Projekt ”Społeczeństwo wykształcone- największy kapitał współczesnego kraju” jest wspó

ł

finansowany ze środków

Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

KURS VI: Standard 2.1.

Po ukończeniu tego kursu będziesz znał:

I.

Treść standardu 2.1

Prawa i metody statyki stosowane do analizowania p

ł

askich i przestrzennych uk

ł

adów si

ł

I.

Treści kształcenia objęte standardem.

Po realizacji tego kursu powtórzysz wiadomo

ś

ci wymagane na egzaminie potwierdzaj

ą

cym kwalifikacje zawodowe z

zakresu:

-

Poj

ę

cie siły

-

Rodzaje sił

-

Rodzaje układów sił

-

Warunki równowagi dla płaskiego zbie

ż

nego układu sił

-

Moment siły wzgl

ę

dem punktu

-

Warunki równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił

Siła jako wektor

Siła

to mechaniczne

oddziaływanie
jednego ciała na
drugie

....

Kierunek

(linia

działania)

zwrot

Punkt

przyło

ż

enia

Warto

ść

(moduł)

Cechy siły:

Nacisk stołu na r

ę

k

ę

.

Nacisk r

ę

ki na stół.

F

SIŁA I JEJ

WŁA

Ś

CIWO

Ś

CI

SIŁA I JEJ

WŁA

Ś

CIWO

Ś

CI

Jednostka warto

ś

ci siły

W układzie SI warto

ść

siły wyra

ż

ana jest w

niutonach

(symbol

N

).

2

1

1

1

s

m

kg

N

⋅

=

Jeden niuton to warto

ść

siły, która masie jednego kilograma

nadaje przy

ś

pieszenie jednego metra na sekund

ę

do kwadratu.

Pochodne jednostki:

kiloniuton

meganiuton

N

kN

3

10

1

1

⋅

=

N

MN

6

10

1

1

⋅

=

Składanie sił.

Wielobok sił:

Równoległobok sił:

O

F

1

F

2

F

3

F

1

F

2

F

3

S

R

R

- wypadkowa układu sił, która zast

ę

puje działanie tego układu.

S

- suma układu sił

O

F

1

F

2

F

3

R

F

1

F

2

F

3

S

F

12

Rozkład siły na składowe

...o kierunkach prostych l, m

m

l

F

F

m

F

l

F

l

, F

m

-

składowe siły

F

na

zadanych kierunkach l, m.

...o kierunkach osi x, y

y

x

F

F

x

F

y

F

x

, F

y

-

składowe siły

F

na

osiach x, y.

Podział sił

SIŁY MECHANICZNE

WEWN

Ę

TRZNE

ZEWN

Ę

TRZNE

CZYNNE

REAKCJE

MI

Ę

DZY

CZ

Ą

STE

CZKOWE

NAPI

Ę

CIA

Siły zewn

ę

trzne

Siły te

s

ą

wynikiem działania ciał znajduj

ą

cych si

ę

na zewn

ą

trz

danej bryły (ciała).

Siły czynne d

ążą

do

wywołania ruchu lub jego

zmiany.

Siły reakcji (bierne)

przeciwdziałaj

ą

ruchowi i

wyst

ę

puj

ą

w miejscu podparcia

ciała w chwili przyło

ż

enia sił

czynnych oraz znikaj

ą

po

odci

ąż

eniu ciała.

Reakcje

Siły zewn

ę

trzne bierne - ich cechy zale

żą

od rodzaju podpory.

Cechy reakcji

:

punkt przyło

ż

enia

- w punkcie

podparcia

kierunek:

w stałych podporach nieznany,

wprowadza si

ę

reakcje składowe

R

x

i R

y

w ruchomych podporach

prostopadły do powierzchni
podpieraj

ą

cej

w wiotkich podporach wzdłu

ż

osi

podpory

warto

ść

- otrzymana z oblicze

ń

zwrot

- na schemacie przyj

ę

ty

dowolnie, ostatecznie potwierdzony
obliczeniami warto

ś

ci.

uskok

przegub

ło

ż

ysko

stałe

Podpory:

stałe

ruchome

powierzchnia
gładka

ostrze,
pryzma

ło

ż

ysko

ruchome

wiotkie

sznury, liny, ła

ń

cuchy, pr

ę

ty.

