Funkcje rzeczywiste
zmiennej rzeczywistej
Przyporz
ą
dkowanie f ka
ż
demu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego
elementu y ze zbioru Y nazywamy
funkcj
ą
odwzorowuj
ą
c
ą
zbiór X w zbiór Y,
czyli:
X
x
x
f
y
x
∈
=
→
),
(
Elementy x ze zbioru X nazywamy
argumentami
, a zbiór X –
dziedzin
ą
funkcji
Element y nale
żą
cy do zbioru Y taki,
ż
e y=f(x) dla pewnego x nale
żą
cego do
zbioru X nazywamy
warto
ś
ci
ą
funkcji
f dla argumentu x
Wykresem
funkcji
y=f(x)
na
płaszczy
ź
nie
z
prostok
ą
tnym
układem
współrz
ę
dnych Oxy nazywamy zbiór:
)}
(
:
)
,
{(
2
x
f
y
X
x
R
y
x
W
=
∧
∈
∈
=
Które krzywe przedstawiaj
ą
wykresy funkcji y=f(x) ?
x
x
x
x
y
y
y
y
A
D
C
B
Funkcja liniowa
R
x
b
ax
y
∈
+
=
,
,gdzie a i b s
ą
dowolnie ustalonymi liczbami rzeczywistymi
α
b
Miejsce zerowe -b/a ; a
≠
0
Warto
ść
funkcji dla x=0
K
ą
t nachylenia prostej do osi Ox; tg
α
=a
gdy:
a>0 funkcja rosn
ą
ca
a<0 funkcja malej
ą
ca
a=0 funkcja stała
Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy)
R
x
c
bx
ax
y
∈
+
+
=
,
2
a
a
b
x
a
y
4
)
2
(
2
∆
−
+
=
Ka
ż
dy trójmian kwadratowy mo
ż
emy przedstawi
ć
w postaci
kanonicznej:
gdzie wyró
ż
nik trójmianu:
ac
b
4
2
−
=
∆
Je
ż
eli :
∆
<0, to funkcja nie posiada pierwiastków
∆
=0, to funkcja posiada jeden pierwiastek, nazywany
pierwiastkiem podwójnym:
∆
>0, to funkcja posiada dwa ró
ż
ne pierwiastki:
a
b
x
o
2
−
=
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2
1
∆
+
−
=
∆
−
−
=
Je
ż
eli
∆≥
0 to funkcj
ę
kwadratow
ą
mo
ż
emy przedstawi
ć
w postaci
iloczynowej:
);
)(
(
2
1
x
x
x
x
a
y
−
−
=
Wykresem funkcji kwadratowej jest
parabola
o wierzchołku:
)
4
'
2
(
a
a
b
W
∆
−
−
,gdzie a,b,c s
ą
dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym a
≠
0
Wykres funkcji kwadratowej w zale
ż
no
ś
ci od a i
∆
a>0
∆
>0
a<0
∆
>0
a>0
∆
=0
a<0
∆
=0
a>0
∆
<0
a<0
∆
<0
Rozwi
ą
zywanie nierówno
ś
ci kwadratowych
0
16
9
2
3
1
>
+
−
x
x
2
1
4
1
16
9
3
1
4
1
=
∆
⇒
=
⋅
⋅
−
=
∆
4
3
2
1
2
3
2
1
3
1
2
1
1
=
⋅
=
⋅
−
=
x
4
9
2
1
2
3
2
3
3
1
2
1
2
=
⋅
=
⋅
+
=
x
)
;
(
)
;
(
4
9
4
3
+∞
∪
−∞
∈
x
czyli
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Wielomiany, funkcja pot
ę
gowa
gdzie współczynniki a
0
, a
1
…a
n
s
ą
dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym a
0
≠
0 oraz n jest
ustalon
ą
liczb
ą
ze zbioru N
o
=N
1
ν
{ 0 }
R
x
a
x
a
x
a
x
a
y
n
n
n
n
∈
+
+
+
+
=
−
−
,
....
