Analiza funkcjonalna

Wykªad 7

Operatory liniowe ograniczone c.d.

1. Przestrze« ograniczonych operatorów liniowych.

Zbiór wszystkich operatorów liniowych ograniczonych (czyli ci¡gªych) A: V → W , gdzie

V , W s¡ przestrzeniami unormowanymi, oznaczamy przez L(V, W ). Jest to zawsze zbiór

niepusty, bo zawiera (do±¢ prymitywny) operator A(¯v) = ¯0 ∀¯v ∈ V .

Twierdzenie 1. Zbiór L(V, W ) z dziaªaniami:

(A + B)(¯

v) = A(¯v) + B(¯v)

(αA)(¯

v) = α A(¯v)

jest przestrzeni¡ unormowan¡, gdy jako norm¦ przyjmiemy zdeniowan¡ powy»ej norm¦

operatora.

Proof. Sprawd¹my najpierw, »e faktycznie suma i wielokrotno±¢ ograniczonego operatora

liniowego s¡ liniowe i ograniczone. Liniowo±¢ jest ªatwa, a co do ograniczono±ci:

k(A + B)¯

vk ≤ kA¯vk + kB¯vk ≤ kAkk¯vk + kBkk¯vk = (kAk + kBk)k¯vk,

wi¦c A + B jest ograniczony i kA + Bk ≤ kAk + kBk. Podobnie mo»na sprawdzi¢, »e

kαAk = |α|kAk.

Šatwo sprawdzi¢, »e aksjomaty przestrzeni liniowej sa speªnione. Dwa aksjomaty normy:

jednorodno±¢ i podaddytywno±¢ sprawdzili±my powy»ej, a fakt, »e jedynie operator zerowy

ma zerowa norm¦ jest oczywisty z denicji.

Twierdzenie 2. Je±li (An) jest ci¡giem operatorów z L(V, W ) zbie»nym w normie przes-

trzeni L(V, W ) do pewnego A ∈ L(V, W ), to An¯v jest zbie»ny do A¯v dla ka»dego ¯v ∈ V .

Proof. Na ¢wiczeniach.

Twierdzenie 3. Je±li W jest przestrzeni¡ Banacha, to L(V, W ) jest przestrzeni¡ Banacha

(bez wzgl¦du na to jaka jest przestrze« V ).

Proof. Po pierwsze, ªatwo sprawdzi¢, »e je±li (An) jest ci¡giem podstawowym w L(V, W ),

to dla ka»dego ¯v ∈ V i > 0 mamy dla dostatecznie du»ych m, n

kAm¯v − An¯vk ≤ kAm − Ank · k¯vk < k¯vk.

(1)

Ci¡g (An¯v) jest podstawowy. Zatem jest zbie»ny wobec zupeªno±ci W . Zdeniujmy przek-

sztaªcenie

A¯

v = lim An¯v.

n→∞

Trzeba pokaza¢, »e A ∈ L(V, W ) i »e An → A w normie operatora.

Liniowo±¢:

A(α¯

v + β¯u) = lim An(α¯v + β¯u) = lim αAn(¯v) + βAn(¯u)

n

n

= α lim An(¯

v) + β lim An(¯u) = αA(¯v) + βA(¯u).

n

n

1

Ograniczono±¢: z faktu »e dla ka»dego ¯v ci¡g (An¯v) jest podstawowy mamy dla dowolnego

> 0 i dostatecznie du»ych m, n

kAm¯v − An¯vk < .

Przechodz¡c w (1) z m do niesko«czono±ci przy ustalonym n otrzymamy

|A¯

v − An¯v| < k¯vk.

Zatem operator A − An jest ograniczony, wi¦c A = (A − An) + An równie» jest ograniczony.

Z powy»szej nierówno±ci jednocze±nie kAn − Ak < , wi¦c An → A.

Je±li V = W , to b¦dziemy oznacza¢ L(V, W ) = L(V ). Takie operatory mo»na ze sob¡

skªada¢. B¦dziemy pisa¢ AB¯v = A(B¯v).

Twierdzenie 4. Dla dowolnych A, B ∈ L(V ) zªo»enie AB jest operatorem liniowym

ograniczonym i

kABk ≤ kAk · kBk.

W szczególno±ci, pot¦ga An jest operatorem liniowym ograniczonym i kAnk ≤ kAkn.

2. Wa»ne twierdzenia o operatorach liniowych ograniczonych.

Twierdzenie 5 (Banacha-Steinhausa). Niech (An) b¦dzie ci¡giem operatorów liniowych

ograniczonych na przestrzeni Banacha V o warto±ciach w przestrzeni unormowanej W .

Je»eli dla ka»dego ¯v ∈ V ci¡g warto±ci (An¯v) jest ograniczony, to ci¡g norm (kAnk) jest ograniczony.

Nie b¦dziemy dowodzi¢, bo wymaga tw. twierdzenia Baire'a, o którym nie mówili±my.

Ale podamy nast¦puj¡cy wniosek do samodzielnego udowodnienia.

Twierdzenie 6. Niech (An) b¦dzie ci¡giem operatorów liniowych ograniczonych na przes-

trzeni Banacha V o warto±ciach w przestrzeni unormowanej W . Zaªó»my, »e dla ka»dego

¯

v ∈ V ci¡g (An¯v) jest zbie»ny.

Wtedy operator okre±lony wzorem A¯v = limn An¯v jest liniowy i ograniczony.

Proof. Na ¢wiczeniach.

Poni»szy fakt podaje inn¡, ni» dotychczas podane, charakteryzacj¦ ci¡gªo±ci.

Fakt 1. Funkcja f na przestrzeni metrycznej (X, d) jest ci¡gªa wtedy i tylko wtedy, gdy

przeciwobraz ka»dego zbioru otwartego jest otwarty w X.

Proof. Zaªó»my, »e f : (X, dX) → (Y, dY ) jest ci¡gªa. Niech B ⊂ Y b¦dzie otwarty. Wtedy Bc jest domkni¦ty, i dla ka»dego ci¡gu xn ∈ f −1(Bc) zbie»nego w X do pewnego x, ci¡g

f (xn) ∈ Bc jest zbie»ny w Y . Z domkni¦to±ci Bc jego granica y = f (x) nale»y do Bc, czyli x ∈ f −1(Bc) = f −1(B)c. Zatem f −1(B)c jest domkni¦ty a f −1(B) otwarty.

Na odwrót, zaªó»my, »e przeciwobraz ka»dego zbioru otwartego jest otwarty w X. Niech

ci¡g xn b¦dzie zbie»ny w X do pewnego x. Rozwa»my kul¦ otwart¡ K(f(x), ) w Y .

Przeciwobraz tej kuli jest zbiorem otwartym w X zawieraj¡cym x, wi¦c tak»e pewn¡ kul¦ o

±rodku w x. Ta kula zawiera prawie wszystkie elementy ci¡gu xn, wi¦c K(f(x), ) zawiera

prawie wszystkie elementy f(xn). Z dowolno±ci , f(xn) jest zbie»ny do f(x), co nale»aªo pokaza¢.

2