[Podstawy ekonometrii]

 

 

1   

 

E

STYMACJA MODELI WIELORÓWNANIOWYCH 

1.  Modele proste: 

Cechą  charakterystyczną  modeli  prostych  jest  brak  powiązań  pomiędzy  zmiennymi 
łącznie współzależnymi w poszczególnych równaniach modelu.  Pozwala to traktować 
każde  z  równań  jako  odrębny  model  jednorównaniowy  i  szacować  parametry  modeli 
prostych  metodami  stosowanymi  dla  modeli  jednorównaniowych,  np.:  klasyczną 
metodą najmniejszych kwadratów (o ile spełnione są warunki jej stosowalności). 

W  przypadku  skorelowania  składników  losowych  poszczególnych  równań  modelu 
prostego, w celu poprawienia efektywności estymatora stosuje się metodę Zellnera. 

2.  Modele rekurencyjne: 

W modelach rekurencyjnych występują jednokierunkowe powiązania między zmiennymi 
łącznie  współzależnymi.  Znane  są  zatem  równanie  początkowe  i  równanie  końcowe 
modelu.  Parametry  strukturalne  modeli  rekurencyjnych  można  więc  szacować 
metodami  dla  modeli  jednorównaniowych,  np.:  kmnk,  z  zachowaniem  procedury 
łańcuchowej, tzn. od równania początkowego do równania finalnego.  

Jednakże, za pomocą kmnk możemy oszacować tylko te równania, które nie zawierają 
zmiennych  łącznie  współzależnych  w  roli  zmiennych  objaśniających.  W  przeciwnym 
razie  warunek  kmnk  o  nielosowości  zmiennych  objaśniających  nie  jest  spełniony 
(zmienne  łącznie  współzależne  w  roli  zmiennych  objaśniających  są  skorelowane  ze 
składnikiem  losowym  –  estymator  traci  zgodność).  Tę  trudność  można  ominąć, 
podstawiając w miejsce zmiennych łącznie współzależnych ich wartości teoretyczne: 

Przykład: 

t

t

t

t

t

t

t

X

y

y

X

y

2

2

22

20

2

1

2

12

1

11

10

1





























 

Estymację rozpoczynamy od równania nr 2 (równanie początkowe modelu). Parametry 
równania  szacujemy  za  pomocą  kmnk  i  wyznaczamy  wartości  teoretyczne  zmiennej 

t

y

2

ˆ

.  

[Podstawy ekonometrii]

 

 

2   

 

Szacując  parametry  równania  nr  1,  w  miejsce  empirycznych  wartości  zmiennej 

t

y

2

 

podstawiamy jej wartości teoretyczne 

t

y

2

ˆ

 wyznaczone na podstawie równania nr 2: 

t

t

t

t

y

X

y

1

2

12

1

11

10

1

ˆ

















 

Po zastosowaniu kmnk do tak przekształconego równania otrzymujemy zgodne oceny 

parametrów. 

3.  Modele o równaniach współzależnych: 

Przed  estymacją  modele  o  równaniach  współzależnych  należy  zidentyfikować. 

Identyfikacja  określa  poprawność  specyfikacji  modelu  z  punktu  widzenia  możliwości 
estymacji jego parametrów. Jej celem jest ustalenie czy można wyznaczyć parametry 
modelu bez uwzględniania informacji spoza próby: 



 

jeśli równanie jest identyfikowane to można wyznaczyć jego parametry, 



 

jeżeli  równanie  nie  jest  identyfikowane  to  nie  można  oszacować  jego 
parametrów, 



 

cały  model  jest  identyfikowanym  jeśli  wszystkie  równania  tego  modelu  są 
identyfikowalne. 

Warunkiem  koniecznym  by  równanie  było  identyfikowalne  jest  warunek  by  liczba 
zmiennych niewystępujących w tym równaniu (Lg) była nie mniejsza niż liczba równań 
modelu (G) pomniejszona o 1: 

1





G

Lg

 

Warunkiem  dostatecznym  by  równanie  było  identyfikowalne  jest  warunek  by  rząd 
macierzy  W  parametrów  przy  zmiennych,  które  nie  występują  w  g-  tym  równaniu  był 
równy co najmniej G-1: 

1





G

rzWg

 

[Podstawy ekonometrii]

 

 

3   

 

I

DENTYFIKACJA MODELI O RÓWNANIACH WSPÓŁZALEŻNYCH

 

Identyfikujemy pojedynczo każde z równań modelu: 

a)  Zapisujemy model w postaci strukturalnej. 
b)  Wyszukujemy zmienne występujące w modelu, ale nie występujące w badanym 

równaniu. 

c)  Budujemy macierz W parametrów dla zmiennych z podpunktu b. 
d)  Sprawdzamy rząd macierzy W: 



 

jeżeli 

1





G

rzWg

 równanie nie jest identyfikowane, 



 

jeśli 

1





G

rzWg

 równanie jest identyfikowane: 



 

gdy 

1





G

Lg

 równanie identyfikowalne jednoznacznie, 



 

gdy 

1





G

Lg

 równanie identyfikowalne niejednoznacznie.