1
1
1
0
Pierwiastkiem wielomianu
okre
ś
lamy miejsce zerowe tego wielomianu tzn. tak
ą
liczb
ę
rzeczywist
ą
,
ż
e W
n
(a)=0
Twierdzenia o pierwiastkach wielomianu:
Wielomian stopnia n ma co najwy
ż
ej n pierwiastków
Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek
Wielomian stopnia parzystego mo
ż
e nie mie
ć
ani jednego pierwiastka rzeczywistego
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez
dwumian (x-a) – twierdzenie Bezout’a
Je
ż
eli a jest pierwiastkiem całkowitym wielomianu o współczynnikach całkowitych, to a jest
podzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu
Dzielnie wielomianów
)
16
(
:
)
8
5
,
23
5
,
14
(
2
3
−
−
−
−
x
x
x
x
2
x
2
3
16x
x
+
−
x
x
5
,
23
2
2
3
−
x
2
3
+
x
x
24
2
2
3
+
−
8
2
1
−
x
2
1
+
8
2
1
+
−
x
0
Rozwi
ą
zywanie nierówno
ś
ci
0
8
5
,
23
5
,
14
2
3
<
−
−
−
x
x
x
0
)
16
)(
(
2
1
2
3
2
<
−
+
+
x
x
x
0
2
1
2
3
2
=
+
+
x
x
2
1
4
1
2
1
2
2
3
1
4
)
(
=
∆
⇒
=
⋅
⋅
−
=
∆
2
1
2
1
2
3
2
2
1
2
3
1
2
1
2
−
=
+
−
=
−
=
−
−
=
x
x
0
)
16
)(
)(
1
(
2
1
<
−
+
+
x
x
x
-
∞
…
-1
…….
-½
……
16
….
∞
x+1
-
0
+
+
+
+
+
x+½
-
-
-
0
+
+
+
x-16
-
-
-
-
-
0
+
-
0
+
0
-
0
+
)
16
;
(
)
1
;
(
2
1
−
∪
−
−∞
∈
x
Z przeprowadzonego wcze
ś
niej dzielenia wiemy,
ż
e
Trójmian kwadratowy przedstawiamy w postaci iloczynowej
St
ą
d postaci iloczynowa wielomianu:
Budujemy siatk
ę
znaków
Czyli rozwi
ą
zaniem nierówno
ś
ci jest:
0
7
6
3
3
2
3
4
2
3
≥
−
+
−
−
+
x
x
x
x
x
x
Dla mianownika:
0
)
7
6
(
7
6
2
2
2
3
4
≠
−
+
=
−
+
x
x
x
x
x
x
8
64
)
7
(
1
4
6
2
=
∆
⇒
=
−
⋅
⋅
−
=
∆
1
2
8
6
7
2
8
6
2
1
=
+
−
=
−
=
−
−
=
x
x
Posta
ć
iloczynowa mianownika:
0
)
1
)(
7
(
2
≠
−
+
x
x
x
Czyli:
1
;
7
;
0
≠
−
≠
≠
x
x
x
Dla licznika:
Całkowite podzielniki wyrazu wolnego: -3; -1; 1; 3
Sprawdzamy dla której wielko
ś
ci wielomian z licznika przyjmuje warto
ść
zero:
12
3
)
3
(
3
)
3
(
)
3
(
)
3
(
2
3
−
=
−
−
−
−
+
−
=
−
W
0
3
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
3
=
−
−
−
−
+
−
=
−
W
Wykonujemy dzielenie wielomianu przez dwumian:
)
1
(
:
)
3
3
(
2
3
+
−
−
+
x
x
x
x
2
x
2
3
x
x
−
−
3
3
0
−
−
x
3
−
3
3
+
x
0
Licznik mo
ż
emy zapisa
ć
w postaci:
)
1
)(
3
(
2
+
−
x
x
Korzystaj
ą
c ze wzoru skróconego mno
ż
enia :
)
1
)(
3
)(
3
(
+
−
+
=
x
x
x
0
)
1
)(
7
(
)
1
)(
3
)(
3
(
2
≥
−
+
+
−
+
x
x
x
x
x
x
Przyjmuje
zawsze warto
ś
ci
dodatnie za
wyj
ą
tkiem zera
-
∞
…
-7
……
…..