R

y

R

x

R

y

R

y

R

x

R

x

R

R

R

R

1

R

2

Sił wewn

ę

trzne

Siły te

wyst

ę

puj

ą

wewn

ą

trz ciała.

Siły mi

ę

dzycz

ą

steczkowe

s

ą

siłami wzajemnego

oddziaływania cz

ą

steczek

powoduj

ą

cymi odpowiednie

fizyko-mechaniczne

wła

ś

ciwo

ś

ci materiału ciała.

Siły napi

ę

cia powstaj

ą

wewn

ą

trz ciała na skutek

działania sił zewn

ę

trznych,

wyst

ę

puj

ą

parami i wzajemnie

równowa

żą

si

ę

.

zewn

ę

trzna

czynna

zewn

ę

trzna

bierna

(reakcja)

Układ sił

Układ sił to zbiór sił czynnych i biernych (reakcji) działaj

ą

cych

jednocze

ś

nie na ciało oswobodzone

.

Oswobodzi

ć

ciało

tzn.

usun

ąć

podpory (wi

ę

zy), a w ich miejsce

wprowadzi

ć

reakcje.

Q

A

B

Ciało nieswobodne.

Q

A

B

R

A

R

B

Ciało oswobodzone.

Podział układów sił.

UKŁADY SIŁ

PŁASKIE

PRZESTRZENNE

ZBIE

ś

NE

RÓWNOLEGŁE

DOWOLNE

DOWOLNE

ZBIE

ś

NE

RÓWNOLEGŁE

Płaskie układy sił.

A

C

B

Q

R

C

R

A

Zbie

ż

ny układ sił

-

zbiór

sił (w jednej płaszczy

ź

nie),

których kierunki przecinaj

ą

si

ę

w jednym punkcie (punkcie
zbie

ż

no

ś

ci).

A

B

F

1

F

2

F

3

R

A

R

B

Równoległy układ sił

- zbiór sił (w jednej płaszczy

ź

nie),

których linie działania s

ą

do siebie równoległe, b

ą

d

ź

tworz

ą

jedn

ą

prost

ą

.

Płaskie układy sił.

Płaskie układy sił.

A

B

F

1

F

2

F

3

R

A

R

B

Dowolny układ sił

- zbiór sił (w jednej płaszczy

ź

nie) o

ró

ż

nych kierunkach działania.

Przestrzenne układy sił.

Układ sił, których linie działania nie le

żą

w jednej płaszczy

ź

nie, lecz

s

ą

rozmieszczone w przestrzeni, nazywamy przestrzennym.

z

y

x

Q

R

1

R

2

R

3

Zbie

ż

ny układ sił

-

kierunki działania sił przecinaj

ą

si

ę

w

jednym punkcie (punkcie zbie

ż

no

ś

ci).

Przestrzenne układy sił.

Układ sił, których linie działania nie le

żą

w jednej płaszczy

ź

nie, lecz

s

ą

rozmieszczone w przestrzeni, nazywamy przestrzennym.

R

1

R

2

R

3

R

4

Q

Równoległy układ sił

-

kierunki działania sił s

ą

do siebie

równoległe.

Przestrzenne układy sił.

Układ sił, których linie działania nie le

żą

w jednej płaszczy

ź

nie, lecz

s

ą

rozmieszczone w przestrzeni, nazywamy przestrzennym.

z

y

x

Q

1

Q

2

R

1

R

2

Dowolny układ sił

-

kierunki działania sił s

ą

dowolnie

rozmieszczone w przestrzeni.

