[Podstawy ekonometrii]

1

E

STYMACJA MODELI WIELORÓWNANIOWYCH

1. Modele proste:

Cechą charakterystyczną modeli prostych jest brak powiązań pomiędzy zmiennymi
łącznie współzależnymi w poszczególnych równaniach modelu. Pozwala to traktować
każde z równań jako odrębny model jednorównaniowy i szacować parametry modeli
prostych metodami stosowanymi dla modeli jednorównaniowych, np.: klasyczną
metodą najmniejszych kwadratów (o ile spełnione są warunki jej stosowalności).

W przypadku skorelowania składników losowych poszczególnych równań modelu
prostego, w celu poprawienia efektywności estymatora stosuje się metodę Zellnera.

2. Modele rekurencyjne:

W modelach rekurencyjnych występują jednokierunkowe powiązania między zmiennymi
łącznie współzależnymi. Znane są zatem równanie początkowe i równanie końcowe
modelu. Parametry strukturalne modeli rekurencyjnych można więc szacować
metodami dla modeli jednorównaniowych, np.: kmnk, z zachowaniem procedury
łańcuchowej, tzn. od równania początkowego do równania finalnego.

Jednakże, za pomocą kmnk możemy oszacować tylko te równania, które nie zawierają
zmiennych łącznie współzależnych w roli zmiennych objaśniających. W przeciwnym
razie warunek kmnk o nielosowości zmiennych objaśniających nie jest spełniony
(zmienne łącznie współzależne w roli zmiennych objaśniających są skorelowane ze
składnikiem losowym – estymator traci zgodność). Tę trudność można ominąć,
podstawiając w miejsce zmiennych łącznie współzależnych ich wartości teoretyczne:

Przykład:

t

t

t

t

t

t

t

X

y

y

X

y

2

2

22

20

2

1

2

12

1

11

10

1





























Estymację rozpoczynamy od równania nr 2 (równanie początkowe modelu). Parametry
równania szacujemy za pomocą kmnk i wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennej

t

y

2

ˆ

.

[Podstawy ekonometrii]

2

Szacując parametry równania nr 1, w miejsce empirycznych wartości zmiennej

t

y

2

podstawiamy jej wartości teoretyczne

t

y

2

ˆ

wyznaczone na podstawie równania nr 2:

t

t

t

t

y

X

y

1

2

12

1

11

10

1

ˆ

















Po zastosowaniu kmnk do tak przekształconego równania otrzymujemy zgodne oceny

parametrów.

3. Modele o równaniach współzależnych:

Przed estymacją modele o równaniach współzależnych należy zidentyfikować.

Identyfikacja określa poprawność specyfikacji modelu z punktu widzenia możliwości
estymacji jego parametrów. Jej celem jest ustalenie czy można wyznaczyć parametry
modelu bez uwzględniania informacji spoza próby:



jeśli równanie jest identyfikowane to można wyznaczyć jego parametry,



jeżeli równanie nie jest identyfikowane to nie można oszacować jego
parametrów,



cały model jest identyfikowanym jeśli wszystkie równania tego modelu są
identyfikowalne.

Warunkiem koniecznym by równanie było identyfikowalne jest warunek by liczba
zmiennych niewystępujących w tym równaniu (Lg) była nie mniejsza niż liczba równań
modelu (G) pomniejszona o 1:

1





G

Lg

Warunkiem dostatecznym by równanie było identyfikowalne jest warunek by rząd
macierzy W parametrów przy zmiennych, które nie występują w g- tym równaniu był
równy co najmniej G-1:

1





G

rzWg

[Podstawy ekonometrii]

3

I

DENTYFIKACJA MODELI O RÓWNANIACH WSPÓŁZALEŻNYCH

Identyfikujemy pojedynczo każde z równań modelu:

a) Zapisujemy model w postaci strukturalnej.
b) Wyszukujemy zmienne występujące w modelu, ale nie występujące w badanym

równaniu.

c) Budujemy macierz W parametrów dla zmiennych z podpunktu b.
d) Sprawdzamy rząd macierzy W:



jeżeli

1





G

rzWg

równanie nie jest identyfikowane,



jeśli

1





G

rzWg

równanie jest identyfikowane:



gdy

1





G

Lg

równanie identyfikowalne jednoznacznie,



gdy

1





G

Lg

równanie identyfikowalne niejednoznacznie.