-1
……
0
….
1
….
….
∞
x+
X
X
X
x-
X
X
X
x+1
X
X
X
x+7
X
X
X
x-1
X
X
X
X
X
X
3
−
3
3
3
Siatka znaków
Rozwi
ą
zaniem nierówno
ś
ci jest zbiór:
)
;
3
)
1
;
0
(
)
0
;
1
3
;
7
(
∞
〈
∪
∪
〈
−
∪
〉
−
−
∈
x
+
-
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
0
0
0
Funkcja wykładnicza
a jest stał
ą
spełniaj
ą
c
ą
warunek:
R
x
a
y
x
∈
=
,
1
,
0
≠
>
a
a
•
funkcja wykładnicza przyjmuje tylko warto
ś
ci wi
ę
ksze od zera
•
dla x=0 niezale
ż
nie od warto
ś
ci a przyjmuje warto
ść
1
•
posiada asymptot
ę
poziom
ą
y=0
Wykres funkcji wykładniczej w zale
ż
no
ś
ci od a
1
,
>
=
a
a
y
x
1
0
,
<
<
=
a
a
y
x
1
1
Funkcja logarytmiczna
+
∈
=
R
x
x
y
a
,
log
1
,
0
≠
>
a
a
a jest stał
ą
spełniaj
ą
c
ą
warunek:
Przypomnienie wiadomo
ś
ci:
b
a
w
b
w
a
=
⇔
=
log
•Własno
ś
ci logarytmu:
log
a
b + log
a
c = log
a
bc
log
a
b – log
a
c = log
a
b/c
nlog
a
b = log
a
b
n
0
,
1
,
0
>
≠
>
b
a
a
Wykres funkcji logarytmicznej w zale
ż
no
ś
ci od a
1
,
log
>
=
a
x
y
a
1
0
,
log
<
<
=
a
x
y
a
•
dziedzin
ą
funkcji logarytmicznej s
ą
wszystkie liczby dodatnie
•
dla x=1 niezale
ż
nie od warto
ś
ci a przyjmuje warto
ść
0
•
posiada asymptot
ę
pionow
ą
prawostronn
ą
x=0
•Przykłady:
log
2
8=3 , 2
3
=8
log
5
0,2=-1, 5
-1
=0,2
log
8
2=1/3, 8
1/3
=2
Przykładowe funkcje wykładnicze i logarytmiczne
x
y
3
log
=
x
y
2
1
log
=
x
y
3
=
x
y
)
(
2
1
=
-2
-1
1
2
1
2
3
4
-2
-1
1
2
2
4
6
8
1
2
3
4
5
-2
-1
1
2
1
2
3
4
5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
A
B
C
D
Funkcje trygonometryczne k
ą
ta ostrego:
a
b
c
ß
α
a
b
ctg
b
a
tg
c
b
c
a
=
=
=
=
α
α
α
α
;
;
cos
;
sin
Powy
ż
sze okre
ś
lenia dotycz
ą
tylko k
ą
ta ostrego w trójk
ą
cie prostok
ą
tnym
Korzystaj
ą
c z tych definicji mo
ż
na wyznaczy
ć
warto
ś
ci funkcji trygonometrycznych dla k
ą
tów:
α
sin
α
cos
α
tg
α
ctg
α
30
o
45
o
60
o
3
3
3
3
3
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
Funkcje trygonometryczne k
ą
ta dowolnego:
α
r
q
p
A=(p;q)
q
p
ctg
p
q
tg
r
p
r
q
=
=
=
=
α
α
α
α
;
;
cos
;
sin
2
2
q
p
r
czym
przy
+
=
Korzystaj
ą
c z tych definicji mo
ż
na okre
ś
li
ć
znaki i wyznaczy
ć
warto
ś
ci funkcji trygonometrycznych:
0
o
…..
90
o
…..
180
o
…...
270
o
…..
