Elektrodynamika - wykład 10

1

Energia przenoszona przez falę płaską

Czy płaska fala elektromagnetyczna przenosi energię?

Obliczmy w tym celu wektor Poyntinga

~

S =

1

µ

0

~

E × ~

B =

1

µ

0

~

E × (~k × ~

E),

(1)

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru z poprzedniego wykładu. Teraz stosując tożsamość wektorową

~

A × ( ~

B × ~

C) = ~

B( ~

A · ~

C) − ~

C( ~

A · ~

B)

(2)

otrzymujemy

~

S =

1

µ

0

ω

[~k( ~

E · ~

E) − ~

E(~k · ~

E)] =

1

µ

0

ω

E

2

~k,

(3)

gdzie skorzystaliśmy z tego, że ~

E jest prostopadłe do ~k. Widać więc, że zgodnie z oczekiwaniami

energia jest przenoszona w kierunku propagacji fali.

Jeśli podstawimy ~k = k~n to otrzymamy

~

S =

1

µ

0

ω

E

2

~k =

k

µ

0

ω

E

2

~n =

s

ε

0

µ

0

E

2

~n,

(4)

gdzie wykorzystaliśmy zależność

~k
ω

=

√

ε

0

µ

0

.

Biorąc teraz część rzeczywistą z ~

E(~r, t), która zgodnie z umową odpowiada faktycznym drganiom pola

~

E otrzymamy

~

S =

s

ε

0

µ

0

E

2

0

cos

2

(~k · ~r − ωt)~n.

(5)

Czyli wartość średnia w czasie h~

Si wektora Poytinga i tym samym wartośc średnia w czasie przenoszonej

energii wynosi

h~

Si =

1
2

s

ε

0

µ

0

E

2

0

~n.

(6)

Wielkość tę nazywamy natężeniem fali elektromagnetycznej.

2

Równania Maxwella w materii

Idea uogólnienia równań Maxwella na przypadek obecności materii opierać się będzie na naturalnym
reprezentowaniu materii za pomocą indukowanych gęstości ładunku i prądów. Mianowicie gęstość ładunków
indukowanych ρ

ind

związanych z obecnością dielektryka, wiąże się z polaryzacją elektryczną ~

P :

1

ρ

ind

= − ~

5 · ~

P .

(7)

Z kolei obecność magnetyków może być reprezenowana przez indukowany prąd j

ind

związany z namag-

nesowaniem ~

M zależnością

~

J

ind

= ~

5 × ~

M.

(8)

Nadmienić tutaj należy, że do zupełnego opisu interesującego nas zjawisk nie wystarcza tylko uwzględ-

nienie wielkości ρ

ind

i j

ind

, gdyż ważne tutaj są jeszcze warunki brzegowe. Jest to sytuacja analogiczna

do tej występującej w przypadku równań Maxwella w próżni - tam również układ jest opisany w sposób
zupełny dopiero po zadaniu warunków brzegowych.

Zauważmy najpierw, że zmiana polaryzacji elektrycznej oznacza występowanie dodatkowego prądu

elektrycznego ~

j

pol

(można go nazwać prądem ’przepolaryzowania’ czyli związanego ze zmianą polaryzacji).

Mianowicie różniczkując równanie (7) względem czasu otrzymujemy

∂ρ

ind

∂t

= −

∂

∂t

~

5 · ~

P = − ~

5 ·

∂ ~

P

∂t

(9)

i z równania ciągłości ładunku mamy

~

J

pol

=

∂ ~

P

∂t

(10)

Podsumowując, całkowita gęstość ładunku ρ po uwzględnieniu obecności materii wynosi

ρ = ρ

sw

+ ρ

ind

= ρ

sw

− ~

5 · ~

P ,

(11)

a całkowita gęstość prądów ~j równa jest

~

jJ = ~

J

sw

+ ~

J

ind

+ ~

J

pol

= ~

J

sw

+ ~

5 × ~

M +

∂ ~

P

∂t

.