Rzut siły na o

ś

.

m

F

F

m

α

α

Rzutem siły na o

ś

m

(F

m

)

nazywamy wektor

ł

ą

cz

ą

cy rzut pocz

ą

tku z rzutem

ko

ń

ca wektora danej siły na t

ę

o

ś

.

α

cos

⋅

=

F

F

m

Warto

ść

F

m

:

Szczególne przypadki rzutów siły na o

ś

.

m

F

F

m

F

F

m

=

m

F

F

m

F

F

m

−

=

α

cos

⋅

=

F

F

m

m

F

F

m

α

F

m

m

α

F

F

m

α

cos

⋅

−

=

F

F

m

m

F

F

0

=

m

F

uwzgl

ę

dniaj

ą

c znaki (+,-)

rzutów

F

x

i

F

y

okre

ś

la si

ę

,

w stron

ę

której

ć

wiartki

układu x,y zwrócona jest
siła

F

.

Rzut siły na osie x, y.

O

F

F

x

X

Y

F

y

α

Warto

ść

rzutów siły

F

na osie x i y:

α

α

sin

cos

⋅

=

⋅

=

F

F

F

F

y

x

Rzuty siły F na osie x i y okre

ś

laj

ą

jednoznacznie jej:

warto

ść

:

kierunek:

zwrot:

2

2

y

x

F

F

F

+

=

2

2

cos

y

x

x

F

F

F

+

=

α

Twierdzenie o sumie rzutów sił.

X

Układ sił

F

1

F

2

F

3

F

4

S

Suma rzutów dowolnej liczby sił na o

ś

jest równa rzutowi

sumy tych sił na t

ę

sam

ą

o

ś

.

ny

y

y

y

y

nx

x

x

x

x

F

F

F

F

S

F

F

F

F

S

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

K

K

3

2

1

3

2

1

X

O

F

1

F

2

F

3

Y

F

4

S

F

1x

F

2x

F

3x

F

4x

S

x

F

1y

F

2y

F

3y

F

4y

S

y

Wypadkowa płaskiego zbie

ż

nego

układu sił.

Istniej

ą

dwie metody wyznaczania wypadkowej płaskiego

zbie

ż

nego układu sił:

metoda analityczna

metoda wykre

ś

lna

W metodzie wykre

ś

lnej mo

ż

na posłu

ż

y

ć

si

ę

wielobokiem

lub

równoległobokiem sił.

Oba sposoby zostały przedstawione na

slajdzie „Składanie sił” w dziale „Siła i jej własno

ś

ci”.

Składanie sił.

Wielobok sił:

Równoległobok sił:

O

F

1

F

2

F

3

F

1

F

2

F

3

S

R

S

- suma układu sił

R

- wypadkowa układu sił, która zast

ę

puje działanie tego układu.

O

F

1

F

2

F

3

R

F

1

F

2

F

3

S

F

12

Analityczna metoda

wyznaczania wypadkowej płaskiego zbie

ż

nego

układu sił.

X

F

1

F

2

O

Y

F

3

Kolejno

ść

działa

ń

:

przez punkt zbie

ż

no

ś

ci O poprowadzi

ć

osie x,y

obliczy

ć

warto

ść

rzutów wypadkowej

na osie x,y

obliczy

ć

warto

ść

wypadkowej

R

okre

ś

li

ć

kierunek wypadkowej

R, odczytuj

ą

c z

tablic warto

ść

k

ą

ta

okre

ś

li

ć

zwrot wypadkowej

R według znaków jej

rzutów R

x

i R

y.

3

2

2

1

1

2

2

1

1

sin

sin

cos

cos

F

F

F

R

F

F

R

Y

X

−

⋅

+

⋅

=

⋅

−

⋅

=

α

α

α

α

2

2

Y

X

R

R

R

+

=

α

R

R

X

=

α

cos

R

α

1

α

2

α

Analityczne warunki równowagi

płaskiego zbie

ż

nego układu sił.

