Elementy logiki i teorii mnogości 

 
Przyjmujemy, Ŝe kaŜde zdanie logiczne jest albo prawdziwe albo fałszywe. Mając podane jakieś zdanie 
moŜemy utworzyć jego zaprzeczenie (będzie miało przeciwne wartości logiczne) i symbolicznie zapisać np. 
tak 

p

~

 (czytamy: nieprawda, Ŝe p). Mając co najmniej dwa zdania moŜemy utworzyć zdania złoŜone: 1) 

koniunkcja 

q

p

∧

 (czytamy: p i q), przyjmujemy, Ŝe takie zdanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba zdania 

są prawdziwe 2) 

alternatywa 

q

p

∨

 (czytamy: p lub q), przyjmujemy, Ŝe takie zdanie jest fałszywe tylko 

wtedy, gdy oba zadnia są fałszywe 3) 

implikacja 

q

p ⇒

 (czytamy: jeŜeli p to q), p nazywamy poprzednikiem 

zaś q następnikiem implikacji; zdanie to jest fałszywe tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik 
fałszywy (z prawdy nigdy nie moŜe wynikać fałsz) 4) 

równowaŜność: 

q

p

⇔

 (czytamy: p wtedy i tylko 

wtedy, gdy q), takie zdanie jest prawdziwe, gdy oba mają tę samą wartość logiczną 
Zaprzeczeniem koniunkcji dwóch zdań jest alternatywa zaprzeczeń, zaprzeczeniem alternatywy koniunkcja 
zaprzeczeń (są to tzw. 

prawa de Morgana). 

Nierówność np. 

2

1

≤

 jest równowaŜna koniunkcji 

2

1

2

1

=

∧

<

. A zatem jest ona prawdziwa, poniewaŜ 

prawdziwe jest jedno z dwóch zdań tej koniunkcji. 
Podwójna nierówność np. 

3

2

1

<

<

 jest równowaŜna koniunkcji 

3

2

2

1

<

∧

<

. 

Pojęcia pierwotne – takie, których się nie definiuje np. nie istnieje definicja zbioru. Ich własności są określone 
przez odpowiedni układ aksjomatów. Pozostałe pojęcia są definiowane za pomocą pojęć pierwotnych i innych 
juŜ zdefiniowanych 
Aksjomaty – zdania orzekające, których prawdziwości się nie weryfikuje (uznajemy, Ŝe są prawdziwe) np. w 
geometrii euklidesowej aksjomatem jest stwierdzenie, Ŝe przez punkt poza prostą przechodzi dokładnie jedna 
prosta do niej równoległa (jest to równowaŜne temu, Ŝe suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni). 
Pozostałe zdania orzekające nazywamy 

twierdzeniami i dowodzimy je korzystając z odpowiednich reguł 

dowodzenia, aksjomatów i twierdzeń juŜ wykazanych. Układy aksjomatów mogą być w zasadzie dowolne byle 
tylko spełniały pewne reguły np. nie moŜemy z nich wywieść dwóch zaprzeczających sobie twierdzeń. 
Twierdzenia mają postać 

q

p ⇒

 - p to 

załoŜenie, zaś q - teza, q jest warunkiem koniecznym dla p (jeŜeli 

zdanie 

p

q ⇒

jest fałszywe, to q nie jest 

warunkiem dostatecznym dla p, jeŜeli prawdziwe to jest 

dostatecznym), jeŜeli q nie jest spełnione, to p równieŜ 
Tw.: JeŜeli liczba naturalna jest podzielna przez 24, to jest podzielna przez 4 i 6 (podzielność przez 4 i 6 – 
warunek konieczny, ale nie dostateczny podzielności przez 24) 
Tw.: JeŜeli liczba naturalna jest podzielna przez 12, to jest podzielna przez 4 i 3 (podzielność przez 4 i 3 – 
warunek konieczny i dostateczny podzielności przez 12) 
JeŜeli obie implikacje 

q

p ⇒

 i 

p

q ⇒

 są prawdziwe, to często tworzymy z nich jedno twierdzenie postaci 

q

p

⇔

 

Twierdzenie 

q

p ⇒

 moŜemy dowodzić 

wprost (zdanie p przekształcamy tak długo, aŜ uzyskamy q) lub nie 

wprost (bierzemy wówczas zaprzeczenie implikacji czyli zdanie 

q

p

~

∧

 i staramy się uzyskać sprzeczność). 

MoŜemy równieŜ wykazać prawdziwość zdania 

p

q

~

~

⇒

, będzie to oznaczało, Ŝe 

q

p ⇒

 teŜ jest prawdziwe. 