(12)

Wstawiając powyższe wyrażania do kolejnych równań Maxwella w próżni otrzymujemy:

1. Różniczkowe prawo Gaussa:

~

5 · ~

E =

1

ε

0

ρ =

1

ε

0

(ρ

sw

− ~

5 · ~

P )

(13)

czyli przekształcając

~

5 · (ε

0

~

E + ~

P ) = ρ

sw

(14)

i wprowadzając pojęcie indukcji elektrycznej ~

D = ε

0

~

E + ~

P zapisujemy je w uogólnionej postaci

jako

~

5 · ~

D = ρ

sw

.

(15)

2

2. Różniczkowe prawo Ampere’a:

~

5 × ~

B = µ

0

~

J + ε

0

µ

0

∂ ~

E

∂t

= µ

0

( ~

J

sw

+ ~

5 × ~

M +

∂ ~

P

∂t

) + ε

0

µ

0

∂ ~

E

∂t

,

(16)

Przekształcając otrzymujemy

~

5 × (

1

µ

0

~

B − ~

M) = ~

J

sw

+

∂

∂t

( ~

P + ε

0

~

E).

(17)

Wprowadzając pojęcie natężenia pola magnetyczne ~

H =

1

µ

0

~

B − ~

M oraz wstawiając ~

D mamy

~

5 × ~

H = ~

J

sw

+

∂ ~

D

∂t

.

(18)

Pozostałe dwa równania pozostają bez zmian. Czyli ostatecznie równania Maxwella w obecności materii

mają postać:

~

5 · ~

D = ρ

sw

~

5 × ~

E = −

∂ ~

B

∂t

~

5 · ~

B = 0

~

5 × ~

H = ~

J

sw

+

∂ ~

D

∂t

Równania (15) i (18) nazywane są niejednorodnymi (bo występują w nich oprócz pól także źródła),

a pozostałe dwa - jednorodnymi.

3

Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym

Aby znaleźć postać fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym same równania Maxwella nie wystar-
czą. Potrzebne są jeszcze tzw. związki materiałowe wiążące indukcję elektryczną ~

D z natężeniem pola

elektrycznego ~

E oraz natężenia pola magnetycznego ~

H z indukcją magnetyczną ~

B

~

D = ε( ~

E)

~

B = µ( ~

H)

(19)

Najczęściej te związki są odwzorowaniami linowymi wektorów w wektory (tensorami), chociaż czasami

mogą być one nieliniowe (np. przy wysokich natężeniach pola elektrycznego) wtedy są to tzw. ośrodki
niejednorodne. My zajmiemy się jeszcze prostszym przypadkiem, gdy ośrodek jest izotropowy czyli ~

D|| ~

E

i ~

H|| ~

B

1

i zależność jest liniowa - są to tzw. ośrodki liniowe. Wtedy odwzorowania ε i µ sprowadzają się

tylko do przemnożenia odpowiednich wektorów przez stałą. Czyli

~

D = ε ~

E

~

B = µ ~

H

(20)

Wstawiając te związki do równań Maxwella dla ośrodków materialnych otrzymujemy

1

Gdy ta własność nie jest zachowana to mówimy, że ośrodek jest anizotropowy.

3

~

5 · ~

B = 0

~

5 × ~

B = ~

j

sw

+ εµ

∂ ~

E

∂t

(21)

~

5 · ~

E =

1
ε

ρ

sw

~

5 × ~

E = −

∂ ~

B

∂t

(22)

Czyli postać tych równań jest analogiczna do postaci równań Maxwella w próżni z tym, że ε

0

→ ε

i µ

0

→ µ. A więc wszystkie nasze rozumowania z przypadku fali elektromagnetycznej w próżni przenoszą

się jeśli dokonamy tej zamiany.

Zauważmy jeszcze, że prędkość fazowa fali w ośrodku materialnym v =

1

√

εµ

=

c

n

, gdzie n jest

współczynnikiem załamania

n =

c

v

=

1

√

ε

0

µ

0

√

εµ

(23)

na ogół n > 1, gdyż ε jest zawsze większy ε

0

, a µ jest wieksze od µ

0

poza przypadkiem diamagnetyków.

Uwaga: Mimo, że czasami prędkość fazowa w danym ośrodku może być większa od prędkości światła

w próżni, to trzeba pamietać, że to nie jest prędkość propagacji sygnału, czy przekazywania energii (ta
prędkość nazywa się grupową i ona nigdy nie przekracza prędkości światła w próżni).

