Analiza funkcjonalna

Wykªad 9

Funkcjonaªy liniowe c.d.

Przykªady funkcjonaªów liniowych oraz przestrzeni sprz¦»onych
Przykªady

1. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ sko«czenie wymiarow¡, dim V = n, a B = {¯e

1

, ..., ¯

e

n

}

jej baz¡ Hamela. Mówili±my na wykªadzie z algebry liniowej, »e ka»dy funkcjonaª

liniowy na V jest postaci

F (¯

v) =

n

X

i=1

α

i

v

i

gdzie ¯v = (v

1

, ..., v

n

) =

n

X

i=1

v

i

¯

e

i

.

W szczególno±ci funkcjonaª liniowy jest jednoznacznie zadany przez swoje warto±ci

na bazie B: α

i

= F (¯

e

i

)

. Mo»na pokaza¢, »e ka»dy funkcjonaª liniowy na sko«czenie

wymiarowej przestrzeni jest ci¡gªy. Istotnie,

kF (x)k =

n

X

i=1

|α

i

x

i

| ≤ sup

i=1,...,n

|α

i

|

n

X

i=1

|x

i

| = sup

i=1,...,n

|α

i

|kxk.

Zatem funkcjonaªy liniowe ograniczone tworz¡ przestrze« n-wymiarow¡. Wszystkie

przestrzenie n-wymiarowe s¡ algebraicznie izomorczne, a wszystkie normy na przes-

trzeni n-wymiarowej s¡ równowa»ne. Mo»emy wi¦c okre±li¢ przeksztaªcenie V → V

∗

przypisuj¡ce elementowi ¯w = (α

1

, ..., α

n

)

funkcjonaª F (¯v) = P

n
i=1

α

i

v

i

i oka»e si¦,

»e to jest homeomorzm, co oznacza, »e V

∗

jest (topologicznie) izomorczna z V .

Przymykaj¡c oko mo»na powiedzie¢, »e V jest sprz¦»ona sama do siebie, tzn. V = V

∗

,

gdzie przez = rozumiemy równo±¢ z dokªadno±ci¡ do izomorzmu.

2. Podobnie mo»na pokaza¢, »e wszystkie funkcjonaªy na l

1

s¡ postaci

F (x) =

∞

X

n=1

α

n

x

n

gdzie x = (x

n

)

n∈N

,

a (α

n

)

n∈N

jest ci¡giem ograniczonym (znów α

n

s¡ warto±ciami F na bazie standar-

dowej ¯e

i

= (0, ..., 0, 1, 0, ...)

). Na odwrót, ka»dy ci¡g ograniczony (α

n

)

n∈N

deniuje

funkcjonaª liniowy na l

1

powy»szym wzorem. Jest to funkcjonaª ograniczony, bo

kF (x)k =

∞

X

n=1

|α

n

x

n

| ≤ sup

n∈N

|α

n

|

∞

X

n=1

|x

n

| = sup

n∈N

|α

n

|kxk.

St¡d kF k ≤ sup

n∈N

|α

n

|

. W istocie zachodzi nawet równo±¢.

Deniuj¡c homeomorzm podobnie jak w poprzednim przykªadzie uzyskujemy

l

1∗

= l

∞

.

Uwaga. l

∞∗

zawiera l

1

, ale nie ma równo±ci. S¡ jeszcze inne funkcjonaªy ograniczone

na l

∞

i» te zadane przez ci¡gi sumowalne.

1

3. Mo»na pokaza¢, »e dla kazdego p > 1 zachodzi l

p∗

= l

q

, gdzie

1
p

+

1
q

= 1

. Równie» dla

przestrzeni funkcyjnych mamy L

1

(µ)

∗

= L

∞

(µ)

, L

p

(µ)

∗

= L

q

(µ)

, gdzie

1
p

+

1
q

= 1

.

4. Przykªad funkcjonaªu na C

R

([0, 1])

: niech g : [0, 1] → R b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡.

Deniujemy

F (f ) =

Z

1

0

f (t)g(t) dt.

Šatwo pokaza¢, »e F jest liniowy, a ci¡gªo±¢ wynika z rachunku:

|F (f )| =






Z

1

0

f (t)g(t) dt






≤

Z

1

0

|f (t)g(t)| dt

≤

Z

1

0

g(t) · sup

t

|f (t)| dt = kf k

∞

· kgk

1

.

St¡d w szczególno±ci, kF k ≤ kgk

1

(w istocie zachodzi nawet równo±¢).

2