360
o
sin
α
0
+
1
+
0
-
-1
-
0
cos
α
1
+
0
-
-1
-
0
+
1
tg
α
0
+
nie
istnieje
-
0
+
nie
istnieje
-
0
ctg
α
nie
istnieje
+
0
-
nie
istnieje
+
0
-
nie
istnieje
0
…..
π
/2
…..
π
…..
3/2
π
…..
2
π
α
α
f(
α
)
f(
α
)
Wykres funkcji y= sinx
Wykres funkcji y= cosx
π
/2
2
π
3/2
π
π
-
π
/2
-
π
-3/2
π
-2
π
-1
1
-1
1
2
π
3/2
π
π
π
/2
-
π
/2
-
π
-3/2
π
-2
π
Wykres funkcji y= tgx
Wykres funkcji y= ctgx
π
/2
3/2
π
π
-
π
/2
-
π
-3/2
π
2
π
-
π
-
π
/2
π
/2
π
3/2
π
Ci
ą
giem niesko
ń
czonym
nazywamy ka
ż
d
ą
funkcj
ę
f okre
ś
lon
ą
na
zbiorze N liczb naturalnych
Warto
ść
f(n) tej funkcji f dla argumentu n nale
żą
cego do zbioru
liczb naturalnych nazywamy
n-tym wyrazem ci
ą
gu (wyrazem
ogólnym)
f(n)=a
n
Klasyfikacja ci
ą
gów ze wzgl
ę
du na istnienie granicy:
Ci
ą
gi niesko
ń
czone
Ci
ą
gi zbie
ż
ne
Ci
ą
gi rozbie
ż
ne
Ci
ą
gi posiadaj
ą
ce granice
w niesko
ń
czono
ś
ci
Ci
ą
gi nie posiadaj
ą
ce
ż
adnej granicy
Wybrane twierdzenia wykorzystywane przy obliczaniu granic ci
ą
gów
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
∞
→
∞
→
∞
→
±
=
±
lim
lim
)
(
lim
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
∞
→
∞
→
∞
→
⋅
=
⋅
lim
lim
)
(
lim
0
;
lim
lim
)
(
lim
≠
=
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
a
b
a
n
n
n
b
n
n
b
n
n
a
a
∞
→
∞
→
∞
→
=
lim
lim
lim
Przykłady:
n
n
n
n
a
C
Ca
∞
→
∞
→
=
lim
lim
0
1
lim
=
∞
→
n
n
0
3
lim
3
=
−
∞
→
n
n
0
6
1
lim
=
∞
→
n
n
∞
=
+
∞
→
)
1
3
(
lim n
n
−∞
=
−
∞
→
)
(
lim
4
2
1
3
n
n
n
∞
=
+
∞
→
1
2
7
lim
n
n
istnieje
nie
granica
n
n
=
−
∞
→
)
1
(
lim
Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów
=
+
+
−
−
+
∞
→
8
3
1
4
lim
2
2
n
n
n
n
n
∞
−
∞
Symbol
nieoznaczony
Symbole nieoznaczone mog
ą
by
ć
postaci:
]
1
[
];
[
];
0
[
];
[
];
[
];
0
[
];
[
0
0
0
0
∞
∞
∞
∞
∞
⋅
∞
−
∞
Granice takich ci
ą
gów wyznaczamy poprzez pewne przekształcenia odpowiednio dobrane do postaci ci
ą
gów
jak i rodzaju symbolu nieoznaczonego
=
+
+
−
−
+
∞
→
2
2
2
2
2
2
2
2
8
3
1
4
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
+
+
−
−
+
∞
→
2
2
8
1
3
1
4
1
lim
n
n
n
n
n
-1/3
0
0
0
0
=
−
+
+
−
∞
→
2
3
1
1
2
4
lim
n
n
n
n
=
−
+
+
−
∞
→
2
2
2
2
2
2
3
1
1
2
4
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
−
−
+
−
∞
→
1
1
1
2
4
lim
2
2
n
n
n
n
n
0
0
0
-
∞
=
−
−
∞
→
6
5
1
lim
n
n
n