Bardzo rozpowszechnionymi wyraŜeniami są 

formy zdaniowe, czyli wyraŜenia posiadające zmienne, mające 

tę własność, Ŝe jeŜeli w miejsce zmiennych podstawimy konkretne wartości, to uzyskamy zdanie logiczne. 
Formami zdaniowymi są np. równania, nierówności, układy równań. Bardziej złoŜone formy zdaniowe 
tworzymy uŜywając tych samych symboli logicznych jak w przypadku zdań logicznych. Układy równań często 
zapisuje się uŜywając klamry – zastępuje ona koniunkcję.  
Z formy zdaniowej moŜemy równieŜ utworzyć zdanie logiczne uŜywając 

kwantyfikatorów. Są dwa rodzaje: 

ogólny oznaczany symbolem 

∧

 lub 

∀

 (czytamy: dla kaŜdego) oraz 

szczegółowy oznaczany symbolem 

∨

 

lub 

∃

 (czytamy: istnieje). Np. wyraŜenie 

2

2

=

+

x

x

 jest formą zdaniową zmiennej x, zaś wyraŜenia 

2

2

=

+

∀

∈

x

x

R

x

 oraz 

2

2

=

+

∃

∈

x

x

R

x

 są zdaniami logicznymi. Pierwsze z nich, które czytamy: dla kaŜdego x 

naleŜącego do zbioru liczb rzeczywistych 

2

2

=

+

x

x

, jest fałszywe (bo np. dla 

0

=

x

 uzyskujemy fałsz), 

natomiast drugie, które czytamy: istnieje x naleŜący do zbioru liczb rzeczywistych taki, Ŝe 

2

2

=

+

x

x

, jest 

prawdziwe (prawdę uzyskujemy np. dla 

1

=

x

). 

Zaprzeczenia zdań z kwantyfikatorami tworzymy następująco: kwantyfikatory zmieniamy na przeciwne oraz 
bierzemy zaprzeczenie formy zdaniowej np. 

2

2

~

2

2

≠

+

⇔

=

+

∃

∀

∈

∈

x

x

x

x

R

x

R

x

. Zaprzeczeniem = jest 

≠

, 

∈

 jest 

∉

, < jest 

≥

, 

≤

 jest > itd. 

 
Teoria mnogości zajmuje się zbiorami. Zbiór i naleŜenie elementu do zbioru (oznaczane przez 

∈

) są 

pojęciami pierwotnymi. Zbiory i elementy moŜna sobie oznaczać dowolnie, ale często umowa jest taka, Ŝe 
elementy oznaczamy małymi literami zaś zbiory duŜymi. WyraŜenie 

A

a

∈

 czytamy: element a naleŜy do 

zbioru A, zaś 

A

a

∉

: element a nie naleŜy do zbioru A. 

Ilość elementów zbioru (

moc zbioru) oznaczamy rysując dwie kreski nad zbiorem czyli np.  A  - moc zbioru A 

Jeden zbiór moŜe 

zawierać się w drugim (oznaczamy to symbolem 

⊂

). WyraŜenie 

B

A

⊂

 czytamy: zbiór A 

jest zawarty w zbiorze B. Takie zawieranie oznacza, Ŝe wszystkie elementy ze zbioru A są jednocześnie w B, 
jest przy tym moŜliwe, Ŝe zbiór B posiada jeszcze jakieś inne elementy, które w A nie występują. Równość 
zbiorów (co zapisujemy 

B

A

=

) oznacza, Ŝe 

B

A

⊂

 i jednocześnie 

A

B

⊂

. Istnieje zbiór, który jest zawarty w 

kaŜdym: jest to 

zbiór pusty (nie ma Ŝadnych elementów) oznaczany symbolem 

∅

. KaŜdy zbiór jest zawarty 

sam w sobie (

A

A

⊂

). Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru elementów nazywamy 

zbiorem potęgowym i 

oznaczamy przez 

( )

A

P

 lub 

A

2  (drugie oznaczenie bierze się stąd, Ŝe 

A

A

2

2

=

). 

Kolejność elementów w zbiorze nie ma znaczenia. JeŜeli zapisujemy go wymieniając elementy (czynimy to 
uŜywając klamer), to np. 

{ }

b

a,

 oznacza to samo, co 

{ }

a

b,

. Umawiamy się teŜ, Ŝe powtarzanie elementów nie 

zmienia zawartości zbioru np. 

{

}

b

a

a ,

,

 oznacza to samo, co 

{ }

b

a,

. 

