rok 2010/2011
∞
Zadanie 1 : Podać kryterium Leibnitza. Zbadać zbieżność (oraz określić jej rodzaj) szeregu ∑ (−1) n .
n=1 3
√ n+1
Rozwiązanie:
treść kryterium Leibnitza: Jeżeli w szeregu naprzemiennym ciąg {an} jest ciągiem malejącym, dodatnim i
∞
zbieżnym do 0, to szereg ten ( ∑(−1) na ) jest zbieżny.
n
n=1
∞
∞
rozwiązanie zadania: ∑ (−1) n 1 jest to szereg postaci: ∑ a (−1) n 3
n
n=1
√ n+1
n=1
Badam zbieżność bezwzględną:
∞
∞
∑ (−1) n
1
∣
∣ = ∑
jest to przeskalowany szereg Dirichleta o α=1/3 co znaczy, że 3
3
n=1 √ n+1
n=1 √ n+1
szereg jest rozbieżny. To jeszcze o niczym nie świadczy, dlatego badamy zbieżność za pomocą kryterium Leibnitza:
• a >0, warunek spełniony, bo licznik i mianownik wyrażenia są dodatnie n
• a jest funkcją malejącą, warunek jest spełniony, ponieważ licznik jest stały, a mianownik rośnie n
• lim a
1
n = lim
= [ 1 ] = 0
n→ ∞
3
n→ ∞ √ n +1
∞
Z kryterium Leibnitza wynika, że szereg ∑ ∞ (−1) n jest zbieżny warunkowo.
n=1 3
√ n+1
Odpowiedź: Na mocy kryterium Leibnitza otrzymujemy, że szereg ∑ ∞ (−1) n jest szeregiem zbieżnym n=1 3
√ n+1
warunkowo.
Zadanie 2 : Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Napisać rozwinięcie funkcji f’(x) w
∞
szereg Maclaurina jeżeli f(x) = ∑ 2 xn .
n=1
∞
treść twierdzenia: Jeżeli szereg potęgowy ∑ a xn ma niezerowy promień zbieżności R (0<R≤∞) to jego n
n=0
suma S(x) jest funkcją różniczkowalną oraz:
∞
∞
S’(x)= ∑ ( a xn) ' =∑ a n xn−1
n
n
.
n=0
n =0
Rozwiązanie:
∞
∞
∞
∞
Dla f(x)= ∑ 2 xn mamy f’(x)=( ∑ 2 xn )’= ∑ 2( xn) ' = ∑ 2 n xn−1 ( przykład podchwytliwy) n=1
n=1
n=1
n=1
Zadanie 3 : Podać definicję potencjału wektorowego.
Rozwiązanie: Pole wektorowe ⃗
F określone w obszarze DᶜR3 nazywamy potem potencjalnym, jeżeli istnieje pole skalarne f określone w D takie, że
⃗
F = grad (f) = [fx, fy, fz].
Zadanie 4 : Zmienna losowa X ma rozkład N(-1,3). Za pomocą tablic obliczyć P(-3<X<0).
Rozwiązanie:
P(-3<X<0) /+1
P(-2<X+1<1) /:3
P( −2 < X +1 < 1 ) doprowadziliśmy postać dla
3
3
3
zadanego w zadaniu N(-1,3) by móc odczytać wartości z tabeli, w której N(0,1) dokonujemy przybliżenia, aby uzyskać wartości z tablic:
• -2/3 ~-0,66
•
1/3 ~ 0,33
2
ɸ(1) - ɸ(− ) = ɸ(1) -(1- ɸ(2) ) = ɸ(1) -1+ ɸ(2) = ɸ(0,33) -1+ ɸ(0,66) 3
3
3
3
3
3
dla wartości odczytanych z tablic mamy:
ɸ(0,33) -1+ ɸ(0,66) =0,6293-1+0,7454=0,3747
Odpowiedź: Dla zadanego rozkładu normalnego otrzymujemy prawdopodobieństwo równe 0,3747.
Zadanie 5 : Zmienna losowa X ma rozkład Bernoul iego z parametrami n=12, p=1/3. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y=2X-1.
Rozwiązanie:
przydatne wzory:
EX=np
D2X=npq
E(Y) = E(2X-1) = 2(EX)-1 = 2(12* 1 )-1=2*4-1=8-1=7
po dostosowaniu wzoru dla zmiennej
3
losowej Y
D2(Y) = D2(2X-1) = 4D2X=4*12* 1 *(1- 1 )=16*( 2 )= 32
po dostosowaniu wzoru dla zmiennej
3
3
3
3
losowej Y
Odpowiedź: Dla zmiennej losowej Y wartość oczekiwana wynosi 7, natomiast wariancja jest równa 32 .
3
Autor: Aleksandra Kasprzak grupa 2
29.01.2014