Wykªad 6
O±rodkowo±¢, baza topologiczna. Operatory liniowe ograniczone.
1. Zbiór A jest g¦sty w przestrzeni metrycznej (X, d), gdy dla ka»dego x ∈ X i ka»dego
> 0 istnieje y ∈ A taki, »e d(x, y) < . Równowa»nie, dla ka»dego x ∈ X istnieje taki ci¡g (yn) elementów A, »e limn yn = x. Jeszcze inaczej, A = X. Przykªady, Q jest g¦sty w R, 2
2
Q w R , zbiór wszystkich wielomianów na [0, 1] jest g¦sty w C([0, 1]) w normie supremum.
Przestrze« (X, d) jest o±rodkowa, gdy istnieje przeliczalny zbiór P g¦sty w X. Przykªady: jak wy»ej, ale wielomiany trzeba wzi¡¢ ze wspóªczynnikami wymiernymi.
W przestrzeniach unormowanych mo»e by¢ wygodniej posªu»y¢ si¦ poj¦ciem, które pozwala uzyska¢ zaczyny zbiorów g¦stych.
Denicja 1. Zbiór P jest liniowo g¦sty, gdy lin P jest g¦sty.
Przykªady: {1} w
2
R, {(1, 0), (0, 1)} w R , ei = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...) (jedynka na i-tym miejscu) w ka»dej lp dla 1 ≤ p < ∞ oraz dla c0. Z ostatniego przykªadu wynika, »e lp s¡
o±rodkowe dla 1 ≤ p < ∞. Nie jest natomiast o±rodkowa przestrze« l∞, bo wszystkie ci¡gi zerojedynkowe tworz¡ nieprzeliczalny zbiór, w którym odlegªo±ci mi¦dzy dowolnymi dwoma elementami wynosz¡ 1.
Denicja 2. Baza topologiczna przestrzeni (V, k·k) to taki ci¡g elementów ¯e1, ¯e2, ¯e3, ...
przestrzeni V , »e ka»dy element ¯v przestrzeni ma jednoznaczne przedstawienie w postaci szeregu
∞
X
¯
v =
λn¯
en.
n=1
Baza topologiczna jest przeliczalnym zbiorem liniowo g¦stym. Bior¡c tylko szeregi o wymiernych wspóªczynnikach dostaniemy o±rodek. Zatem bazy topologiczne istniej¡ tylko w przestrzeniach o±rodkowych.
Przykªady: ei = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...) w ka»dej lp dla 1 ≤ p < ∞ oraz dla c0; {ei} ∪
{(1, 1, 1, ...)} w c. Przestrze« l∞ nie ma bazy topologicznej, bo nie jest o±rodkowa.
2.
Denicja 3.
1. Operator liniowy A: V → W (V ,W - przestrzenie liniowe) to przeksztaªcenie speªniaj¡ce dla ka»dej pary ¯v, ¯u ∈ V i ka»dej pary skalarów α, β warunek A(α¯
v + β¯u) = αA(¯v) + βA(¯u).
2. Niech V , W b¦d¡ przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy A: V → W jest ograniczony, gdy istnieje taka liczba nieujemna m, »e kA¯
vk ≤ mk¯vk
∀ ¯
v ∈ V.
3. Norm¡ operatora A nazywamy kres dolny liczb m speªniaj¡cych powy»szy warunek.
Norm¦ operatora A oznaczamy przez kAk.
Twierdzenie 1. Dla ka»dego operatora ograniczonego zachodzi nierówno±¢ kA¯vk ≤ kAkk¯vk dla ka»dego ¯v ∈ V . Ponadto
kA¯
vk
kAk = sup kA¯
vk = sup kA¯vk = sup
.
k¯
vk≤1
k¯
vk=1
¯
v∈V k¯
vk
1
Proof. Pierwsza nierówno¢ wynika z wªasno±ci kresu dolnego. Ostatnia równo±¢ jest ªatwa, bo ¯v = 1. Oznaczmy M = sup
kA¯
vk i ustalmy ¯v ∈ V . Poªó»my ¯u = ¯v . Wtedy
k¯
vk
k¯
vk=1
k¯
vk
kA¯
vk ≤ kT ¯uk · k¯vkk ≤ Mkk¯vk, czyli kAk ≤ M.
Z drugiej strony, dla k¯vk ≤ 1 mamy kA¯vk ≤ kAk. Czyli supk k
¯
vk≤1 A¯
vk ≤ kAk ≤
supk¯vk=1 A¯v.
Twierdzenie 2. Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne: 1. A jest ograniczony,
2. A jest ci¡gªy,
3. A jest ci¡gªy w ¯0.
Proof. Na ¢wiczeniach.
Uwaga: istniej¡ operatory liniowe, które nie s¡ ograniczone. Np. A: C1([0, 1]) →
C([0, 1])
Af (x) = f 0(x).
Wa»ny przykªad operatora ograniczonego - operator j¡drowy na przestrzeni funkcji: niech X ⊂
m
R (mo»e by¢ X ⊂ R ),
Z
Af (x) =
K(x, y)f (y) dy.
(1)
X
Oczywi±cie, funkcja dwóch zmiennych K(x, y) i dziedzina A musza by¢ tak ustalone, by powy»sza caªka byªa okre±lona.
Twierdzenie 3.
1. Operator okre±lony wzorem (1) jest liniowy.
2. Je±li K jest ograniczon¡ funkcj¡ ci¡gª¡ na X ×X, to A jest operatorem ograniczonym przeksztaªcaj¡cym C(X) w C(X).
3. Je±li K ∈ L2(X × X, λ × λ), to A jest operatorem ograniczonym przeksztaªcaj¡cym L2(X) w L2(X).
Proof. Na ¢wiczeniach.
2