n
=
−
−
∞
→
6
6
6
6
6
5
1
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
=
−
−
∞
→
1
1
1
1
lim
5
6
n
n
n
n
0
1
0
=
−
∞
=
−
+
−
∞
→
)
4
30
32
16
(
lim
2
n
n
n
n
=
∞
−
∞
]
[
Wyra
ż
enie jednocze
ś
nie mno
ż
ymy i
dzielimy stosuj
ą
c wzór skróconego
mno
ż
enia:
a
2
-b
2
=(a-b)(a+b)
⋅
−
+
−
=
∞
→
)
4
30
32
16
(
lim
2
n
n
n
n
=
+
+
−
+
+
−
n
n
n
n
n
n
4
30
32
16
4
30
32
16
2
2
∞
→
=
n
lim
2
2
16
30
32
16
n
n
n
−
+
−
)
4
30
32
16
(
2
n
n
n
+
+
−
=
+
+
−
+
−
=
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
4
30
32
16
30
32
lim
2
2
2
2
=
+
+
−
+
−
=
∞
→
4
30
32
16
30
32
lim
2
n
n
n
n
4
8
32
4
16
32
−
=
−
=
+
−
∞
→
n
lim
=
+
+
n
n
n
n
4
3
2
n
n
n
n
1
)
4
3
2
(
+
+
∞
0
]
[
0
∞
=
W tym przypadku stosujemy
twierdzenie o trzech ci
ą
gach
Je
ż
eli wyrazy ogólne trzech ci
ą
gów spełniaj
ą
nierówno
ść
:
a
n
≤
b
n
≤
c
n
i je
ż
eli ci
ą
gi a
n
i c
n
maj
ą
wspóln
ą
granic
ę
Q,
to ci
ą
g b
n
ma t
ę
sam
ą
granic
ę
Q
Q
Q
≤
+
+
≤
n
n
n
n
4
3
2
n
n
4
n
n
n
n
4
4
4
+
+
4
n
n
4
3
⋅
n
n
n
4
3
⋅
4
4
∞
→
n
lim
=
+
+
n
n
n
n
4
3
2
4
...
71828
,
2
)
1
1
(
lim
≈
=
+
∞
→
e
n
n
n
LICZBA EULERA
m
m
m
1
0
)
1
(
lim
+
=
→
Jest podstaw
ą
logarytmu naturalnego log
e
x=lnx
=
+
+
∞
→
n
n
n
n
3
5
lim
=
+
+
−
+
∞
→
n
n
n
n
3
5
3
3
lim
=
+
+
+
+
∞
→
n
n
n
n
n
3
2
3
3
lim
=
+
+
∞
→
n
n
n
2
3
1
1
lim
Χ
⋅
+
=
2
3
n
n
3
2
+
=
Χ
⇒
n
n
=
+
+
=
+
⋅
+
∞
→
3
2
2
3
2
3
1
1
lim
n
n
n
n
n
=
+
∞
→
3
2
lim
n
n
n
e
2
e
e
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
materialy z zajec 2 id 286506 Nieznany
materialy z zajec 5 id 286508 Nieznany
Materialy pomocnicze 4 id 28534 Nieznany
Materialy oprobowanie(1) id 285 Nieznany
Materialy wybuchowe 2 id 285462 Nieznany
materialy metalowe id 286273 Nieznany
Materialy 5 GLIKOLIZA id 767132 Nieznany
IMIR materialy prad id 211874 Nieznany
Materialy pomocn id 286338 Nieznany
Material teoretyczny id 284375 Nieznany
materialy szkoleniowe 2 id 2863 Nieznany
materialy 10 id 284528 Nieznany
Materialy Pomocnicze (1) id 285 Nieznany
materialy korespondencja id 28 Nieznany
program zajec id 395592 Nieznany
Materialy 8 FERMENTACJI id 7671 Nieznany
Materialy pomocnicze id 285330 Nieznany
Program zajec 2 id 395593 Nieznany
4 materialy pomocnicze id 37744 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron