Logika i semiotyka Zbiory

Zbiory

Należą do teorii mnogości - pozwala konstruować pojęcia, relacje i przedmioty abstrakcyjne.

Posługując się pojęciem zbiór

Mówimy, że:

- dany zbiór stanowi enumerację elementów (wyliczenie)

- zbiór jest to ogół elementów, którym przysługuje pewna wspólna właściwość

Wyróżniamy dwa ujęcia zbiorów:

- kolektywny: oznacza ogół złożony z pewnych elementów (pewna całość złożona z przedmiotów będących jej częściami) np. park [drzewa będący ich częścią], książka [kartki będące jej częścią]. Jeżeli widzimy elementy jego części to możemy zobaczyć całość rzeczy.
Zbiór w sensie kolektywnym jest sam swoją najbardziej obszerną częścią i jednocześnie część części tego zbioru również jest częścią całego zbioru.

- dystrybutywny:

jest to zespół pewnych obiektów, które wyróżnia się w określony sposób. Obiekty należące do tego zbioru to jego elementy. Każdy zbiór w sensie dystrybutywnym różni się od własnych elementów. Najczęściej jest tak, że elementy tego zbioru są przedmiotami materialnymi natomiast zbiór w sensie dystrybutywnym nie jest przedmiotem materialnym. Te zbiory w sensie dystrybutywnym mają charakter niepostrzegalny. Żaden zbiór w znaczeniu dystrybutywnym nie jest swoim elementem.

np.: zbiór uczniów szkół podstawowych, zbiór imion żeńskich na literę A…

Podział zbiorów ze względu na ilość elementów:

Zbiór pusty - zbiór nie mający żadnych elementów

Zbiory skończone - 1-,2-,3- elementowy. Składa się ze skończonej liczby elementów
Zbiór pełny danej nauki - zbiór wszystkich przedmiotów badanych przez tą naukę.

np. Jeżeli mamy liczby naturalne badane przez arytmetykę to zbiorem pełnym liczb arytmetyki będą liczby naturalne

Przedmiot indywidualny - obiekty, które nie są zbiorami. Może stać się elementem zbioru.

Dany zbiór może zawsze być elementem innego zbioru

Zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami nosi nazwę RODZINY ZBIORÓW

Ze zbiorami wiążą się trzy zagadnienia:
1. Stosunki między zbiorami.

Stosunek identyczności - dwa zbiory są identyczne wtedy i tylko wtedy gdy mają te same elementy. Wszystkie elementy zbioru Z są elementami zbioru Y i odwrotnie.

z = y ≡ /\ ( x € z ≡ x € y )

(/\, \/ powinny mieć małe x u dołu)

Stosunek zawierania się zbiorów (inkluzja) - zbiór Z zawiera się w zbiorze Y wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru Z jest też elementem zbioru Y, czyli zbiór Z jest podzbiorem zbioru Y, a zbiór Y nadzbiorem zbioru Z

z = y ≡ /\ ( x € z → x € y )

Inkluzja właściwa - zachodzi, gdy każdy element zbioru pierwszego jest elementem zbioru drugiego.

Każdy element pierwszego zbioru jest też elementem zbioru drugiego i istnieją takie elementy, które nie są elementami pierwszego zbioru chociaż są elementami zbioru drugiego

(nie wiem czy powinien być tu wzór)

Stosunek krzyżowania się zbiorów - zbiór z krzyżuje się ze zbiorem y wtedy i tylko wtedy gdy istnieją takie obiekty, które są elementami obu zbiorów i istnieją takie obiekty, które są elementami tylko pierwszego zbioru i istnieją takie obiekty, które są elementami tylko drugiego zbioru.

\/ ( x € y /\ x € z) /\ \/ ( x € y /\ x € z) /\ \/ ( x € y /\ x € z)

(\/ - lub, /\ - i)

Stosunek wykluczania się zbiorów - dwa zbiory wykluczają się wtedy i tylko wtedy gdy nie mają wspólnych elementów.

/\ ( x € y /\ x € z) /\ /\ ( x € y /\ x € z) /\ \/ ( x € y /\ x € z)

2. Działania na zbiorach.

Suma dwóch zbiorów - dany element jest elementem sumy dwóch zbiorów gdy jest elementem chociażby jednego z tych zbiorów.

/\ ( x € z \/ y ≡ x € z U x € z x € y)

Iloczyn dwóch zbiorów - dany obiekt jest elementem iloczynem dwóch zbiorów jest wtedy i tylko wtedy gdy jest elementem obu zbiorów jednocześnie.

/\ ( x € z п y ≡ x € z п x € y)

(П jest to odwrócone U)

Różnica dwóch zbiorów - dany obiekt stanowi element różnicy dwóch zbiorów wtedy i tylko wtedy gdy jest elementem pierwszego zbioru a nie jest elementem zbioru drugiego. (np. różnica zbiorów studentów i sportowców jest wyznaczona przez studentów nie będących sportowcami)

/\ € z' ≡ ( x € \/ x €/ z)

( €/ - nie należy, nie zawiera się)

W odniesieniu do zbioru pełnego U możemy tworzyć tzw dopełnienie zbioru U, w którym jest on zawarty.
Czyli, dany obiekt jest elementem dopełnienia zbioru Z wtedy i tylko wtedy gdy jest on elementem zbioru pełnego U jest on elementem zbioru pełnego U a nie jest elementem zbioru Z.
Dopełnienie zbioru jest również zbiorem. Jego elementami są te elementy zbioru pełnego, które nie są elementami zbioru wyjściowego.

3. Twierdzenia rachunków zbiorów.

SUMA

Przypadek 1: Dla dowolnych trzech zbiorów jeżeli pierwszy z nich zawiera się w drugim i drugi z nich zawiera się w trzecim to pierwszy zbiór zawiera się też w trzecim zbiorze.

z С y /\ y С x → z С x

Np. jeżeli zbiór darowizn w zbiorze umów i zbiór umów zawiera się w zbiorze pism prawnych to zbiór darowizn zawiera się w zbiorze pism prawnych.

Przypadek 2: Twierdzenie odnoszące się do sumy zbiorów - każdy zbiór zawiera się w sumie która powstała z niego i dowolnego innego zbioru.

z С ( z U y)

Kolejność sumowania jest nieistotna.

Przypadek 3: Dla dowolnych trzech zbiorów, jeżeli pierwszy z nich zawiera się w trzecim i drugi z nich zawiera się w trzecim to suma pierwszego i trzeciego z nich zawiera się w zbiorze trzecim.

z С y /\ y С x → (z U x) С y

Np. jeżeli zbiór wróbli zawiera się w zbiorze ptaków i zbiór wron zawiera się w zbiorze ptaków

ILOCZYN

Przypadek 1: (Odnosi się do iloczynu) Iloczyn dwóch dowolnych wzorów zawiera się w pierwszym z nich i zawiera się też w drugim z nich.

( z /\ y ) С z

Przypadek 2: Iloczyn pierwszego i drugiego zbioru jest równoważny

z /\ (y /\ x )

Przypadek 3: Dla dowolnych trzech zbiorów. jeżeli pierwszy zbiór zawiera się w drugim i pierwszy zbiór zawiera się w trzecim to pierwszy zawiera się w iloczynie drugiego zbioru z trzecim.

( x С z) /\ (x С y) → x С ( z - y)

Np. jeżeli zbiór tenorów zalicza się w zbiorze pracowników operowych i zbiór tenorów zawiera się w zbiorze artystów to zbiór tenorów zawiera się w zbiorze artystów operowych.

RÓŻNICA

Przypadek 1: Różnica dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich i nie zawiera w drugim.

( x - y) С x

Np. Różnica zbiorów adwokatów i radców prawnych zawiera się w zbiorze adwokatów, którzy nie są radcami prawnymi

DOPEŁNIENIE ZBIORÓW

Przypadek 2: Suma dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczna ze zbiorem pełnym czyli uniwersum.

( z \/ z') = U

Przypadek 3: Iloczyn dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczny

( z \/ z') = ф

(ф to zbiór pusty)

---