Często szczególnie większe zbiory zapisujemy za pomocą odpowiedniego warunku: 

( )

{

}

x

p

x

A

:

=

 (A jest 

zbiorem x-ów takich, Ŝe 

( )

x

p

 (podajemy warunek czyli formę zdaniową, którą elementy spełniają). Np. 

{

}

x

x

x

A

<

=

2

:

 (zbiór x-ów takich, Ŝe 

x

x

<

2

). Bardziej dokładnie powinno być napisane 

{

}

x

x

R

x

A

<

∈

=

2

:

 

lub 

{

}

x

x

R

x

x

A

<

∧

∈

=

2

:

. 

JeŜeli 

B

A

⊂

, to moŜemy utworzyć 

dopełnienie zbioru A w zbiorze B. Oznaczamy go przez A’ – składa się 

ono z wszystkich elementów, które naleŜą do B ale do A juŜ nie. 
Działania na zbiorach: 1) dodawanie (oznaczamy przez 

∪

): 

{

}

B

x

A

x

x

B

A

∈

∨

∈

=

∪

:

; suma zbiorów 

zawiera więc wszystkie elementy jednego i drugiego zbioru; własności: 

A

A

A

=

∪

, 

A

B

B

A

∪

=

∪

, 

A

A

=

∅

∪

, 

(

) (

)

C

B

A

C

B

A

C

B

A

∪

∪

=

∪

∪

=

∪

∪

 2) 

mnoŜenie (oznaczamy przez 

∩

): 

{

}

B

x

A

x

x

B

A

∈

∧

∈

=

∩

:

, iloczyn zbiorów (inaczej: część wspólna) składa się z wszystkich elementów, które 

naleŜą jednocześnie do obu zbiorów; własności: 

A

A

A

=

∩

, 

A

B

B

A

∩

=

∩

, 

∅

=

∩

'

A

A

, 

∅

=

∅

∩

A

, 

(

) (

)

C

B

A

C

B

A

C

B

A

∩

∩

=

∩

∩

=

∩

∩

 3) 

odejmowanie (oznaczamy przez \ ): 

{

}

B

x

A

x

x

B

A

∉

∧

∈

=

:

\

 

róŜnica zbiorów składa się z tych elementów, które naleŜą do pierwszego zbioru i nie naleŜą do drugiego; 
własności: 

∅

=

A

A \

, 

A

A

=

∅

\

, 

∅

=

∅

A

\

, jeŜeli 

B

A

≠

, to 

A

B

B

A

\

\

≠

 4) 

odejmowanie symetryczne 

(oznaczamy przez     ): 

(

) (

)

A

B

B

A

B

A

\

\

∪

=

; róŜnica symetryczna zbiorów składa się z wszystkich 

elementów obu zbiorów z wyłączeniem tych, które są wspólne 5) 

mnoŜenie kartezjańskie (oznaczamy przez 

×

): 

( )

{

}

B

y

A

x

y

x

B

A

∈

∧

∈

=

×

:

,

; iloczyn kartezjański zbiorów składa się z par elementów takich, Ŝe 

pierwszy element pary naleŜy do pierwszego zbioru, a drugi do drugiego; własności: 

∅

=

×

∅

=

∅

×

A

A

, jeŜeli 

B

A

≠

, to 

A

B

B

A

×

≠

×

 (wynika to z tego, Ŝe jeŜeli 

b

a

≠

, to 

( ) ( )

a

b

b

a

,

,

≠

) 

Przedziały liczbowe: 1) 

( ) {

}

b

x

a

R

x

b

a

<

<

∈

=

:

,

 2) 

(

{

}

b

x

a

R

x

b

a

≤

<

∈

=

:

,

 3) 

) {

}

b

x

a

R

x

b

a

<

≤

∈

=

:

,

  

4) 

{

}

b

x

a

R

x

b

a

≤

≤

∈

=

:

,

 5) 

(

) {

}

b

x

R

x

b

<

∈

=

∞

−

:

,

 6) 

(

{

}

b

x

R

x

b

≤

∈

=

∞

−

:

,

 7) 

) {

}

a

x

R

x

a

≥

∈

=

∞

:

,

 

8) 

( ) {

}

a

x

R

x

a

>

∈

=

∞

:

,

 9) 

(

)

R

=

∞

∞

−

,

. Przedziały 1, 5 i 8 nazywamy 

otwartymi, zaś 4, 6 i 7 domkniętymi. 

Przedziały moŜemy zaznaczać na 

osi liczbowej. JeŜeli koniec przedziału do niego naleŜy (nawias ostry), to 

odpowiadający mu punkt zamalowujemy, jeŜeli koniec nie naleŜy (nawias okrągły), to odpowiadający mu 
punkt bierzemy w otwarte kółko.