Płaski zbie

ż

ny układ sił jest w równowadze, je

ż

eli punkt materialny

b

ę

d

ą

cy pod jego działaniem pozostaje w spoczynku tzn.

wypadkowa R tego układu ma warto

ść

0.

R

X

= 0

R

Y

= 0

Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na o

ś

x jest równa zeru.

Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na o

ś

y jest równa zeru.

0

sin

sin

sin

0

cos

cos

cos

3

3

2

2

1

1

4

3

3

2

2

1

1

=

⋅

−

⋅

+

⋅

=

−

⋅

+

⋅

+

⋅

−

α

α

α

α

α

α

F

F

F

F

F

F

F

Y

X

O

F

1

F

2

F

3

F

4

1

α

2

α

3

α

Zrównowa

ż

ony

układ sił.

Wykre

ś

lny warunek równowagi

płaskiego zbie

ż

nego układu sił.

Płaski zbie

ż

ny układ sił jest w równowadze, je

ż

eli

wielobok sił tego układu jest zamkni

ę

ty

.

Zamkni

ę

ty

wielobok sił.

F

1

F

2

F

3

F

4

Y

X

O

F

1

F

2

F

3

F

4

1

α

2

α

3

α

Zrównowa

ż

ony

układ sił.

Moment siły

wzgl

ę

dem

punktu

Moment siły

wzgl

ę

dem

punktu

Dana jest Siła F działająca wzdłuż prostej L oraz dowolny punkt O.

Momentem siły F wzgl

ę

dem punktu

(bieguna) O nazywamy iloczyn warto

ś

ci

tej siły przez jej rami

ę

, czyli odległo

ść

obranego punktu od linii działania danej
siły

Mo=F*r

Moment uważamy za dodatni, jeżeli siła dąży do obrócenia swego ramienia

r

dookoła

bieguna

O

w kierunku niezgodnym z ruchem wskazówek zegara

( lewo).

Jeżeli siła dąży do obrócenia swego ramienia

r

w kierunku zgodnym z ruchem

wskazówek zegara,

(w prawo)

moment uważany jest za ujemny.

Moment siły względem punktu jest wektorem i

Moment siły względem punktu jest wektorem i

posiada wszystkie jego cechy.

posiada wszystkie jego cechy.

Wartość- Równą iloczynowi (F*r) wartości siły przez jej ramie.

Kierunek-Prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej
przez linię działania siły i biegun.

Zwrot- Przyjmujemy zgodnie z regułą śruby prawej.

Przyjmujemy w płaszczyźnie trzy siły, których wartości wynoszą:

F1=100 N F2=200 N F3=150 N . Następnie obieramy w płaszczyźnie punkt O, który
uważamy za biegun momentu.

Długości ramion wynoszą r1=0,015 m; r2=0,015 m; r3=0,02 m;

Obliczamy momenty tych sił (Mo=F*r)

które wynoszą

Mo1=100N*0,015m=1,5 N*m

Mo2=200N*0,015m=3 N*m

Mo3= -150N*0,02m=-3 N*m

Tworzymy sumę tych momentów

M

0

=M

01

+M

02

+M

03

Mo=1,5N*m+3N*m-3N*m=1,5N*m

Znaleziony moment nazywamy

Znaleziony moment nazywamy

MOMENTEM GŁÓWNYM

MOMENTEM GŁÓWNYM

Momentem głównym dowolnego układu sił na płaszczyźnie względem przyjętego
bieguna O nazywamy sumę momentów poszczególnych sił tego układu względem
tego samego bieguna O.

M

M

o

o

=M

=M

o1

o1

+M

+M

o2

o2

+M

+M

o3

o3

...

...

