

2

(2X-1) = 4D

2

X=4*12*

1

3

*(1-

1

3

)=16*(

2
3

)=

 

32

3

po dostosowaniu wzoru dla zmiennej

losowej Y

Odpowiedź:

Dla zmiennej losowej Y wartość oczekiwana wynosi 7, natomiast wariancja jest równa

32

3

.

Autor:

Aleksandra Kasprzak

grupa

2

29.01.2014