4

Warunki brzegowe w ośrodku liniowym

Na poprzednich wykładach wyprowadziliśmy równanie płaskiej fali elektromagnetycznej w próżni, a dokład-
niej równanie drgań pola ~

E

~

E(~r, t) = ~

E

0

e

i(~k·~r−ωt)

(24)

oraz pola ~

B

~

B(~r, t) = ~

B

0

e

i(~k·~r−ωt)

,

(25)

gdzie dodatkowo muszą być spełnione wynikające z równań Maxwella związki

~

B

0

=

1
v

(ˆk × ~

E

0

),

~

E

0

· ~k = 0,

c

2

=

1

µ

0

ε

0

.

(26)

Obecność ośrodka liniowego powoduje tylko zmianę prędkości fali elektromagnetycznej v, która wyraża

się poprzez

v

2

=

1

µε

,

v =

ω

k

,

(27)

gdzie µ i ε są parametrami ośrodka liniowego czyli

~

D = ε ~

E,

~

H =

1

µ

~

B

(28)

W ośrodku materialnym równania Maxwella przyjmują postać

4

~

5 · ~

D = ρ

sw

,

~

5 × ~

E = −

∂ ~

B

∂t

,

~

5 · ~

B = 0,

~

5 × ~

H = ~

j

sw

+

∂ ~

D

∂t

Będziemy teraz wyprowadzać warunki brzegowe dla powyższych wielkości, wynikające z równań Maxwella.

Nie możemy przyjąć po prostu warunków, które wyprowadziliśmy wcześniej, gdyż one wyprowadzane
były dla przypadku magnetostatycznego i elektrostatycznego, a więc nie wiemy, czy one się przenoszą
w niezmienionej formie.

Rozważmy najpierw dwa równania zawierające dywergencje. Tutaj stosując dokładnie to samo rozu-

mowanie co poprzednio dla ~

D w przypadku elektrostatycznym i dla ~

B w przypadku magnetostatycznym

otrzymujemy niezmienioną ich postać:

B

⊥

nad

= B

⊥

pod

D

⊥

nad

− D

⊥

pod

= σ

sw

.

(29)

Rozważmy teraz prostokątną ramkę ∂S ustawioną prostopadle do rozważanej płaszczyzny brzegu

ośrodka. Przyjmujemy, że L >> h, a L nadal bardzo małe. Wtedy korzystając z tw. Stokesa oraz
równania Maxwella zawirającego rotację pola ~

E mamy

I

∂S

~

Ed~l =

Z

S

~

5 × ~

Ed~

S =

Z

S

−

∂ ~

B

∂t

d~

S = −

∂ ~

B

∂t

ˆ

nLh.

(30)

Czyli, gdy przechodzimy z h do zera to całość znika. A więc

E

||

nad

= E

||

pod

.

(31)

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla ostatniego równania Maxwella otrzymujemy zestaw

czterech równań opisujących zachowanie się interesujących nas wielkości na brzegu ośrodka.

5

B

⊥

nad

= B

⊥

pod

(32)

D

⊥

nad

− D

⊥

pod

= σ

sw

(33)

~

E

nad

||

=

~

E

pod

||

(34)

~

H

nad

||

− ~

H

pod

||

= ~

K × ˆ

n

(35)

5

Polaryzacja fali elektromagnetycznej

Przyjrzyjmy się raz jeszcze równaniu fali płaskiej w postaci zespolonej (24),(25). Nic nie stoi na przeszkodzie,
aby wektory ~

E

0

i ~

B

0

były wektorami zespolonymi (oczywiście nadal fizyczne są tylko częścią rzeczywistą

tego wyrażenia). Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków, że kierunek przekazywania energii

ˆ

~k fali jest

skierowany zgodnie z osią OZ czyli

ˆ

~k = (0, 0, 1). W takim razie zespoloną amplitudę ~

E

0

drgań pola ~

E

przedstawić można jako sumę dwóch wzajemnie prostopadłych zespolonych wektorów E

1

ˆ

x i E

2

ˆ

y. W takim

razie

~

E(~r, t) = (E

1

ˆ

x + E

2

ˆ

y)e

i(~k·~r−ωt)

,

(36)

zaś interesująca nas część rzeczywista

Re( ~

E(~r, t)) = (|E

1

| cos(~k · ~r − ωt + ϕ

1

)ˆ

x + |E

2

| cos(~k · ~r − ωt + ϕ

2

)ˆ

y,

(37)

gdzie E

1

= |E

1

|e

iϕ

1

i E

2

= |E

2

|e

iϕ

2

.

Widać więc, że przy takim rozszerzeniu naszej notacji, możliwe jest reprezentowanie fal, dla których

wektor ~

E drga w całej płaszczyźnie prostopadłej do wektora ~k, zakreślając krzywą będącą złożeniem dwóch

drgań harmonicznych w kierunkach wzajemnie prostopadłych czyli elipsę. Ten charakter drgań wektora

~

E określa się polaryzacją fali płaskiej.

Wyróżniamy dwa specjalne przypadki polaryzacji

1. polaryzacja liniowa - występuje wtedy, gdy ϕ

1

= ϕ

2

. W tym wypadku wektor ~

E drga wzdłuż jednego

kierunku ˆ

n = |E

1

|ˆ

x + |E

2

|ˆ

y

2. polaryzacja kołowa - występuję wtedy, gdy ϕ

1

− ϕ

2

= ±

π

2

i |E

1

| = |E

2

|. Wtedy wektor ~

E zakreśla

w płaszczyźnie drgań okrąg o promieniu |E

1

|.

6

Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej

Rozważmy falę elektromagnetyczną biegnącą w kierunku granicy dwóch ośrodków liniowych (o parame-
trach ε

1

, µ

1

i ε

2

, µ

2

odpowiednio) tak jak na rysunku. Czyli równanie tej fali ma postać

~

E

I

(~r, t) = ~

E

0I

e

i( ~

k

I

·~r−ω

I

t)

,

(38)

6

zaś równania fali odbitej i załamanej mają odpowiednio postać

~

E

R

(~r, t) = ~

E

0R

e

i( ~

k

R

·~r−ω

R

t)

(39)

~

E

T

(~r, t) = ~

E

0T

e

i( ~

k

T

·~r−ω

T

t)

.

(40)

Zakładamy, że na granicy ośrodków (płaszczyzna z = 0) nie ma ładunków oraz prądów. A więc

z warunku brzegowego (33) mamy, że składowe z-towe spełniają warunek

ε

1

{ ~

E

0I

e

i( ~

k

I

·(x,y,0)−ω

I

t)

+ ~

E

0R

e

i( ~

k

R

·(x,y,0)−ω

R

t)

}

z

= ε

2

{ ~

E

0T

e

i( ~

k

T

·(x,y,0)−ω

T

t)

}

z

,

(41)

zaś z (34) mamy

{ ~

E

0I

e

i( ~

k

I

·(x,y,0)−ω

I

t)

+ ~

E

0R

e

i( ~

k

R

·(x,y,0)−ω

R

t)

}

x

= { ~

E

0T

e

i( ~

k

T

·(x,y,0)−ω

T

t)

}

x

,

(42)

{ ~

E

0I

e

i( ~

k

I

·(x,y,0)−ω

I

t)

+ ~

E

0R

e

i( ~

k

R

·(x,y,0)−ω

R

t)

}

y

= { ~

E

0T

e

i( ~

k

T

·(x,y,0)−ω

T

t)

}

y

,

(43)

Uwaga: Wprawdzie równania Maxwella, a więc i warunki brzegowe wyprowadzane były tylko dla

rzeczywistych pól.

7

Oczywiste jest jednak, że gdy spełnione są (bardziej restryktywne!) warunki brzegowe dla fal w postaci
zespolonej to automatycznie spełnione sa też warunki dla części rzeczywistych.

Analizując teraz równania (42) i (43) widzimy, że mają one postać (dla każdej chwili czasu)

Ae

iα t

+ Be

iβt

= Ce

iγt

,

(44)

a więc jeśli A, B, C 6= 0 to różniczkując to równanie obustronnie dostateczną liczbę razy i przyrównując

kolejne pochodne w w punkcie t = 0 otrzymamy równość α = β = γ. Czyli oznacza to, że mamy

ω

I

= ω

R

= ω

T

= ω.

(45)

8