Moment wypadkowej R dowolnej liczby sił zbieżnych względem jakie

Moment wypadkowej R dowolnej liczby sił zbieżnych względem jakie

goś bieguna

goś bieguna

O jest równy sumie momentów poszczególnych sił składowych względ

O jest równy sumie momentów poszczególnych sił składowych względ

em tego

em tego

samego bieguna.

samego bieguna.

MoR

MoR

=Mo1+Mo2+Mo3...+

=Mo1+Mo2+Mo3...+

Mon

Mon

Suma momentu wszystkich sił układu zbieżnego znajdującego się w

Suma momentu wszystkich sił układu zbieżnego znajdującego się w

równowadze jest równa zeru dla każdego dowolnie obranego bieguna

równowadze jest równa zeru dla każdego dowolnie obranego bieguna

.

.

Analityczne warunki równowagi

płaskiego dowolnego układu sił.

Płaski dowolny układ sił jest w równowadze, je

ż

eli punkt materialny

b

ę

d

ą

cy pod jego działaniem pozostaje w spoczynku tzn. wypadkowa R tego

układu ma warto

ść

0 i moment główny wszystkich sił wzgl

ę

dem obranego

bieguna jest równy 0.

Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na o

ś

x jest równa zeru.

Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na o

ś

y jest równa zeru.

Suma momentów wszystkich sił wzgl

ę

dem obranego bieguna jest równa zeru.

∑

=

+

+

=

0

...

2

1

F

F

F

x

x

ix

∑

=

+

+

=

0

...

2

1

F

F

F

y

y

iy

∑

=

+

+

=

0

...

2

1

M

M

M

o

o

io

Zadania

Zadania

Przykłady zada

ń

z egzaminu

Przykłady zada

ń

z egzaminu

Zadanie 1

Y

X

O

F

4

F

3

F

2

F

1

2

β

3

α

4

β

Równania, które s

ą

zapisanymi warunkami

równowagi danego układu sił.

Rzuty na o

ś

x:

0

sin

cos

sin

4

4

3

3

2

2

1

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

β

α

β

F

F

F

F

Rzuty na o

ś

y:

0

cos

sin

cos

4

4

3

3

2

2

=

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

β

α

β

F

F

F

Y

X

O

F

1

F

2

F

3

2

α

3

α

Zadanie 2

Rzuty wypadkowej R układu sił na osie :

3

3

2

2

1

cos

cos

α

α

⋅

+

⋅

+

−

=

F

F

F

R

X

3

3

2

2

sin

sin

α

α

⋅

−

⋅

=

F

F

R

Y

Zadanie 3

poprawnie przedstawione reakcje w podporach

A

B

G

R

A

R

BY

R

BX

A

B

G

R

A

R

B

1.

2.

Zadanie 4

Dorysuj reakcje w podporach.

F

1

F

2

A

B

A

B

G

Odpowied

ź

do zad. 4

Czy tak przedstawiłe

ś

reakcje w podporach?

A

B

G

R

A

R

B

F

1

F

2

A

B

R

AX

R

AY

R

B

R

A

R

B=25N

F=100N

b

l=8m

Układ b

ę

dzie w równowadze gdy długo

ść

b wyniesie?

A-1m, B-2m, C-3m, D-4m

Odp: Długo

ść

wyznaczysz z warunków równowagi, w tym przypadku nale

ż

y

skorzysta

ć

z równania momentów:

∑

∑

=

⋅

+

⋅

−

=

=

0

8

:

0

m

b

F

R

M

M

B

iA

iA

m

N

m

N

b

m

N

b

N

2

100

200

0

8

25

100

=

⋅

=

=

⋅

+

⋅

−

Powtórzyłeś już niezbędne wiadomości do opanowania standardu 2.1.

Teraz sprawdź swoje wiadomości rozwiązując test wielokrotnego wyboru

z jakim spotkasz się również na egzaminie zawodowym.

Projekt ”Społeczeństwo wykształcone- największy kapitał współczesnego kraju” jest wspó

ł

finansowany ze środków

Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego